Planimetria Klasa 1

Planimetria Klasa 1
1. Dane s¡ 4 ró»ne punkty nale»¡ce do jednej pªaszczyzny. Przez ka»de dwa punkty prowadzimy
prost¡. Ile prostych mo»na otrzyma¢ w ten sposób. Rozwi¡» zadanie dla 5 i 6 punktów.
2. W ilu punktach mog¡ si¦ przecina¢:
(a)
3
ró»ne proste
(b)
4
ró»ne proste
(c)
n
ró»nych prostych
3. Wyznacz k¡ty mi¦dzy przecinaj¡cymi si¦ prostymi je±li jeden jest 8 razy wi¦kszy od drugiego.
4. Maj¡c do dyspozycji papier w kratk¦ i dªugopis zaznacz:
(a)
3
punkty, które s¡ wierzchoªkami trójk¡ta prostok¡tnego równoramiennego
(b)
4
punkty, które s¡ wierzchoªkami rombu nie b¦d¡cego kwadratem
(c)
4
punkty, które s¡ wierzchoªkami równolegªoboku
(d)
4
punkty, które s¡ wierzchoªkami trapezu równoramiennego
5. Jeden z k¡tów trójk¡ta ma
250 ,
a ró»nica dwóch pozostaªych wynosi
150 .
Wyznacz te k¡ty.
6. W trójk¡cie poª¡czono ±rodki dwóch boków
(a) Ile razy mniejszy jest obwód maªego trójk¡ta od obwodu du»ego trójk¡ta?
(b) Ile razy mniejsze jest pole maªego trójk¡ta od du»ego trójk¡ta?
7. Za pomoc¡
4
(a)
5
cz¦±ci
(b)
8
cz¦±ci
(c)
11
ci¦ciw podziel koªo na:
cz¦±ci
8. Oblicz odlegªo±¢ ci¦ciwy o dªugo±ci
6
od ±rodka okr¦gu o promieniu
5.
9. Suma dwóch k¡tów trójk¡ta jest równa trzeciemu k¡towi. Udowodnij, »e jest to trójk¡t prostok¡tny.
10. Czy mo»na zbudowa¢ trójk¡t o bokach wynosz¡cych:
√
√
2, 5, 2 + 2
(a)
2−
(b)
1, 2, 3
(c)
4, 5, 6
1
(d) √
2
, √13 , √15
11. Dla jakich warto±ci
x
liczby:
10 − 2x, 3x + 6, 4x − 2
1
mog¡ by¢ dªugo±ciami boków trójk¡ta?
12. Oblicz dªugo±¢ boku trójk¡ta równobocznego, którego wysoko±¢ wynosi:
(b)
√
2 3
√
3 6
(c)
15
(d)
2
(a)
13. W trójk¡cie równoramiennym k¡t przy podstawie wynosi
Wyka», »e symetralne ramion tego trójk¡ta tworz¡ k¡t
14. Wyka», »e w trójk¡cie
A
ABC ,
ABCD,
punkt
k¡ta w punkcie F. Wyka», »e
16. W trójk¡cie równobocznym
trójk¡t
ODE
2α.
k¡t pomi¦dzy wysoko±ci¡ opuszczon¡ z wierzchoªka
równa si¦ poªowie ró»nicy k¡tów:
15. W prostok¡cie
α.
B i C .
E jest ±rodkiem
|AF | = 2|F C|.
boku
BC .
A
i dwusieczn¡
Odcinek DE przecina przek¡tn¡ prosto-
ABC , wysoko±ci AE i CD przecinaj¡ si¦ w punkcie O.
ADE . Oblicz skal¦ podobie«stwa tych trójk¡tów.
Wyka», »e
jest podobny odo
17. Przyprostok¡tne trójk¡ta prostok¡tnego maj¡ dªugo±ci
i
a
b.
W trójk¡t wpisano kwadrat, w ten
sposób, »e dwa boki kwadratu le»¡ na przyprostok¡tnych, za± jeden z wierzchoªków na przeciwprostok¡tnej. Wyka», »e dªugo±¢ boku kwadratu wynosi:
ab
a+b .
18. W kole poprowadzono dwie ±rednice
AB i CD.
19. W okr¦gu prowadzimy ±rednic¦
i równolegª¡ do niej ci¦ciw¦
0
|ACD| − |CDA| = 90
AB
PB
ABCD
CD.
jest prostok¡tem.
Wyka», »e ró»nica miar:
.
20. Dwa okr¦gi przecinaj¡ si¦ w punktach
±rednic¦
Wyka», »e czworok¡t
P
i
Q.
Poprowadzono ±rednic¦
w drugim okr¦gu. Wyka», »e punkty
2
A, Q, B
PA
w pierwszym okr¦gu i
s¡ wspóªliniowe (le»¡ na 1 prostej).