W. Guzicki: Zadania z kombinatoryki 1 Podstawowe oznaczenia

1
W. Guzicki: Zadania z kombinatoryki
Podstawowe oznaczenia stosowane w zadaniach
Symbolem |A| oznaczamy liczbę elementów zbioru A. Dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 1 symbolem
[n] oznaczamy zbiór wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Ponadto [0] jest zbiorem pustym:
[n] = {1, . . . , n} dla n ≥ 1,
[0] = ∅.
Ciągiem zerojedynkowym nazywamy ciąg skończony (a1 , . . . , an ), którego każdy wyraz jest zerem lub
jedynką, czyli taki, że
a1 , . . . , an ∈ {0, 1}.
Zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych długości n oznaczamy symbolem S(n). Symbolem Sk (n) oznaczamy zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych, w których jest dokładnie k wyrazów równych 1:
Sk (n) = (a1 , . . . , an ) ∈ S(n) : |{i : ai = 1}| = k .
Na przykład
(1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) ∈ S4 (8),
(1, 1, 1, 1) ∈ S4 (4),
(0, 0, 0, 0) ∈ S0 (4).
Symbolem P (A) oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru skończonego A, symbolem Pk (A) oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów k-elementowych zbioru A:
P (A) = {X : X ⊆ A},
Pk (A) = {X ∈ P (A) : |X| = k}.
Ponadto używamy oznaczeń:
P (n) = P ([n]),
Pk (n) = Pk ([n]).
Zadania
1. Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7? Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 17?
Ile liczb trzycyfrowych daje resztę 1 przy dzieleniu przez 7? Ile liczb trzycyfrowych daje resztę 6 przy
dzieleniu przez 7? Ile liczb trzycyfrowych daje resztę 4 przy dzieleniu przez 7?
2. Udowodnij, że liczba ciągów zerojedynkowych długości 15, w których występuje parzysta liczba
jedynek, jest równa liczbie ciągów zerojedynkowych długości 15, w których występuje nieparzysta
liczba jedynek.
3. Udowodnij, że liczba ciągów zerojedynkowych długości 16, w których występuje parzysta liczba
jedynek, jest równa liczbie ciągów zerojedynkowych długości 16, w których występuje nieparzysta
liczba jedynek.
4. Udowodnij, że liczba ciągów zerojedynkowych długości 15, w których występuje więcej jedynek niż
zer, jest równa liczbie ciągów zerojedynkowych długości 15, w których występuje więcej zer niż
jedynek.
5. Niech n ≥ 6. Rozważamy zbiór S ciągów (a1 , . . . , an ), których wyrazy należą do zbioru {0, 1, . . . , 9}.
Można powiedzieć, że elementami zbioru S są liczby mające co najwyżej n cyfr; z tym tylko, że jeśli
liczba ma mniej niż n cyfr, to jej zapis dziesiętny jest uzupełniany na początku odpowiednią liczbą
zer. Teraz w zbiorze S wyróżniamy dwa podzbiory. Zbiór A składa się z tych ciągów, w których
każda liczba parzysta (tzn. 0, 2, 4, 6 i 8) występuje dokładnie jeden raz, pozostałe wyrazy ciągu
są natomiast liczbami nieparzystymi. Zbiór B składa się natomiast z tych ciągów, w których każda
liczba nieparzysta (tzn. 1, 3, 5, 7 i 9) występuje dokładnie jeden raz, pozostałe wyrazy ciągu są zaś
liczbami parzystymi. Udowodnij, że zbiory A i B mają tyle samo elementów, tzn. |A| = |B|.
6. Udowodnij, że jeśli 0 ≤ k ≤ n, to |Sk (n)| = |Pk (n)|. Ogólnie, jeśli zbiór A ma n elementów, to
|Sk (n)| = |Pk (A)|.
7. Dana jest liczba naturalna n ≥ 2. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z par (i, j) takich, że 1 ≤ i < j ≤ n.
Udowodnij, że wówczas |A| = |S2 (n)|.
Warszawa, 19–20 października 2013 r.
2
W. Guzicki: Zadania z kombinatoryki
8. Dana jest liczba naturalna n ≥ 3. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z ciągów (i, j, k) takich, że 1 ≤ i < j < k ≤ n.
Udowodnij, że wówczas |A| = |S3 (n)|.
