Symulacje procesu Poissona i procesów z nim związanych

1
Ćwiczenie Nr 2: Symulacje procesu Poissona i procesów z nim zwiazanych
¾
Proces Poissona o sta÷
ej intensywności
moz·na symulować
a (jako dowolny tzw. proces odnowy ) symulujac
¾ ciag
¾ okresów miedzy
¾
zg÷
oszeniami fXi gi 1 (majacych
¾
rozk÷
ady wyk÷
adnicze z parametrem
) a nastepnie
¾
k÷
adac
¾ N (t) = min fn : X1 + : : : + Xn > tg ; t 0;
b wykorzystujac
¾ twierdzenie o postaci warunkowego rozk÷
adu momentów
zg÷
oszeń i symulujac
¾ najpierw dla ustalonego t; N (t) (zgodnie z rozk÷
adem Poissona o parametrze t) a nastepnie,
¾
jeśli N (t) = n; symulujac
¾
n zmiennych losowych o rozk÷
adzie jednostajnym na odcinku < 0; t >
(wyjście funkcji Random[] w Mathematice pomnoz·one przez t) fUi gni=1 :
Dla s < t k÷
adziemy, N (s) = # fi : Ui sg : Aby przyspieszyć obliczenie N (s) dobrze jest posortować wyrazy ciagu
¾ fUi gni=1 i otrzymujac
¾ ciag
¾
fSi gni=1 a nastepnie
¾
przyjać
¾ S0 0 i N (s) = i 1 dla s 2< Si 1 ; Si ):
Niejednorodny proces Poissona z intensywnościa¾ (t) ; moz·na symulować
na dwa sposoby.
A W pierwszym korzysta sie¾ z twierdzenia o klasy…kowaniu zg÷
oszeń w
procesie Poissona. Mianowicie określmy
(t) dla t 2< 0; T > :
Symulujmy proces Poissona z intensywnościa¾ : Nastepnie
¾
klasy…kujemy zg÷
oszenie w momencie t z prawdopodobieństwem (t) : Proces
klasy…kowanych zg÷
oszeń jest procesem Poissona o zmiennej intensywności. Procedura symulacji niejednorodnego procesu Poissona jest
wiec
¾ nastepuj
¾ aca:
¾
Generujemy niezalez·ne zmienne losowe fXi ; Ui gi 1
takie, z·e X Exp( ); U U (0; 1) zatrzymujac
¾ sie¾ w momencie
(
)
n
X
N = min n :
Xi > T :
i=1
Dla j = 1; : : : ; N
Ij =
1; k÷
adziemy
8
< 1 gdy Uj
: 0 gdy Uj >
1
Pj
i=1
Pj
Xi =
i=1 Xi =
:
Tworzymy zbiór J = fj : Ij = 1g : Za momenty zg÷
oszeń symulowanego
proces Poissona przyjmujemy zbiór momentów
)
( j
X
Xi : j 2 J :
i=1
B Moz·na pokazać (rozumujac
¾ podobnie jak w przypadku procesu jednorodnego), z·e pod warunkiem, z·e w okresie czasu T by÷
o n zg÷
oszeń,
okresy czasu miedzy
¾
zg÷
oszeniami maja¾ tworza ciag
¾ statystyk pozycyjnych próby prostej z rozk÷
adu o gestości:
¾
f (s) =
gdzie
(t)
(T )
(t) =
Rt
0
(s)
;
(T )
(1)
(s) ds; lub, co równowaz·ne, o dystrybuancie F (t) =
, dla t = t 2< 0; T > : Symuluje sie¾ wieć najpierw N (T ) (ma rozk÷
ad
Poissona z (T ) ) a nastepnie n niezaleznych obserwacji z rozkladu
(1), podanego wyz·ej za momenty zg÷
oszeń, bierze sie¾ uporadkowane
¾
realizacje z próby prostej.
W kaz·dej z poniz·szych symulacji wygenerować co najmniej 3 realizacje i
wykreślić je na wspólnym rysunku róz·nymi kolorami (lub wzorami punktów
w przypadku drukarek czarno-bia÷
ych).
1. Zasymulować dwoma sposobami (a i b) proces Poissona na odcinku
< 0; 50= > z intensywnościami = 1 i = 10:
2. Zasymulować dwoma sposobami (A i B) niejednorodny proces Poissona
dla intensywności (t) = t2 (T
t)=T 3 na odcinku < 0; T > : T =
dowolnie wybrane 2 wartości.
3. Zasymulować z÷
oz·ony proces Poissona o intensywnościach = 1 i
= 10 i róz·nych rozk÷
adach szkód np. a) jednostajnym U (0; 1) ; b)
2
:
dwumianowym z parametrami n = 10; p = 10
4. Napisać krótkie sprawozdanie.
2