Całki nieoznaczone

Całki nieoznaczone - zadania
Adam Gregosiewicz
26 maja 2010 r.
Zadanie 1 (Całkowanie przez podstawienie).
Z
cos x
√
1)
dx,
5
sin2 x
Z
2)
ctg 1 − 2x dx,
Z
Z
4)
Z
6)
dx,
1 − ln2 x
√
Z
x
√
dx,
10)
4
x3 + 1
√
Z
1− x
√ dx,
11)
1+ x
Z q
√
12)
1 + x dx.
x
1 3
arc sin x
dx,
1 − x2
x2
√
dx,
33x+2
5)
Z
−2x
e
7)
cos (3x) dx,
x
Zadanie 3 (Całkowanie funkcji wymiernych).
Z
1
1)
dx,
x2 + 2x + 5
2)
Z
3)
1
8)
arc tg x dx,
Z
sin (ln x) dx,
Z
Z
4)
x arc sin x dx,
Z √
6)
a2 − x2 dx,
ln (1 − x) dx,
3)
p
Z
Z
Z
1
9)
Zadanie 2 (Całkowanie przez części).
Z
1)
x2 ln2 x dx,
2)
ln x
dx,
x 1 + 2 ln x
√
Z
x2 e 3 x dx,
5)
Z
8)
3
Z r
1
dx,
ex + e−x
7)
tg x dx,
3)
Z
6)
1
dx.
1
dx,
x2 − 6x + 5
Z
2x2 + x + 1
dx,
x3 − x2
Z
x5 + 2
dx,
x4 − 1
5)
4x − 5
dx,
2
2x − 5x + 3
1 − ln2 x
Z
4)
6x − 7
dx,
2
3x − 7x + 11
p
Z
7)
Z
8)
Z
9)
Z
x3 − 4
dx,
x3 + 4x
10)
x4
dx,
(x2 − 1)(x + 2)
(x +
Z
11)
x3 − 2x2 + 4
dx,
x3 (x − 2)2
1
+ 1)
dx,
1
dx,
(x − 1)2 (x2 + x + 1)
Z
12)
1)2 (x2
x3
1
dx.
+1
Zadanie 4 (Całkowanie funkcji zwierających pierwiastek z trójmianu kwadratowego).
Z
Z
1
1
√
√
1)
9)
dx,
dx,
2
3−x
x − x2 − 1
Z
Z √
1
√
dx,
2)
10)
2 + x2 dx,
2
4x − x
Z p
Z
1
√
11)
(x2 + x + 1)3 dx,
dx,
3)
2 − 2x − x2
Z
Z
1−x
x2
4)
dx,
√
12)
dx,
8 + 2x − x2
9 + x2
Z
Z √
4x − 1
√
5)
dx,
x2 − 2x + 2 dx,
13)
x2 − 10x + 9
Z
Z
3x + 5
1
p
6)
dx,
√
14)
dx,
2
x(2x − 1)
(1 + x ) 1 − x2
Z √
Z √ 2
x + 2x
x2 + x dx,
15)
7)
dx,
x
Z
Z √
1
√
16)
dx.
2x − x2 dx,
8)
(1 − x2 ) 1 + x2
Zadanie 5 (Całkowanie funkcji trygonometrycznych).
Z
Z
1)
sin x sin (3x) dx,
8)
sin4 x dx,
Z
2)
Z
cos (4x) cos (7x) dx,
9)
Z
3)
Z
cos (2x) sin (4x) dx,
10)
Z
4)
tg x dx,
Z
5)
11)
Z
2
sin x dx,
Z
6)
12)
2
cos x dx,
Z
7)
Z
14)
sin x dx,
2
cos4 x dx,
cos4 x sin3 x dx,
tg3 x dx,
Z
1
dx,
sin x
Z
1
dx,
cos x
13)
3
sin5 x dx,
Z
sin3 x
√
dx,
3
cos4 x
Z
1
dx,
4 − 5 sin x
15)
16)
Z
1
dx,
(1 + cos x)2
2)
21)
Z
(6x2 + 8x + 3) dx,
x(x + a)(x + b) dx,
Z
4)
Z
(a + bx3 )2 dx,
19)
Z √
5)
2ax dx,
Z
6)
7)
(nx)
Z
8)
a
Z
9)
Z
10)
Z
20)
1
√
dx,
n
x
Z
1−n
n
2/3
Z
21)
−x
√
tgh2 x dx,
ctg2 x dx,
ctgh2 x dx,
Z
dx,
2/3 3
sin2 x
dx.