9. Dane są liczby naturalne k i n takie, że 1 ≤ k ≤ n. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z ciągów (a1 , . . . , ak ) takich, że 1 ≤ a1 < . . . < ak ≤ n.
Udowodnij, że wówczas |A| = |Sk (n)|.
10. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z par (i, j) takich, że 1 ≤ i ≤ j ≤ n.
Udowodnij, że wówczas |A| = |S2 (n + 1)|.
11. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z ciągów (i, j, k) takich, że 1 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ n.
Udowodnij, że wówczas |A| = |S3 (n + 2)|.
12. Dane są dwie liczby naturalne k i n takie, że k, n ≥ 1. Definiujemy następujące dwa zbiory ciągów.:
• zbiór A składa się z ciągów (a1 , . . . , ak ) takich, że 1 ≤ a1 ≤ . . . ≤ ak ≤ n,
• zbiór B składa się z ciągów (b1 , . . . , bk ) takich, że 1 ≤ b1 < . . . < bk ≤ n + k − 1.
Udowodnij, że |A| = |B|.
13. Dane są liczby naturalne k i n takie, że k, n ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z ciągów (a1 , . . . , ak ) takich, że 1 ≤ a1 ≤ . . . ≤ ak ≤ n.
Udowodnij, że wówczas |A| = |Sk (n + k − 1)|.
14. Na ile sposobów można wybrać przedstawiciela parlamentu, którym ma być poseł lub senator? Dla
przypomnienia: Sejm składa się z 460 posłów, Senat ze 100 senatorów i żaden senator nie może
jednocześnie być posłem.
15. W klasie liczącej 30 uczniów wielu uczniów gra w brydża lub szachy (lub w obie gry razem). W brydża
gra 23 uczniów, w szachy 14 uczniów, w obie gry razem gra 9 uczniów. Ilu uczniów nie gra w żadną
z tych gier?
16. W klasie liczącej 30 uczniów każdy uczeń gra w brydża lub szachy (lub w obie gry razem). W brydża
gra 19 uczniów, w szachy 14 uczniów. Ilu uczniów gra w obie gry?
17. W klasie liczącej 30 uczniów wielu uczniów gra w brydża, szachy lub warcaby. W brydża gra
16 uczniów, w szachy gra 13 uczniów, w warcaby gra 10 uczniów. Jednocześnie w brydża i szachy gra 7 uczniów, w brydża i warcaby gra 5 uczniów, w szachy i warcaby gra 4 uczniów. Wreszcie
3 uczniów gra we wszystkie trzy gry. Ilu uczniów nie gra w żadną z tych trzech gier?
18. W klasie liczącej 30 uczniów wielu uczniów gra w brydża, szachy lub warcaby. W brydża gra
17 uczniów, w szachy gra 13 uczniów, w warcaby gra 11 uczniów. Jednocześnie w brydża i szachy gra 6 uczniów, w brydża i warcaby gra 7 uczniów, w szachy i warcaby gra 5 uczniów. Wreszcie
3 uczniów nie gra w żadną z tych trzech gier. Ilu uczniów gra we wszystkie trzy gry?
19. Ile jest liczb od 1 do 1000 włącznie dających resztę 0 lub 1 przy dzieleniu przez 7?
20. Ile jest liczb od 1 do 1000 włącznie podzielnych przez 3 lub przez 5?
21. Ile jest liczb od 1 do 1000 włącznie podzielnych przez 3 i jednocześnie niepodzielnych przez 5?
22. Ile jest liczb od 1 do 1000 włącznie podzielnych przez 3, 5 lub 7?
23. Na ile sposobów można wybrać delegację parlamentu, w skład której ma wchodzić jeden poseł i jeden
senator? Dla przypomnienia: Sejm składa się z 460 posłów, Senat ze 100 senatorów i żaden senator
nie może jednocześnie być posłem.
24. Rzucamy kostką 2 razy, zapisując wyniki w kolejności rzutów. W ten sposób wynikiem doświadczenia
jest para liczb od 1 do 6. Ile wyników tej postaci można uzyskać?
25. Rzucamy 5 razy kostką dwudziestościenną, zapisując wyniki w kolejności rzutów. Ile wyników tej
postaci możemy uzyskać?
