Mathcad - procesy_stochastyczne.xmcd

Zadanie na zaliczenie z przedmiotu:
Procesy Stochastyczne
Autor:
Krzysztof Wesołowski
wydział EAIiE
Automatyka i Robotyka
rok II, grupa 3
Numer zagadnienia:
86
Przedmiotem zadanie jest analiza zadanego procesu stochastycznego, który przybliŜe poniŜej.
Mamy daną zmienną losową X, o rozkładzie ciągłym, zadanym funkcją:
(
)
− 3 x2 − 1  if x > −1 ∧ x < 1
 4



pX( x) :=
0 otherwise
1
0.5
pX ( x)
0
− 0.5
−1
−2
−1
0
1
2
x
Oraz proces stochastyczny zdefiniowany jako
Y(t)=e-t+X
czyli proces obrazujący na przyklad ruch tłumiony, o losowej wartosci poczatkowej/losowym
przesunieciu w czasie.
skrajne reazlizacje tego procesu t wykresy funkcji
e-t+1 oraz e-t-1
Narysuja kilka moŜliwych przebiegów procesu:
losoweX :=
for i ∈ 0 .. 10
wynik ← rnd( 2 ) − 1
while pX( wynik) < rnd
3

4
wynik ← rnd( 2 ) − 1
result ← wynik
i
result
przebieg( t , i) := e
− t+ losoweX i
− t+ 1
e
− t− 1
e
przebieg( t , 0)
przebieg( t , 1)
2
przebieg( t , 2)
przebieg( t , 3)
przebieg( t , 4)
przebieg( t , 5)
przebieg( t , 6)
1
przebieg( t , 8)
przebieg( t , 9)
0
0
1
2
3
4
5
t
Rozwazmy teraz funkcje zmiennej losowej, konkretnie Y(t)=e-t+X(t), gdzie X(t) jest w gruncie
rzeczy zwykla zmienna losowa, stała niezaleŜnie od t.
Y( t ) = g( x) = e
− t+ X
mamy wiec funkcje zmiennej losowej postaci Y=e
− t+ X
znajdźmy informacje potrzebne do wyznaczenia jej rozkladu:
ln( y) = −t + x
x = ln( y) + t
g( x) = e
− t+ X
− t+ X
d
g( x) = e
dx
Funckja gestosci naszej zmiennej losowej Y dla zadanego czasu wynosi wiec:
−
pY( y, t ) :=
3
2
( ln( y) + t) − 1
4
e
− t+ ( ln( y) +t)
if −
3
2
( ln( y) + t) − 1 ≥ 0
4
0 otherwise
Gdzie zarowno warunek jak i funkcje mozna jeszce uproscic:
−
3
2
( ln( y) + t) − 1
4
e
−
− t+( ln( y) + t)
−
=
3
2
( ln( y) + t) − 1
4
y
2
3 ( ln( y) + t) − 1
=− ⋅
y
4
3
2
( ln( y) + t) − 1 ≥ 0
4
2
( ln( y) + t) − 1 ≤ 0
2
( ln( y) + t) ≤ 1
ln( y) + t ≤ 1 ∧ ln( y) + t > −1
ln( y) ≤ 1 − t ∧ ln( y) > −1 − t
y≤e
( 1− t)
∧y>e
( − 1−t)
Ostatecznie więć moŜemy funkcje gęstiści naszej zmiennej losowej Y zapisać jako:
2
3 ( ln( y) + t) − 1
( 1− t)
( − 1− t)
− ⋅
if y ≤ e
∧y>e
4
y
pY( y, t) :=
0 otherwise
co daje nam dokładny opis przebiegu procesu.
PoniŜej zamieszczam funkcję ilustrujące funkcje gęstości da róznych wartosci argumentu t,
co odpowiada funkcjom gęstości prawdopodobieństwa zdarzenia takiego ze w chwili t,
sygnał y będzie miał daną wartośc.
3
pY ( y , 0)
pY ( y , 0.1)
pY ( y , 0.2) 2
pY ( y , 0.3)
pY ( y , 0.4)
pY ( y , 0.5) 1
pY ( y , 1)
0
0
1
2
3
y
Obliczmy teraz wartośc oczekiwana naszego sygnału, w funkcji czasu: E[Y(t)]
4
( − 1− t)
⌠e
y⋅ pY( y , t ) dy = 

−∞
⌡ ( 1− t)
⌠
E( Y( t ) ) = 
⌡
∞
3
2
− ( t+ 1)
− ⋅ ( ln( y) + t) − 1 dy = 3⋅ e
4
e
Zaznaczmy teraz wartośc oczekiwaną wśród innych realizacji:
− t+ 1
e
− t− 1
e
− ( t + 1)
3⋅ e
przebieg( t , 0)
przebieg( t , 1)
2
przebieg( t , 2)
przebieg( t , 3)
przebieg( t , 4)
przebieg( t , 5)
przebieg( t , 6) 1
przebieg( t , 8)
przebieg( t , 9)
0
0
1
2
3
4
t
Kolejną wazna informacją o procesie jest jego Autokorelacja:
Tutaj przy uŜyciu poprzedniej metody całkowania mielibysmy problem z granicami
całkowania, dlatego znajdziemy funkcje gestosci rozklady Y(t) w inny sposób, korzystając
z dystrybuanty.
( − t⋅eX < y) = P(eX < et⋅y) = P(ln(eX) < t⋅ln(y) )
Fy( t , y) = P( Y( t , ω) < y) = P e
( ( X) < t⋅ln( y)) = P(X < t⋅ln(t)) = Fx(t⋅ln(y) )
P ln e
a więc funkcję gęstości moŜna latwo obliczyć róŜniczkując:
pY( t ) = pX( t ⋅ ln( y) ) ⋅ t⋅
1
y
5
Funkcja ta jest identyczna z poprzednio otrzymana, działa ona w tym samym przedziale, a
przy okazji sugeruje uzyteczne w całkowaniu podstawienie (powyŜsze scałkowal program).
Teraz, wiedząc Ŝe zamiast w w wartości oczekiwanej całkować po zmiennej y moŜemy
zamiennie scałkować po zmiennej x łatwo obliczyć współczynnik autokorelacji.
3 ⌠
Ry( t1 , t2) = E( Y( t1) ⋅ Y( t2) ) = ⋅ 
4 ⌡
1
−1
1
(
)
e
− t1 x − t2 x
⋅e ⋅e
(
)
2
⋅e ⋅ 1 − x
1
(
)
3 − ( t1+ t2) ⌠
2x
2
dx = e
⋅  e ⋅ 1 − x dx
⌡
4
−1
1
3 − ( t1+t2) ⌠
2x
2
− ( t1+ t2) 
e
⋅  e ⋅ 1 − x dx = e
⋅  cosh( 2 ) − sinx ( 2 ) 
⌡
2
4


−1