Repetytorium z matematyki, Informatyka Stosowana 2008, grupa 2

Repetytorium z matematyki, Informatyka Stosowana 2008, grupa 2 — Zestaw 3
1
W poniższych zadaniach litery p, q, r oznaczaja˛ zdania atomowe, którym jednoznacznie można
przypisać wartość prawda lub fałsz.
1. Podaj, kiedy prawdziwe, a kiedy fałszywe sa˛
(i) negacja,
(ii) koniunkcja,
(iii) alternatywa,
(iv) implikacja,
(v) równoważność.
2. Które z nast˛epujacych
˛
twierdzeń sa˛ prawdziwe:
(i) Jeżeli 2 + 3 = 5, to 4 + 3 = 8.
(ii) Jeżeli 2 + 3 = 5, to 4 + 3 = 7.
(iii) Jeżeli 4 + 3 = 8, to 2 + 3 = 5.
(iv) Jeżeli 4 + 3 = 8, to 2 + 3 = 6.
3. Udowodnij, że nast˛epujace
˛ zdania sa˛ tautologiami:
(i) ∼(p ∧ ∼p).
(ii) p ∨ ∼p.
Jakie nazwy nosza˛ te prawa?
4. Udowodnij, że nast˛epujace
˛ zdania sa˛ tautologiami:
(i) ∼(p ∧ q) ⇔ (∼p ∨ ∼q).
(ii) ∼(p ∨ q) ⇔ (∼p ∧ ∼q).
(iii) ∼(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ∼q).
(iv) (p ⇒ q) ⇔ (∼p ∨ (p ∧ q)).
(v) (p ⇒ q) ⇔ (∼q ⇒ ∼p).
(vi) ((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q.
Jakie nazwy nosza˛ dwa pierwsze oraz ostatnie z powyższych praw?
5. Jakiemu zdaniu, zawierajacemu
˛
tylko negacje, koniunkcje i alternatywy, jest równoważne poniższe zdanie:
∼(p ⇔ q)
6. Które z poniższych zdań sa˛ tautologiami:
(i) (p ⇒ q) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ q).
(ii) (p ⇒ q) ⇒ ((p ∨ r) ⇒ q).
(iii) (p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ (q ∧ r))).
(iv) (p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ (q ∨ r))).
Podaj słowna˛ interpretacj˛e tautologii wyst˛epujacych
˛
w tym zadaniu.
Repetytorium z matematyki, Informatyka Stosowana 2008, grupa 2 — Zestaw 3
2
7. Czy nast˛epujace
˛ rozumowanie jest poprawne:
A
B
A∧B⇒
Wszyscy ludzie sa˛ śmiertelni.
Sokrates jest człowiekiem.
Sokrates jest śmiertelny.
Jeżeli to rozumowanie jest poprawne, uzasadnij. Jeżeli nie jest, wskaż zawarty w nim bład
˛
logiczny. Jaka˛ nazw˛e nosi to rozumowanie?
8∗ . Zapisz powyższe rozumowanie w j˛ezyku kwantyfikatorów i form zdaniowych.
9. Czy nast˛epujace
˛ rozumowanie jest poprawne:
A
B
A∧B⇒
Wszystkie koty sa˛ śmiertelne.
Sokrates jest śmiertelny.
Sokrates jest kotem.
Jeżeli to rozumowanie jest poprawne, uzasadnij. Jeżeli nie jest, wskaż zawarty w nim bład
˛
logiczny.
10. Operator NAND. Operator p | q zdefiniowany jest przez poniższa˛ tablic˛e prawdy:
p
q
p|q
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
(i) Zdefiniuj operator NAND przy pomocy negacji, koniunkcji i alternatywy.
(ii) Przy pomocy operatora NAND zdefiniuj negacj˛e.
(iii) Przy pomocy operatora NAND zdefiniuj koniunkcj˛e.
(iv) Przy pomocy operatora NAND zdefiniuj alternatyw˛e.
11. Operator XOR (alternatywa wykluczajaca).
˛
Operator p Y q zdefiniowany jest przez poniższa˛
tablic˛e prawdy:
p
q
pYq
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
(i) Zdefiniuj operator XOR przy pomocy negacji, koniunkcji i alternatywy.
(ii) Zdefiniuj operator XOR przy pomocy operatora NAND.
(iii) Dlaczego przy pomocy samego operatora XOR nie da si˛e zdefiniować wszystkich pozostałych operatorów logicznych?
Repetytorium z matematyki, Informatyka Stosowana 2008, grupa 2 — Zestaw 3
3
12. Operator NOR. Operator p ↓ q zdefiniowany jest przez poniższa˛ tablic˛e prawdy:
p
q
p↓q
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
(i) Zdefiniuj operator NOR przy pomocy negacji, koniunkcji i alternatywy.
(ii) Zdefiniuj operator NOR przy pomocy operatora NAND.
(iii) Przy pomocy operatora NOR zdefiniuj negacj˛e.
(iv) Przy pomocy operatora NOR zdefiniuj koniunkcj˛e.
(v) Przy pomocy operatora NOR zdefiniuj alternatyw˛e.
(vi) Przy pomocy operatora NOR zdefiniuj operator NAND.
(vii) Przy pomocy operatora NOR zdefiniuj operator XOR.
PFG