Widmo operatora Laplace'a

Rozwiązania równań
zlinearyzowanej hydrodynamiki w
obszarach ograniczonych
dr Marek Dudyński
Oznaczenia:
 x , t
u 1  x ,t
  x , t= u 2  x ,t 
definiujemy : 
u 3  x ,t
T  x , t
 x , t− gęstość
 x , t −wektor prędkości
u
T  x , t−temperatura
Równania zlinearyzowanej hydrodynamiki przyjmują postać:
 L

∂ =
1
Gdzie:
[
 u
−m ∇
 − ∇
 − ∇ T  u  ∇
 ∇
 u 
L =
 u
 T −1 ∇
]
2
Równanie 1 rozważamy wobszarze ⊂ℝ3 d ∞
Z warunkami brzegowymi :
[ ]
 =0
n
∇
n u =0

n ∇ T =0
3
I. Możemy pokazać , że istnieje operator ewolucji T t , dla którego operator L jest generatorem ciagłej półgrupy
 t=e L t 0

 0 spęłniających warunki 2

, dla 
II. Możemy wykonać transformaty Laplace ' a równania1i badać własności operatora L− z−1 i wtedy badamy problem
własny operatora L

 w
L =

4
Z warunkami brzegowymi (3).
Lemat 1. Załóżmy , że istnieją funkcje  , 
u ,T W 1,2  spełniające równanie 4 z warunkami brzegowymi 3 wtedy :
Re ≤0
Twierdzenie 1. Operator  L−−1 jest zwartym operatorem w L2 .
Szkic dowodu
Lemat :
¿
− ¿
 ∇
 u =∫ u∗u
 ∫ ∗− ∫ T∗T −∫ u∗ u ∫ u∗∇
1 
m 



Z części urojonej dostajemy tożsamość :
∫ u∗u=m ∫ ∗1 ∫ T∗T



W rezultacie dostajemy dla części rzeczywistej następujące wyrażenie :
−1
ℜ =
2
−1
[ ][
∫ u∗u

]
1 
 u  ∫ ∇
 u ¿ ∇ u
∇ T ¿ ∇ T ∫  ∇
∫
1 


ℜ0
Równość zachodzi dla T =const i u=const
Szkic dowodu twierdzenia
Twierdzenie 1. Rozważamy rodzinę operatorów :


¿  
 m 2 ∇  ∇ u − ∇ T   u = u
∣∣
 u  T =T
− ∇

n
u =0

n
 ∇ T =0
na ∂ 
jeżeli u1 T należy do L2 
[
− m
¿
2
∣∣
]

∫ ∇ u∗∇ u−  ∫ ∇ T∗∇ T =  ∫ T ∗T ∫ u∗u


1,2


2,2
u T  należy do W  więc u
 , T  jest elementemW 

3,2
Podobnie dalej u jest elementem W  , T  jest elementemW 3,2 
więc , z twierdzenia Sobolewa :u jest elementemC 1  ,T  jest elementem C 1  , a operator T  −−1  jest zwarty w L2 
Własności operatora L
Wniosek 1.Widmo operatora L jest czysto punktowe.
Wniosek 2.Operator ewolucji można zapisać w następującej postaci :
N
it
T t0=∑ e i ,0∗i 
1
gdzie i−lewe funkcje własne
a i prawe funkcje własne , odpowiadające wartości własnej i
Poszukujemy teraz bardziejh szczegółowych informacji dotyczących widma operatora  L .
1. Ile jest wartości własnych i od czego zależy
3
2. Jak wygląda przejście graniczne do hydrodynamiki w R tzn. dla d  ∞ czy lim ∥T  t 0∥=0
Operator w pudle
Widmo operatora w pudle