modelowanie osobliwych pól naprężeń w zagadnieniach mechaniki

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
33, s. 5-10, Gliwice 2007
ISSN 1896-771X
MODELOWANIE OSOBLIWYCH PÓL NAPRĘŻEŃ W ZAGADNIENIACH
MECHANIKI KRUCHEGO PĘKANIA Z WYKORZYSTANIEM
ANALITYCZNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
ADAM ADAMOWICZ, ANDRZEJ SEWERYN
Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka
e-mail: [email protected], [email protected]
Streszczenie. W pracy przedstawiono metodę elementów analitycznych, służącą
do wyznaczania wartości parametrów opisujących osobliwe pola naprężeń
w pobliżu wierzchołków ostrych naroży. Wykorzystano ją do wyznaczenia
współczynników intensywności naprężeń oraz współczynników stojących przy
członach wyższych rzędów rozwinięcia asymptotycznego opisującego pole
naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny. Otrzymane wyniki posłużyły do
wyznaczenia warunków krytycznych propagacji szczelin z zastosowaniem
nielokalnego naprężeniowego kryterium kruchego pękania.
1. WSTĘP
Identyfikacja pól naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny jest nieodzownym elementem
prognozowania pękania. Sprowadza się ona do wyznaczenia wartości parametrów
analitycznych opisujących te pola. Wykorzystywane do tego techniki obliczeniowe podzielić
można na trzy grupy [1]. W metodach asymptotycznych poszukiwane parametry analityczne
wyznaczane są na podstawie porównania wyników obliczeń, np. metody elementów
skończonych z rozkładami teoretycznymi [2]. W metodach energetycznych wartości
poszukiwanych parametrów wyznaczane są na podstawie zmian energii potencjalnej układu,
wywołanej zmianą wymiaru szczeliny [3], lub wykorzystania twierdzenia o wzajemności prac
[4]. Prezentowana w pracy metoda elementów analitycznych [5], obok elementów
hybrydowych [6] i metody więzów analitycznych [7], należy do trzeciej grupy - metod
bezpośrednich. Poszukiwane parametry analityczne znajdują się w wektorze niewiadomych
zagadnienia metody elementów skończonych, obok składowych przemieszczeń węzłów
elementów skończonych, i wyznaczane są z układu równań równowagi sił węzłowych.
2. ROZKŁAD PÓL NAPRĘŻEŃ W OTOCZENIU WIERZCHOŁKA SZCZELINY
Opis osobliwego pola naprężeń i przemieszczeń w pobliżu wierzchołka szczeliny,
w zagadnieniach liniowej teorii sprężystości, może być przedstawiony w układzie
współrzędnych biegunowych (r, ϑ) (rys. 1) w postaci następującego rozwinięcia [8]:
6
A. ADAMOWICZ, A. SEWERYN
k
mI
k
mII
−1
−1
σij = ∑ K Ik r 2 fijIk (ϑ ) + ∑ K IIk r 2 fijIIk (ϑ ),
k =1
k =1
k
2
mI
ui = ∑ K Ik r g
k =1
Ik
i
mII
(ϑ ) + ∑ K IIk r
k =1
k
2
(1)
g
IIk
i
(ϑ ) + uCi ,
gdzie KIn, KIIn – współczynniki przy n-tym członie rozwiązania asymptotycznego, a KI1 i KII1
odpowiadają klasycznym współczynnikom intensywności naprężeń KI i KII:
K I + iK II = lim  2πr (σ ϑϑ + iτ rϑ ) 
(2)
ϑ = 0 r → 0+
Wyrażenia opisane wzorami (1) zostaną zapisane w postaci macierzowej:
σ = fu K , u = gu K
(3)
gdzie σ i u są wektorami kolumnami zawierającymi odpowiednio: składowe tensora naprężeń
i składowe przemieszczeń, f i g są macierzami funkcji współrzędnych, a uK jest wektorem
parametrów analitycznych, opisujących osobliwe pole naprężeń i przemieszczeń:
u K T = K I , K I2 , K I3 ,..., K I m1 , K II , K II2 , K II3 ,..., K II m2 , uCr , uCϑ
(4)
{
}
uCr i uCϑ są składowymi przemieszczenia wierzchołka szczeliny.
y
r
x
2l
Rys.1. Szczelina z biegunowym układem
współrzędnych (r, ϑ)
Rys.2. Ciało ze szczeliną oraz obszary Ω A
i ΩO
3. METODA ELEMENTÓW ANALITYCZNYCH
Idea metody elementów analitycznych polega na wykorzystaniu specjalnego elementu
skończonego do modelowania obszaru przywierzchołkowego szczeliny lub ostrego naroża.
W wektorze kolumnie parametrów węzłowych q zagadnienia MES wydzielono podwektor uO,
zawierający składowe przemieszczeń węzłów standardowych elementów skończonych (obszar
Ω O – rys. 2), podwektor uA składowych przemieszczeń węzłów leżących na granicy obszaru
analitycznego Ω A oraz uK – wektor poszukiwanych parametrów analitycznych (4):
q T = { u OT , u A T , u K T }
(5)
Energia odkształcenia sprężystego rozpatrywanego układu przyjmie postać:
0  u O 
 K OO K OA
1
 
