Parametry zmiennych losowych

Matematyka, II rok
2015/2016
Zmienne losowe dyskretne, ci¡gªe, parametry
zmiennych losowych
Zadanie 1
Z urny zawieraj¡cej 3 kule czarne i 6 kul biaªych wyj¦to dwie. Dla
zmiennej losowej
X
wyra»aj¡cej liczb¦ wyj¦tych kul czarnych znale¹¢ jej funkcj¦ praw-
dopodobie«stwa, dystrybuant¦ oraz wariancj¦.
Zadanie 2
Zmienna losowa dyskretna ma nast¦puj¡c¡ funkcj¦ prawdopodobie«-
stwa:
xk
pk
oraz warto±¢ oczekiwan¡ równ¡
Zadanie 3
1
a
3
4
0,1
0,4
0,3
b
13
.
5
Wyznaczy¢
aib
Dla zmiennej losowej o dystrybuancie
F (x) =



















0
0, 12
0, 44
0, 62
0, 78
1
dla
dla
dla
dla
dla
dla
x¬0
0<x¬1
1<x¬2
2<x¬3
3<x¬4
x>4
wyznaczy¢ funkcj¦ prawdopodobie«stwa, obliczy¢
P (1 < X ¬ 3), P (X > 4)
oraz
warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ tej zmiennej.
Zadanie 4
W pi¦ciu rzutach monet¡ zmienna losowa przyjmuje warto±ci równe
liczbie wyrzuconych orªów. Znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ tej zmiennej.
Zadanie 5
Dla zmiennej losowej o dystrybuancie
F (x) =













0
0, 3
0, 7
0, 9
1
dla
dla
dla
dla
dla
x¬2
2<x¬4
4<x¬6
6<x¬7
x>7
2
Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa
wyznaczy¢ funkcj¦ prawdopodobie«stwa tej zmiennej, znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ i
wariancj¦ oraz obliczy¢ prawdopodobie«stwa
Zadanie 6
P (X > 1), P (−1 < X < 2), P (X ­ 7)
Rzucamy monet¡ do momentu uzyskania orªa. Dla zmiennej losowej
oznacza j¡cej liczb¦ rzutów wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡.
Zadanie 7
obliczy¢
Dla zmiennej losowej
X
o rozkªadzie Poissona z parametrem
λ = 3
P (X ­ 3).
Zadanie 8
X
Dla zmiennej losowej
o rozkªadzie dwumianowym, warto±ci oczeki-
wanej równej 40 i wariancji równej 30 znale¹¢ parametry jej rozkªadu.
Zadanie 9
n = 10 i p =
Dla zmiennej losowej
1
obliczy¢
3
Zadanie 10
X
o rozkªadzie dwumianowym z parametrami
Y
o rozkªadzie dwumianowym z parametrami
P (X > 2).
Dla zmiennej losowej
n = 900 i p = 0, 1
wyznaczy¢ odchylenie standardowe zmiennej
Zadanie 11
X
Dla zmiennej losowej
o rozkªadzie
X = 3Y + 2
N (0, 1)
obliczy¢
P (X > 0),
P (| X |< 2), P (| X |> 1).
Zadanie 12
Dla zmiennej losowej
Zadanie 13
W populacji maturzystów wzrost ma rozkªad
X
o rozkªadzie
N (3, 5)
obliczy¢
P (| X − 1 |> 1).
N (170, 8.) Obliczy¢ praw-
dopodobie«stwo, »e losowo wybrany maturzysta ma wzrost wi¦kszy ni» 166.
Zadanie 14
Rozkªadem dªugo±ci kolb kukurydzy jest
N (14, 2).
Obliczy¢ prawdo-
podobie«stwo, »e losowo wybrana kolba jest dªugo±ci co najmniej 12 i co najwy»ej 19.
Zadanie 15
Zmienna losowa
X
ma rozkªad o g¦sto±ci
(
0
3x2
f (x) =
dla
dla
x ∈ IR \ [0, 1]
x ∈ [0, 1]
Obliczy¢ jej warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ tej zmiennej.
Zadanie 16
Zmienna losowa
X
f (x) =
ma rozkªad o g¦sto±ci


0
x

2
dla
dla
x ∈ IR \ [0, 2]
x ∈ [0, 2]
Wyznaczy¢ dystrybuant¦ tej zmiennej. Obliczy¢ prawdopodobie«stwa
P (X = 1)
oraz warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ tej zmiennej.
P (X > 3)
i
Katarzyna Doma«ska
Zadanie 17
Zmienna losowa
X
(
f (x) =
3
ma rozkªad o g¦sto±ci
0
sin 2x
dla
dla
x ∈ IR \ [0, π2 ]
x ∈ [0, π2 ]
Wyznaczy¢ dystrybuant¦ tej zmiennej. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo
P (X >
π
)
4
oraz
warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ tej zmiennej.
Zadanie 18
Zmienna losowa
X
ma rozkªad o g¦sto±ci
(
bex
0
f (x) =
dla
dla
x ∈ [0, ln 3]
x ∈ IR \ [0, ln 3]
b, dystrybuant¦ tej zmiennej. Obliczy¢ prawdopodobie«stwa
P (X > 1) oraz P (0 < X ¬ ln 2). Zinterpretowa¢ te prawdopodobie«stwa na wykresach
g¦sto±ci i dystrybuanty. Znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej X.
Wyznaczy¢ warto±¢ staªej
Zadanie 19
Dystrybuanta zmiennej losowej
0
1 3
F (x) =
x


 27
1




X
okre±lona jest wzorem
dla
x¬0
dla
0<x¬3
dla
x>3
Wyznaczy¢ g¦sto±¢ oraz warto±¢ oczekiwan¡ tej zmiennej losowej.
Zadanie 20
Dystrybuanta zmiennej losowej
F (x) =
Znale¹¢ tak¡ warto±¢
bie«stwem
a,
»e zmienna
X
X
okre±lona jest wzorem
1 1
π
+ arctg
2 π
2
przyjmie warto±¢ wi¦ksz¡ ni»
a
z prawdopodo-
1
6
Zadanie 21
Niezale»ne zmienne losowe
X
i
Y
maj¡ jednakow¡ funkcj¦ prawdopo-
dobie«stwa
xk
0
1
2
pk
1
3
1
3
1
3
Wyznaczy¢ warto±ci oczekiwane dla zmiennych
Zadanie 22
X + Y, XY, 2X, X 2
Gracz rzuca raz symetryczn¡ kostk¡ do gry. Otrzymuje 1 zª, je»eli
wyrzuci parzyst¡ liczb¦ oczek, otrzymuje 5zª, je»eli wyrzuci pi¦¢ oczek, w pozostaªych
przypadkach traci 3 zª. Wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej
opisuj¡cej wygran¡ gracza.