Stabilność liniowych układów sterowania z czasem ciągłym.

Stabilność liniowych ukÃladów sterowania
z czasem cia̧gÃlym
W teorii stabilności ukÃladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii
stanu na zaburzenia stanu pocza̧tkowego.
(ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [0, ∞), x(t0 ) = x0 ) ⇒
(ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [0, ∞), x(t0 ) = x0 + δx0 ).
Niech x̆(t) bȩdzie wyróżniona̧ trajektoria̧ stanu zwia̧zana̧ z wyróżnionym
stanem pocza̧tkowym x̆0 i z wyróżnionym sterowaniem ŭ(t). SpeÃlnia ona
równanie stanu
˙
x̆(t)
= f (x̆(t), ŭ(t), t), t ∈ [0, ∞), x̆(t0 ) = x̆0
Jak zmieni siȩ przebieg wyróżnionej trajektorii stanu, jeśli nasta̧pi zaburzenie
wyróżnionego stanu pocza̧tkowego ?
Analizȩ warunków stabilności ukÃladów sterowania można sprowadzić dobadania stabilności tzw. zerowego punktu równowagi zredukowanego ukÃladu sterowania określonego za pomoca̧ przeksztaÃlcenia
(x̃(t) = x(t) − x̆(t)) ⇒ (x(t) = x̃(t) + x̆(t)).
Równanie stanu wzglȩdem nowych wspóÃlrzȩdnych stanu przybierze postać
˙
˙ + x̆(t)
x̃(t)
= f (x̃(t) + x̆(t), ŭ(t), t),
czyli
˙
x̃(t)
= f (x̃(t) + x̆(t), ŭ(t), t) − f (x̆(t), ŭ(t), t).
Definiuja̧c prawa̧ stronȩ przeksztaÃlconego równania stanu jako
f˜(x̃(t), t) = f (x̃(t) + x̆(t), ŭ(t), t) − f (x̆(t), ŭ(t), t)
możemy zapisać to równanie w postaci
˙
x̃(t)
= f˜(x̃(t), t).
Rozwia̧zanie zerowe x̃(t) = 0 ostatniego równania jest równoważne z wyróżnionym
rozwia̧zaniem x̆(t) równania pierwotnego. Rozwia̧zanie to jest punktem równowagi
ukÃladu przeksztaÃlconego, gdyż
f˜(0, t) = f (0 + x̆(t), ŭ(t), t) − f (x̆(t), ŭ(t), t) = 0.
1
Tak wiȩc badanie stabilności dowolnej wyróżnionej trajektorii stanu ukÃladu
sterowania można sprowadzić do badania zerowego punktu równowagi zredukowanego ukÃladu sterowania.
• Definicja stabilnego punktu równowagi: Punkt równowagi x = 0
zredukowanego ukÃladu sterowania nazywa siȩ punktem stabilnym, jeżeli dla
każdej liczby dodatniej ² można dobrać taka̧ liczbȩ η = η(²), że trajektoria
rozpoczynaja̧ca siȩ w punkcie x0 , leża̧cym wewna̧trz kuli o promieniu η, pozostanie wewna̧trz kuli o promieniu ² dla dowolnej chwili t > 0.
• Definicja asymptotycznie stabilnego punktu równowagi: Punkt
równowagi x = 0 zredukowanego ukÃladu sterowania nazywa siȩ punktem asymptotycznie stabilnym, jeżeli punkt ten jest stabilny i ponadto limt→∞ x(t) =
0.
Stabilność liniowych stacjonarnych ukÃladów sterowania z czasem
cia̧gÃlym
Badanie stabilności asymptotycznej liniowych stacjonarnych ukÃladów sterowania sprowadza siȩ do warunku zanikania skÃladowej rozwia̧zania pochodza̧cej od
zaburzenia stanu pocza̧tkowego tj. do warunku
lim eAt δx0 = 0
t→∞
Rozważana skÃladowa przybiera postać
n
X
e δx0 = L {(sI − A) }δx0 = L {(
∆ij (s)δxj0 /∆(s))i=1,...,n } =
At
−1
−1
−1
j=1
L−1 {(X1 (s, δx0 ), ...Xi (s, δx0 ), ..., Xn (s, δx0 ))T } (?)
gdzie ∆ij (s) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia <= n jako element macierzy doÃla̧czonej (sI − A)D , a ∆(s) = det(sI − A) jest wielomianem
zmiennej zespolonej s stopnia n. Do badania wyrażenia (?) można zastosować
metodȩ rozkÃladu na uÃlamki proste. W tym celu wyznaczamy wartości wÃlasne
s1 , s2 , ..., sn macierzy stanu A tj. pierwiastki równania det(sI − A) = 0.
2
W zależności od charakteru tych wartości wÃlasnych uzyskujemy skÃladowe