26. Dana jest liczba naturalna m ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z par (a, b) takich, że 1 ≤ a, b ≤ m (czyli, inaczej mówiąc, a, b ∈ [m]).
Udowodnij, że |A| = m2 .
Warszawa, 19–20 października 2013 r.
W. Guzicki: Zadania z kombinatoryki
3
27. Dana jest liczba naturalna m ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z trójek (a, b, c) takich, że 1 ≤ a, b, c ≤ m (czyli, inaczej mówiąc, a, b, c ∈ [m]).
Udowodnij, że |A| = m3 .
28. Dane są liczby naturalne n i m (takie, że n, m ≥ 1). Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z ciągów (a1 , . . . , an ) takich, że 1 ≤ a1 , . . . , an ≤ m (czyli, inaczej mówiąc,
a1 , . . . , an ∈ [m]).
Udowodnij, że |A| = mn .
29. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Udowodnij, że wówczas |S(n)| = 2n .
30. Dane są liczby naturalne n i m (takie, że n, m ≥ 1) i dany jest zbiór A taki, że |A| = m. Definiujemy
zbiór B w następujący sposób:
• zbiór B składa się z ciągów (a1 , . . . , an ) takich, że a1 , . . . , an ∈ A.
Udowodnij, że |A| = mn .
31. Rzucamy 5 razy kostką dwudziestościenną, zapisując wyniki w kolejności rzutów. Ile jest możliwych
wyników, w których żadna z wyrzuconych liczb nie jest większa od k (gdzie 1 ≤ k ≤ 20)?
32. Dana jest liczba naturalna m ≥ 2. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z par (a, b) takich, że 1 ≤ a, b ≤ m oraz a 6= b (czyli, inaczej mówiąc, a, b ∈ [m]
oraz a 6= b).
Udowodnij, że |A| = m · (m − 1).
33. Dana jest liczba naturalna m ≥ 3. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z trójek (a, b, c) takich, że 1 ≤ a, b, c ≤ m oraz żadne dwie z tych trzech liczb
nie są równe (czyli, inaczej mówiąc, a, b, c ∈ [m] oraz a 6= b, a 6= c, b 6= c).
Udowodnij, że |A| = m · (m − 1) · (m − 2).
34. Rzucamy 5 razy kostką dwudziestościenną, zapisując wyniki w kolejności rzutów. Ile jest możliwych
wyników, w których żadna liczba się nie powtórzy?
35. Dane są liczby naturalne n i m (takie, że 1 ≤ n ≤ m). Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z ciągów (a1 , . . . , an ) takich, że 1 ≤ a1 , . . . , an ≤ m oraz żadne dwa wyrazy
ciągu nie są równe (czyli, inaczej mówiąc, a1 , . . . , an ∈ [m] oraz ai 6= aj dla dowolnych i oraz j
takich, że 1 ≤ i < j ≤ n).
Udowodnij, że |A| = m · (m − 1) · . . . · (m − n + 1).
36. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z ciągów (a1 , . . . , an ) takich, że 1 ≤ a1 , . . . , an ≤ n oraz żadne dwa wyrazy
ciągu nie są równe (czyli, inaczej mówiąc, a1 , . . . , an ∈ [n] oraz ai 6= aj dla dowolnych i oraz j
takich, że 1 ≤ i < j ≤ n).
Udowodnij, że |A| = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1.
37. Dane są liczby naturalne n i m (takie, że 1 ≤ n ≤ m) i dany jest zbiór A taki, że |A| = m. Definiujemy
zbiór B w następujący sposób:
• zbiór B składa się z ciągów (a1 , . . . , an ) takich, że a1 , . . . , an ∈ A oraz żadne dwa wyrazy ciągu
nie są równe (czyli, inaczej mówiąc, ai 6= aj dla dowolnych i oraz j takich, że 1 ≤ i < j ≤ n).
Udowodnij, że |A| = m · (m − 1) · . . . · (m − n + 1).
38. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1 i dany jest zbiór A taki, że |A| = n. Definiujemy zbiór B w następujący sposób:
• zbiór B składa się z ciągów (a1 , . . . , an ) takich, że a1 , . . . , an ∈ A oraz żadne dwa wyrazy ciągu
nie są równe (czyli, inaczej mówiąc, ai 6= aj dla dowolnych i oraz j takich, że 1 ≤ i < j ≤ n).
