Zestaw11

Rachunek Prawdopodobieńtwa 1. Zestaw 11. Zmienne losowe.
1. Pozostało zadanie 3 z zestawu 10.
2. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego detalu wynosi 0, 05. Ile detali powinna wyprodukowac fabryka, aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej 0, 9 przynajmniej 100 spośród
nich nie było wybrakowanych. Podaj oszacowanie w oparciu o nierówność Czebyszewa.
3. Udowodnij regułę trzech sigm: P (|X−EX| > 3σ) < 91 , gdzie σ to skończone odchylenie standardowe
zmiennej losowej X.
4. Wyznacz gęstość zmiennej losowej X 2 , gdzie zmienna X
(a) ma rozkład wykładniczy
(b) ma rozkład normalny
(c) ma gęstość f
5. Wyznacz dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej a) min(X, Y ), b) max(X, Y ); gdzie X, Y to
niezależne zmienne losowe o dystrybuancie F i gęstości f .
6. Znajdź wartość oczekiwaną zmiennych losowych a) min(X, Y ), b) min(X, Y ) + max(X, Y ), gdzie
X, Y mają rozkład jednostajny na odcinku [0, 1] i są niezależne.
7. Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y , gdzie X, Y to niezależne zmienne losowe, X ma rozkład
Poissona, Y ma rozkład jednostajny na zbiorze {−1, 0, 1}.
8. Niech X, Y, Z będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Policz wartość oczekiwaną zmiennej
X · Y + ZY , gdzie X ma rozkład wykładniczy, Y ma standardowy rozkład normalny, Z ma rozkład
jednostajny na zbiorze {0,1}.
9. Ile wynosi wartość oczekiwana zmiennej danej wzorem
(
X, |X| > 1
Y =
−X, |X| ¬ 1
,
gdzie X ma rozkład wykładniczy.
10. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład o gestosci f (x, y) = Π/2 dla x2 + y 2 ¬ 1, y ­ 0 oraz f (x, y) = 0
dla pozostałych (x, y). Czy zmienne losowe X, Y sa niezalezne? Odpowiedz uzasadnij.
11. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład o gestosci f (x, y) = Kxy dla (x, y) ∈ (0, 1)2 oraz f (x, y) = 0
dla pozostałych (x, y), gdzie K jest odpowiednią stałą. Czy zmienne losowe X, Y sa niezalezne?
Odpowiedz uzasadnij.