Raport cz. 2.

Część 2. zagadnień na raport z kursu Symulacje komputerowe
Ocenianie: za 2. część raportu można uzyskać 20 pkt.
Termin oddania: do końca dnia 6 czerwca
Zasady oceniania są takie same jak wcześniej.
Lista zadań do wykonania:
1. Struktura pamięci procesu Poissona Na podstawie symulacji oblicz funkcję autokowariancji procesu
Poissona, to znaczy funkcję acov(s, t) = cov(N (s), N (t)). Przeanalizuj, czy wynik jest zgodny z przewidywaniami teoretycznymi.
2. Wydajne symulowanie niejednorodnego procesu Poissona Zwykle stosowaną metodą symulowania
niejednorodnego procesu Poissona o intensywności λ(t) jest znalezienie najpierw λ̃(t) ≥ λ(t) o łatwej do
Rt
obliczenia całce Λ̃(t) = 0 λ̃(s)ds, używając znajomości Λ̃ szybkie wygenerowanie procesu o intensywności
λ̃, a następnie przerzedzenie go poprzez odrzucanie zdarzeń z prawdopodobieństwem λ(t)/λ̃(t). Użyj tej
metody do efektywnego wygenerowania procesu Poissona o intesywności
λ(t) =
t+4 1
+ arctan(sin(t)).
t+1 4
3. Proces ryzyka Środki finansowe towarzystwa ubezpieczeniowego są określane modelem
N (t)
X(t) = bt −
X
Yk .
k=1
PN (t)
W tym modelu k=1 Yk to odszkodowania, jakie musi wypłacać ubezpieczyciel - napływają one z czasami
oczekiwania zadanymi rozkładem wykładniczym o średniej 4 i mają i.i.d. rozkład Yk ∼ χ2 (2) (rozkład
chi-kwadrat z 2 stopniami swobody). Stała b zależy od wielkości składek ubezpieczeniowych. Dobierz
najmniejszą taką jej wartość, aby towarzystwo utrzymało płynność finansową (to znaczy stale X(t)>0) w
przedziale t ∈ [0, 20] z prawdopodobieństwem 99%.
4. Log-gaussowski proces Coxa Często używaną klasą procesów - szczególnie do modelowania pól losowych - są log-gaussowskie procesy Coxa. Najprostszym przykładem takiego procesu jest proces Coxa C(t)
dla którego funkcja intensywności λ(t) jest procesem losowym λ(t) = exp(B(t)), gdzie B(t) jest ruchem
Browna, tzn. procesem o stacjonarnych i niezależnych przyrostach B(t2 ) − B(t1 ) ∼ N (0, t2 − t1 ).
Zaprogramuj symulację trajektorii procesu C(t). Sprawdź, czy proces ten ma niezależne oraz stacjonarne
przyrosty oraz zbadaj statystycznie, że losowość λ(t) jest istotna, tzn. pokaż, jak odróżnić proces C(t) z
losowym λ(t) od procesu, w którym λ(t) zastąpiono jego wartością oczekiwaną λ̄(t) = E[λ(t)].
Uwaga: Dla ułatwienia symulacji zamiast B(t) możesz wziąć obcięty B̃(t), tzn. B̃(t) = min{B(t), M }, M >
0 dla jakiegoś relatywnie dużego M .