Udowodnij, że |A| = n!.
39. Ile jest liczb czterocyfrowych?
40. Ile jest nieparzystych liczb czterocyfrowych?
41. Ile jest parzystych liczb czterocyfrowych?
42. Ile jest liczb czterocyfrowych o czterech różnych cyfrach (tzn. takich, w których żadna cyfra się nie
powtarza)?
43. Ile jest nieparzystych liczb czterocyfrowych o czterech różnych cyfrach (tzn. takich, w których żadna
cyfra się nie powtarza)?
Warszawa, 19–20 października 2013 r.
4
W. Guzicki: Zadania z kombinatoryki
44. Ile jest parzystych liczb czterocyfrowych o czterech różnych cyfrach (tzn. takich, w których żadna
cyfra się nie powtarza)?
45. Ile jest parzystych liczb siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedno
zero i dokładnie jedna jedynka?
46. Ile jest nieparzystych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest
dziewiątką?
47. Dana jest liczba naturalna n ≥ 2. Definiujemy zbiory A i B w następujący sposób:
• zbiór A składa się z par (i, j) takich, że 1 ≤ i < j ≤ n,
• zbiór B składa się z par (i, j) takich, że 1 ≤ i, j ≤ n oraz i 6= j.
.
Udowodnij, że wówczas 2 · |A| = |B|. Wyprowadź stąd wniosek, że n2 = |S2 (n)| = |A| = n(n−1)
2
48. Dana jest liczba naturalna n ≥ 2. Definiujemy zbiory A i B w następujący sposób:
• zbiór A składa się z trójek (i, j, k) takich, że 1 ≤ i < j < k ≤ n,
• zbiór B składa się z trójek (i, j, k) takich, że 1 ≤ i, j, k ≤ n oraz i 6= j, i 6= k, j 6= k.
Udowodnij, że wówczas 6 ·|A| = |B|. Wyprowadź stąd wniosek, że n3 = |S3 (n)| = |A| = n(n−1)(n−2)
.
6
49. Dane są liczby naturalne k i n takie, że 1 ≤ k ≤ n. Definiujemy zbiory A i B w następujący sposób:
• zbiór A składa się z ciągów (a1 , . . . , ak )) takich, że 1 ≤ a1 < . . . < ak ≤ n,
• zbiór B składa się z ciągów (a1 , . . . , ak )) takich, że 1 ≤ a1 , . . . , ak ≤ n oraz żadne dwa wyrazy
ciągu nie są równe (tzn. ai 6= aj dla dowolnych i, j takich, że 1 ≤ i < j ≤ k).
Udowodnij, że wówczas k! · |A| = |B|. Wyprowadź stąd wniosek, że
n
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
= |Sk (n)| = |A| =
.
k
k!
50. Na ile sposobów można wybrać 6 różnych liczb spośród liczb od 1 do 49? Inaczej mówiąc, ile jest
6-elementowych podzbiorów zbioru 49-elementowego?
51. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z par (i, j) takich, że 0 ≤ i < j ≤ n.
Udowodnij, że wówczas |A| = 1 + 2 + . . . + n.
52. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Definiujemy następujące dwa zbiory A i B:
• zbiór A składa się z trójek (i, j, k) takich, że 1 ≤ i, j ≤ k ≤ n.
• zbiór B składa się z trójek (i, j, k) takich, że 1 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ 2n.
Udowodnij, że 4 · |A| = |B|.
53. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z trójek (i, j, k) takich, że 1 ≤ i, j ≤ k ≤ n.
Udowodnij, że |A| = 12 + 22 + . . . + n2 .
54. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Definiujemy następujące dwa zbiory A i B:
• zbiór A składa się z czwórek (i, j, k, m) takich, że 1 ≤ i, j, k < m ≤ n + 1.
• zbiór B składa się z czwórek (i, j, k, m) takich, że 1 ≤ i < j ≤ n + 1 oraz 1 ≤ k < m ≤ n + 1.
Udowodnij, że |A| = |B|.
55. Dana jest liczba naturalna n ≥ 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:
• zbiór A składa się z czwórek (i, j, k, m) takich, że 1 ≤ i, j, k < m ≤ n + 1.
Udowodnij, że |A| = 13 + 23 + . . . + n3 .
Warszawa, 19–20 października 2013 r.