rozwia̧zania o różnej postaci.
• 1. Wartości wÃlasne s1 , s2 , ..., sn macierzy A sa̧ jednokrotne rzeczywiste
- wtedy
Xi (s, δx0 ) =
ci1 (δx0 ) ci2 (δx0 )
cin (δx0 )
+
+ ... +
,
s − s1
s − s2
s − sn
gdzie cij (δx0 sa̧ staÃlymi zależnymi od zaburzenia warunku pocza̧tkowego. W
dziedzinie czasowej uzyskujemy
xi (t, δx0 ) = ci1 (δx0 )es1 t + ci2 (δx0 )es2 t + ... + cin (δx0 )esn t .
• 2. Wśród wartości wÃlasnych s1 , s2 , ..., sn macierzy stanu A jest r-krotna
wartość wÃlasna rzeczywista - wtedy
Xi (s, δx0 ) =
ci1 (δx0 )
ci2 (δx0 )
cir (δx0 )
cin (δx0 )
+
+ ... +
+ ... +
.
2
r
s − s1
(s − s2 )
(s − sr )
s − sn
W dziedzinie czasowej uzyskujemy
xi (t, δx0 ) = ci1 (δx0 )es1 t + ci2 (δx0 )tes2 t + ... + cir (δx0 )tr−1 esr t + ... + cin (δx0 )esn t .
• 3. Wśród wartości wÃlasnych s1 , s2 , ..., sn macierzy stanu A jest para
wartości zespolonych sprzȩżonych s1,2 = σ ± ω - wtedy
Xi (s, δx0 ) =
ci1 (δx0 )
ci2 (δx0 )
cin (δx0 )
+
+ ... +
.
s − (σ + ω) s − (σ − ω)
s − sn
W dziedzinie czasowej uzyskujemy
xi (t, δx0 ) = c̃i1 (δx0 )eσt cosωt + c̃i2 (δx0 )eσt sinωt + ... + cin (δx0 )esn t .
• 4. Wśród wartości wÃlasnych s1 , s2 , ..., sn macierzy stanu A jest para
r-krotnych wartości zespolonych sprzȩżonych s1,2 = σ ± ω - wtedy
Xi (s, δx0 ) =
+
ci2 (δx0 )
ci1 (δx0 )
+
+ ...
s − (σ + ω) s − (σ − ω)
ci1 (δx0 )
ci2 (δx0 )
cin (δx0 )
+
+ ... +
.
r
r
(s − (σ + ω))
(s − (σ − ω))
s − sn
3
W dziedzinie czasowej uzyskujemy
xi (t, δx0 ) = c̃i1 (δx0 )eσt cosωt + c̃i2 (δx0 )eσt sinωt + ...
+c̃i,2r−1 (δx0 )tr−1 eσt cosωt + c̃i2r (δx0 )tr−1 eσt sinωt + ... + cin (δx0 )esn t .
Biora̧c pod uwagȩ zależność
lim tp est = 0, p = 1, 2, ...; s < 0,
t→∞
wnioskujemy, że warunkiem koniecznym i wystarczaja̧cym stabilności liniowych stacjonarnych ukÃladów sterowania jest poÃlożenie wszystkich wartości
wÃlasnych s1 , s2 , ..., sn macierzy stanu A w lewej póÃlpÃlaszczyźnie zmiennej
zespolonej tj. speÃlnienie warunku Re(si ) < 0, i = 1, ..., n.
6
s
u
u
-
u
u
• Definicja stabilności eksponencjalnej: Punkt równowagi xr = 0 zredukowanego ukÃladu sterowania nazywa siȩ punktem stabilnym eksponencjalnie
(wykÃladniczo), jeżeli istnieja̧ dwie liczby η > 0 i λ < 0 takie, że
||x(t)|| ≤ η||x(0)||eλt .
4
Dla stabilnego liniowego ukÃladu sterowania o pojedynczych wartościach
wÃlasnych si , i = 1, ..., n uzyskuje siȩ
λ = max Re(si )
i=1,...,n
tj. szybkość stabilności określona jest w tym przypadku przez maksymalna̧
czȩść rzeczywista̧ wartości wÃlasnych macierzy stanu. Jeśli natomiast ukÃlad
posiada wielokrotne wartości wÃlasne, to zachodzi oszacowanie
λ = max Re(si ) + ²,
i=1,...,n
gdzie ² jest dowolnie maÃla̧ liczba̧ dodatnia̧ - tak wiȩc również w tym przypadu
wykÃladnik szybkości stabilności jest w przybliżeniu równy maksymalnej czȩści
rzeczywistej wartości wÃlasnych macierzy stanu.
6
s
u
λ
u
u
-
u
Ponieważ wartości wÃlasne macierzy A sa̧ pierwiastkami równania algebraicznego stopnia n, wiȩc zbadać ich poÃlożenie na pÃlaszczyźnie s można stosuja̧c kryterium Hurwitza. W tym celu
• (a) porza̧dkujemy równanie wartości wÃlasnych do postaci
∆(s) = an sn + an−1 sn−1 + ... + a1 s + a0 = 0,
5
• (b) sprawdzamy, czy wszystkie wspóÃlczynniki ai sa̧ różne od zera i maja̧
ten sam znak,
• (c) sprawdzamy, czy wszystkie minory gÃlówne ∆i macierzy Hurwitza H
sa̧ dodatnie, gdzie