T
T
T 
U = {u O , u A , u K }  K AO K AA
0  u A 
2
 0
0
K A  u K 
(6)
gdzie KA jest macierzą sztywności elementu analitycznego Ω A.
Postać macierzy sztywności elementu analitycznego KA wyprowadzona została z wyrażenia
na energię odkształcenia sprężystego obszaru analitycznego Ω A przy wykorzystaniu związków
MODELOWANIE OSOBLIWYCH PÓL NAPRĘŻEŃ W ZAGADNIENIACH MECHANIKI KRUCHEGO... 7
pomiędzy wektorami kolumnami odkształceń ε i naprężeń σ oraz przy zastosowaniu opisu
pola naprężeń za pomocą parametrów analitycznych (3):


1
1
1
1
U A = ∫ σ T εt dΩ = ∫ σ T C−1σt dΩ = u K T  ∫ f T C−1ft dΩ  u K = u K T K A u K
(7)
Ω

2 ΩΑ
2 ΩA
2
2
 A

gdzie t – grubość elementu, C – macierz stałych sprężystych, f - macierz funkcji
współrzędnych (3). Stąd macierz sztywności elementu analitycznego:
K A = ∫ f T C−1ft dΩ
(8)
ΩA
Ciągłość pola przemieszczeń i naprężeń pomiędzy obszarem analitycznym Ω A a obszarem
modelowanym za pomocą standardowych elementów skończonych Ω O zapewniono przez
zastosowanie metody więzów analitycznych [5], [7]. Wykorzystano wymuszenie
przemieszczeń węzłów granicznych obu obszarów zgodnie z zadanym rozkładem
teoretycznym, uzależniając je od poszukiwanych wartości parametrów analitycznych:
u O   I 0 
  
 u O 
(9)
u A  =  0 Ψ    u A = Ψ u K
u

K

u   0 I 
 K 

Postać macierzy więzów analitycznych Ψ wynika bezpośrednio z przyjętego opisu
osobliwego pola przemieszczeń (1). Wprowadzenie macierzy więzów analitycznych spowoduje
modyfikację globalnej macierzy sztywności. Ostatecznie energia odkształcenia sprężystego
układu przybierze postać:
u 
1
(10)
U = {u O T , u K T } K ∗  O 
2
u K 
gdzie K* jest zmodyfikowaną macierzą sztywności układu:
K OA Ψ
 K