1 + cos2 x
1
dx,
8 − x2
√
Z √
2 + x2 − 2 − x2
√
17)
dx,
4 − x2
Z
18)
tg2 x dx,
16)
Z
3)
1
dx,
sin x + tg2 x
2
Z
Zadanie 6.
Z
1)
5a2 x6 dx,
Z
Z
20)
1
dx,
5 − 3 cos x
18)
1
dx,
cos4 x
19)
Z
17)
Z
22)
2x2
Z
dx,
23)
√
√
( x + 1)(x − x + 1) dx,
x2
Z
24)
(x2 + 1)(x2 − 2)
√
dx,
3
x2
x−5
dx,
− 2x + 2
x3
x2 + x +
Z
25)
(xm − xn )2
√
11)
dx,
x
√
Z √
( a − x)4
√
dx,
12)
ax
Z
1
13)
dx,
2
x +7
Z
1
14)
dx,
2
x − 10
Z
1
√
15)
dx,
4 + x2
Z
1
dx,
− 4x + 9
26)
1
dx,
+ 5)
1
dx,
(x + 2)2 (x + 3)2
Z
27)
1
(x +
Z
28)
(x2
Z
29)
x4
Z
3
dx,
x(x2
Z
30)
1
2
1)2 (x2
+ 1)
dx,
1
dx,
+ 2)2
1
dx,
− 2x2 + 1
x
dx,
(x2 − x + 1)3
3 − 4x
√
31)
dx,
(1 − 2 x)2
Z √
( x + 1)2
32)
dx,
x3
Z
1
√
dx,
33)
x2 + x + 1
√
Z
1 − 3 2x
√
34)
dx,
2x
Z
1
√
35)
dx,
√
3
( x2 + 3 x)2
Z
2x + 1
p
36)
dx,
(4x2 − 2x + 1)3
Z
1
√
√
37)
dx,
4
5−x+ 5−x
Z
x2
p
dx,
38)
(x2 − 1)3
Z
x
√
39)
dx,
2
(1 + x ) 1 − x4
Z
x
√
dx,
40)
1 − 2x2 − x4
Z
x+1
41)
dx,
(x2 + 1)3/2
Z
1
√
42)
dx,
(x2 + 4x) 4 − x2
Z √
43)
x2 − 9 dx,
Z
Z
50)
Z
51)
1
dx,
x x2 + x + 1
Z
√
x x2 + 2x + 2 dx,
45)
46)
47)
x4
Z
48)
Z
49)
√
1
dx,
cos x sin5 x
√
Z
1 + ctg x
53)
dx,
sin2 x
Z
sin3 x
√
54)
dx,
5
cos3 x
Z
1
55)
dx,
sin5 5x
Z
sin2 x
56)
dx,
cos6 x
Z
π
π
57)
sin
− x sin
+ x dx,
4
4
Z
x π +
dx,
58)
tg3
2 4
Z
1
dx,
59)
2 sin x + 3 cos x − 5
Z
1
dx,
60)
2 + 3 cos2 x
Z
1
61)
dx,
cos2 x + 2 sin x cos x + 2 sin2 x
Z
1
62)
dx,
sin x sin (2x)
Z
1
p
63)
dx,
2
cos2 x tg x + 4 tg x + 1
Z
cos (ax)
p
64)
dx,
a2 + sin2 (ax)
Z
1
dx,
65)
(2 + cos x)(3 + cos x)
Z
x
66)
dx,
2
cos (3x)
Z
67)
x sin2 x dx,
1
dx,
x2 − 1
1
dx,
x 1 − x3
Z
√
√
3
cos4 x dx,
52)
√
Z
5x
dx,
1 + x4
Z
Z √
x − 4x2 dx,
44)
Z
√
68)
1
dx,
1 + x3
Z
69)
4
3
x2 ex dx,
xe2x dx,
Z
70)
2
x ln
√
Z
1 − x dx,
Z
x arc tg x
√
dx,
1 + x2
Z
3x
x
dx,
sin2 cos
2
2
71)
72)
Z
73)
Z
74)
89)
x arc tg (2x + 3) dx,
Z
90)
√
arc sin x dx,
Z
|x|dx,
91)
1
dx,
(sin x + cos x)2
Z
x3
dx,
(x − 1)12
Z
x4
dx,
(x2 − 1)(x + 2)
92)
1
dx,
(tg x + 1) sin2 x
93)
Z
1
dx,
1 − x4
Z √
x 1+x
√
95)
dx,