a1 a0 0 0 ...
a a a a ...
 3 2 1 0

H=

a5 a4 a3 a2 ...
... ... ... ... ... n×n
• PrzykÃlad:
Macierz stanu zredukowanego ukÃladu sterowania z czasem ciÃla̧gÃlym ma
postać

−1 α
0


A =  β −1 α  ,
0
β −1

przy czym α i β sa̧ parametrami ukÃladu. Aby zbadać dla jakich parametrów
ukÃlad sterowania jest asymptotycznie stabilny zapisujemy równanie wartości
wÃlasnych macierzy stanu

s + 1 −α
0


det(sI − A) = det  β
s + 1 −α  = 0.
0
−β s + 1

Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny ukÃladu w postaci standardowej
∆(s) = s3 + 3s2 + (3 − 2αβ)s + 1 − 2αβ = 0 ⇒ 1 − 2αβ > 0,
co oznacza, że a3 = 1, a2 = 3, a1 = 3 − 2αβ i a0 = 1 − 2αβ.
Zapisujemy macierz Hurwitza


2 − 2αβ 1 − 2αβ
0


A= 1
3
3 − 2αβ 
0
0
1
Kryterium stabilności Hurwitza implikuje warunki
• a1 = 3 − 2αβ > 0 i a0 = 1 − 2αβ > 0 (dodatniość wspóÃlczynników
wielomianu charakterystycznego ukÃladu),
6
• ∆1 = 3 − 2αβ > 0, i ∆2 = 8 − 4αβ > 0 ⇒ αβ < 0.5 (dodatniość minorów
gÃlównych macierzy Hurwitza).
Tak wiȩc obszar stabilności parametrycznej ukÃladu sterowania jest określony
przez nierówność
αβ < 0.5.
7