K * =  T OO

T
 Ψ K AO Ψ K AA Ψ + K A 
(11)
4. PROGNOZOWANIE PĘKANIA ELEMENTÓW ZE SZCZELINAMI
W nielokalnym naprężeniowym kryterium pękania, zaproponowanym przez Seweryna
i Mroza [9], zakłada się, że inicjacja lub propagacja szczeliny następuje wówczas, gdy
uśredniona na odcinku d0 długości strefy pękania funkcja naprężeń normalnych σn i tnących τn
w płaszczyźnie fizycznej osiągnie wartość krytyczną, czyli:
 1 d0

max  ∫ Rσ (σ n ,τ n )dr  = 1
(12)
(ϑ ,x0 ) d
 0 0

gdzie, x0 – początek lokalnego układu współrzędnych (r, ϑ) określający miejsce pękania. Do
przewidywania pękania materiałów kruchych (takich jak polimetakrylan metylu)
z wykorzystaniem kryterium (12), wystarczające jest przyjęcie lokalnej funkcji pękania
w postaci warunku naprężeń normalnych [1]:
Rσ (σ n ) = σ n σ C
(13)
Długość strefy pękania d0 wyznacza się z równoważności kryterium Griffitha – Irwina
( K I = K IC ) oraz nielokalnego kryterium pękania (12) dla przypadku rozrywanej szczeliny [1]:
8
A. ADAMOWICZ, A. SEWERYN
2
2K 
d0 =  IC 
(14)
π  σC 
– naprężenia niszczące i krytyczna wartość współczynnika intensywności
gdzie σC, KIC
naprężeń.
Nielokalne kryterium kruchego pękania posłużyło do wyznaczenia warunków krytycznych
pękania dla zagadnienia tarczy ze szczeliną nachyloną pod różnymi kątami do kierunku
działania obciążenia (rRys.3), a wyniki porównano z badaniami doświadczalnymi [10].
2.0
m= 1
m= 2
m= 3
1.6
1.0
0.4
0.5
0.3
0.0
0.2
-0.5
0.1
1.2
2l
0.8
0.4
0.0
0
30
60
-1.0
90 0
30
0.0
90 0
60
30
60
90
Rys.3. Tarcza ze szczeliną ukośną oraz wartości współczynników intensywności naprężeń
i współczynników stojących przy członach wyższych rzędów rozwinięcia asymptotycznego
w funkcji kąta pochylenia szczeliny γ dla szczeliny o długości l = 12.7 mm
W tarczy wykonanej z polimetakrylanu metylu, o wymiarach: szerokość 152.4 mm,
wysokość 304.8 mm, grubość t = 3.175 mm, przygotowano szczeliny o długościach l = 7.62,
12.7, 17.78, 25.4 mm, o różnym kacie nachylenia γ względem osi próbki. Próbkę poddano
rozciąganiu, rejestrując poziom obciążenia, przy którym następuje zniszczenie. Przykładowe
wartości współczynników intensywności naprężeń i współczynników stojących przy członach
wyższych rzędów rozwiązania asymptotycznego obliczone za pomocą metody elementów
analitycznych przy wykorzystaniu różnej liczby członów (m) rozwiązania asymptotycznego (1)
, unormowano zgodnie z zależnościami (15) i przedstawiono na rys. 3.
K I*n = K In σ ( πl )
1−
n
2
, K II*n = K IIn σ ( πl )
1−
n
2
(15)
Wyznaczona w doświadczeniu krytyczna wartość współczynnika intensywności naprężeń
wyniosła KIC = 1.370 MPa⋅m½. W obliczeniach przyjęto wartość naprężeń krytycznych
σC = 102.8 MPa, co na podstawie zależności (14) dało wartość strefy pękania d0 = 0.113 mm.
Kryterium pękania (12) pozwoliło wyznaczyć kierunki, w których następować będzie
propagacja szczeliny. Wyniki obliczeń przeprowadzonych przy uwzględnieniu różnej liczby