1−x
Z
x
√
dx,
96)
x − x2 − 1
Z √
3
x−1
√
97)
dx,
x
Z
√
98)
x 3 a + x dx,
94)
Z
75)
sinh x cosh x dx,
Z
76)
√
sinh 1 − x
√
dx,
1−x
Z
sinh x cosh x
dx,
sinh2 x + cosh2 x
Z
x
dx,
sinh2 x
Z
1
dx,
e2x − 2ex
77)
78)
79)
e2x
e
dx,
− 6ex + 13
1
(ex + 1) 4
Z
82)
Z
83)
Z
84)
Z
85)
Z
86)
Z
dx,
Z
101)
2x
dx,
1 − 4x
Z
102)
(x2 − 1)10−2x dx,
103)
√
ex + 1dx,
104)
88)
(x2 + 3x + 5) cos (2x) dx,
x2 sinh x dx,
105)
1
dx,
x
e
√
3
Z
106)
xe
Z
107)
Z
2
(x − 3x) sin (5x) dx,
108)
5
√
x) dx,
arc sin x
dx,
x2
Z
cos (ln x) dx,
Z
ln x + 1
√
dx,
x+1
arc tg (1 +
Z
arc tg x
dx,
x2
x3 arc sin
1
dx,
+ be−mx
Z
Z
87)
aemx
100)
e2x
Z
81)
99)
x
Z
80)
Z
x
√
3
dx,
x
dx,
(x3 − 2x2 + 5)e3x dx,
√
1 + sin x dx,
Z
109)
sin
Z
110)
√
3
Z
x dx,
128)
Z
1
dx,
3
x (x − 1)1/2
129)
Z
1
√
111)
dx,
x − x2 − 1
√
Z s
1− 3x1
√
dx,
112)
1+ 3 xx
Z r
3 1 − x 1
113)
dx,
1+xx
Z
x4
114)
dx,
x15 − 1
Z
1
115)
dx,
sin (2x) − 2 sin x
Z
1
dx,
116)
1 + cos2 x
Z
1
117)
dx,
2
a − b2 cos2 x
Z
1
√
118)
dx,
3 cos x + sin x
Z
cos (2x)
119)
dx,
1 + sin x cos x
Z p
(1 + x2 )5
dx,
120)
x6
Z
1
√
121)
dx,
3
1 + x3
Z
122)
x ln (1 + x3 ) dx,
Z
123)
Z
124)
Z
125)
127)
√
sin (2x)
dx,
cos4 x + sin4 x
Z
1
dx,
1 + sin x + cos x
2 − sin x
dx,
2 + cos x
Z p
133)
tg2 x + 2 dx,
Z
x2 − 1
dx,
x x4 + 3x2 + 1
Z
1
√
dx,
(2x − 3) 4x − x2
Z
xex
dx,
(1 + x)2
134)
135)
136)
Z
137)
x arc tg x
dx,
(1 + x2 )2
Z
arc tg x
dx,
(1 + x)3
Z
1
dx,
(1 − 2x )4
Z
e3x + ex
dx,
e4x − e2x + 1
141)
142)
Z
143)
Z
144)
Z
sin3 x cos5 x
145)
6
√
1
dx,
1 + ex + e2x
tg x
dx,
1 + tg x + tg2 x
sin8 x dx,
Z
(3 + x2 )2 x3
dx,
(1 + x2 )3
Z
x2 − 8x + 7
dx,
(x2 − 3x − 10)2
146)
dx,
xex
dx,
1 + ex
Z
140)
147)
√
arc tg x
dx,
x4
139)
2
√
Z
138)
2 x
1
1
dx,
sin x cos5 x
132)
xe (x + 1) dx,
Z
dx,
Z
x e cos x dx,
126)
sin x cos5 x
Z
131)
x ln x
p
dx,
(x2 − 1)3
x2
1
3
5
130)
(ln x − 1)
dx,
ln2 x
Z
√
4
Z
148)
Z
149)
1
dx,
4
sin x + cos4 x
Z
150)
Z
x + sin x
dx,
1 + cos x
151)
7
x2 − 1
1
√
dx,
2
x + 1 1 + x4
esin x
x cos3 x − sin x
dx.
cos2 x