2.03. Ściskanie mimośrodowe

2.2. ŚCISKANIE MIMOŚRODOWE MATERIAŁU NIE
PRZENOSZĄCEGO NAPRĘŻEŃ ROZCIĄGAJĄCYCH
Materiał nie przenoszący naprężeń rozciągających (z więzami jednostronnymi) jest to
materiał liniowo-sprężysty określony następującym związkiem fizycznym (rys. 1)
Rys. 1
σ x (ε x > 0 ) = 0, σ x (ε x ≤ 0 ) = Eε x
(1)
σ x = [1 − H (ε x )]Eε x
(1’)
lub
gdzie
H (ε x ≤ 0 ) = 0,
H (ε x > 0 ) = 1
jest funkcją HEAVISIDE’A (rys. 2)
Rys. 2
Naprężenia normalne
Jeśli na przekrój prostokątny o wymiarach b × h i właściwościach mechanicznych
określonych prawem HOOKE’A działa siła ściskająca przyłożona w punkcie
o współrzędnych y P = 0 i zP , leżącym poza rdzeniem przekroju, to zgodnie ze wzorem
(4’) rozkład naprężeń określony jest zależnością
1
σx = −
P 
z 
1 + 2P z 

A
i y 
Z zależności tej wynika, że przy z < 0 w przekroju występują naprężenia rozciągające,
których rozważany materiał o właściwościach mechanicznych określonych wzorem (1) nie
przenosi. Ponieważ odrzucenie części dodatniej tego wykresu naprężeń spowodowałoby
naruszenie warunków równowagi, zatem założymy, że wykres naprężeń w przypadku
rozważanego materiału jest również liniowy i ma kształt trójkąta o podstawie d (długość
strefy ściskanej) i wysokości σ min (wartość naprężenie minimalnego), którego środek
h
ciężkości znajduje się pod siłą P, czyli w odległości c = − zP od zewnętrznej krawędzi K
2
przekroju (rys. 3).
Rys. 3
Nieznane wielkości d i σ min wyznaczymy z następujących warunków równowagi:
1
∑ X = 0 → 2σ
min
⋅ d ⋅ b = − P,
∑M
K
=0→
1
1
σ min ⋅ d ⋅ b ⋅ d = −P ⋅ c
2
3
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
d = 3c, σ min = −
2
2P
3b ⋅ c
Przykłady
Przykład 1
Wyznaczyć rozkład naprężeń ściskających w przekroju jak na rys. P1.1, jeśli siła ściskająca przyłożona jest
2a
w punkcie o współrzędnych 0,
, zaś materiał nie przenosi naprężeń rozciągających. Porównać otrzymany
3
wynik z rozkładem naprężeń z przykładu 3 p.3
Dane
b = a, h = 2a, P, y P = 0, zP =
Szukane: d, σ min
2a
3
Rys. P1.1
Rozwiązanie
Krok 1. Obliczamy
c=
h
2a 2a a
− zP =
−
=
2
2
3
3
Krok 2. Ze wzorów (2) wyznaczamy długość strefy ściskanej i naprężenie minimalne (rys. P1.2)
d = 3c = 3
a
=a
3
σ min = σ x (a ) = −
2P
2P
2P
=−
=− 2
a
3b ⋅ c
a
3a ⋅
3
Krok 3. Porównujemy otrzymane wyniki
W przypadku materiału liniowo sprężystego HOOKE’A długość strefy ściskanej d 3 i minimalna wartość
3
naprężeń ściskających σ min
wynoszą odpowiednio (rys. P1.2)
(
)
d3 = a + − zO3 = a +
3
σ min
=−
a 3a
=
2
2
3P
2a 2
3
Rys. P1.2
Porównując powyższe rezultaty otrzymujemy
d
a
2
=
= = 0.67
3
a
d3
3
2
2P
4
σ min − a 2
=
= = 1.33
3
3P
σ min
3
− 2
2a
Z powyższych porównań wynika, że w przypadku materiału nie przenoszącego naprężeń rozciągających
długość strefy ściskanej jest mniejsza, zaś wartość naprężeń minimalnych – większa, niż w przypadku
materiału liniowo sprężystego HOOKE’A.
4