Matematyka Dyskretna 11/2008 1. Udowodnić, że dla dowolnego

Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Matematyka Dyskretna 11/2008
1. Udowodnić, że dla dowolnego grafu G = (V, E) zachodzi nierówność:
χe (G) >
|E|
b 21 |V
|c
.
2. Niech G będzie grafem, w którym każdy wierzchołek z wyjątkiem jednego ma stopień d. Pokazać,
że jeżeli można pokolorować krawędzie grafu G za pomocą d kolorów, to
a) G ma nieparzystą liczbę wierzchołków;
b) G ma wierzchołek stopnia zero.
3. Niech G będzie grafem, w którym każdy wierzchołek ma stopień d. Załóżmy ponadto, że G ma
wierzchołek, którego usunięcie (wraz ze wszystkimi dochodzącymi do niego krawędziami) rozspójnia
G. Pokazać, że χe (G) = d + 1.
4. Niech G będzie grafem hamiltonowskim, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3. Pokazać, że
χe (G) = 3.
5. Należy ułożyć plan zajęć. Ponieważ niektórzy studenci chcą uczęszczać na kilka wykładów, terminy pewnych wykładów nie mogą się pokrywać. Gwiazdki w poniższej tabeli wskazują, które pary
wykładów nie mogą nakładać się na siebie. Ile terminów należy zarezerwować w planie zajęć dla tych
siedmiu wykładów?
a
b
c
d
e
f
g
a b c d e f g
− ∗ ∗ ∗ − − ∗
∗ − ∗ ∗ ∗ − ∗
∗ ∗ − ∗ − ∗ −
∗ ∗ ∗ − − ∗ −
− ∗ − − − − −
− − ∗ ∗ − − ∗
∗ ∗ − − − ∗ −
6. Wyznaczyć minimalną liczbę kolorów potrzebnych do pokolorowania ścian każdego z grafów platońskich, tak aby sąsiednie ściany miały różne kolory.
7. Jaka jest liczba chromatyczna:
(a) Każdego z grafów platońskich? (b) Grafu Petersena? (c) Kostki Qn ?
8. Niech G będzie grafem planarnym prostym nie zawierającym trójkątów. Udowodnić, że
(a) G zawiera wierzchołek stopnia co najwyżej 3.
(b) G jest 4-kolorowalny.
9. Niech G będzie grafem powstałym z grafu pełnego Kn przez usunięcie jednej krawędzi. Udowodnić,
że χ(G) = n − 1.
10. Niech G będzie grafem. Pokazać, że ma on co najmniej χ(G) wierzchołków stopnia χ(G) − 1 lub
większego.
11. Rozważmy mapę mającą mniej niż 12 regionów, w której stopień każdego wierzchołka jest co
najmniej 3. Pokazać, że istnieje region ograniczony co najwyżej czterema krawędziami. Nie stosując
twierdzenia o czterech barwach, pokazać, że mapa taka może być pokolorowana czterema kolorami.
1
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
12. Pokazać, że graf G = (V, E) jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy χ(G) 6 2.
13. Mając zadaną liczbę całkowitą d > 1, podać przykład grafu G o największym stopniu wierzchołka
równym d, dla którego χ(G) = 2.
Przygotował: Cz. Bagiński
2