członów rozwiązania asymptotycznego zestawiono z wynikami doświadczalnymi na rys. 4.
W przypadku, gdy γ → 0°, wartości współczynników intensywności naprężeń powinny
dążyć do zera (KI → 0 i KII → 0) oraz stosunek KI/KII → 0, co sugerowałoby przypadek
czystego ścinania wzdłużnego (II sposób obciążania) i wartości kąta propagacji szczeliny ϑ0
zawierające się w przedziale -80°÷ -70°. Liczne badania doświadczalne wykazują, że kąt
propagacji w takim przypadku zbliżony jest do -90° [10]. Użycie do obliczeń numerycznych
MODELOWANIE OSOBLIWYCH PÓL NAPRĘŻEŃ W ZAGADNIENIACH MECHANIKI KRUCHEGO... 9
opisu pola naprężeń wykorzystującego nie tylko człony osobliwe rozwiązania
asymptotycznego, ale także wyższych rzędów, daje rezultaty zgodne z eksperymentalnymi
(linia m = 2, 3 - rys. 4).
a)
l = 7.6 mm
-90
wyniki obliczeń
dane doświadczalne
-80
b)
-70
-60
-60
-50
m=1
m=1
m=3
-40
wyniki obliczeń
dane doświadczalne
-80
-70
-50
l = 12.7 mm
-90
-40
m=3
m=2
-30
-30
-20
-20
-10
-10
0
m=2
0
0
15
30
45
60
75
90
0
15
30
45
60
75
90
Rys.4. Kąt propagacji szczeliny ϑ0 w funkcji kąta nachylenia γ szczeliny środkowej o długości
7.6 mm (a) i 12.7 mm (b), dane doświadczalne – [10]
Kryterium (12) pozwoliło wyznaczyć poziom obciążeń krytycznych, przy których następuje
pękanie. Wyniki tych obliczeń, razem z rezultatami badań doświadczalnych, przedstawiono
na rys. 5. Krytyczne wartości obciążeń osiągają minimum dla kąta pochylenia szczeliny
γ = 70°÷60°, co zgodne jest z wynikami badań doświadczalnych. Jest to wyraźnie widoczne jedynie
w przypadku obliczeń uwzględniających efekt członów wyższych rzędów rozwiązania
asymptotycznego.
a) 20
1.7
18
l = 7.6 mm
wyniki obliczeń
dane doświadczalne
1.6
16
b) 20
1.7
18
l = 12.7 mm
wyniki obliczeń
dane doświadczalne
1.6
16
1.5
1.5
14
14
m=1
1.4
12
m=1
1.4
12
m=1
10
8
m=1
1.3
m = 2,3
1.2
10
m=3
m=2
1.3
8
6
m=3
m=2
1.2
m = 2,3
6
1.1
1.1
4
4
1.0
2
0
0
15
0.9
30
30
1.0
2
0
45
60
75
90
0.9
0
15
30
30
45
60
75
90
Rys.5. Wartości krytycznych obciążeń w zależności od kąta γ pochylenia szczeliny środkowej
o długości l = 7.6 mm (a) i l = 12.7 mm (b), dane doświadczalne – [10]
10
A. ADAMOWICZ, A. SEWERYN
4. PODSUMOWANIE
Na podstawie wyników przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że zastosowanie
w obliczeniach opisu pola naprężeń i przemieszczeń wykorzystującego jedynie człony osobliwe
rozwiązania asymptotycznego powoduje obarczenie otrzymywanych wyników znacznym
błędem numerycznym, w wielu przypadkach dyskwalifikującym obliczenia. Wpływ członów
wyższych rzędów w asymptotycznym rozwinięciu, opisującym pola naprężeń w pobliżu
wierzchołka szczeliny, jest dominujący dla szczelin pochylonych pod małym kątem do kierunku
działania obciążenia (γ = 0°÷10°). Uwzględnienie tylko członów osobliwych w obliczeniach
(m = 1) powoduje znaczne zawyżanie poziomu obciążeń krytycznych – zwłaszcza dla małych
kątów γ.
LITERATURA
1. Seweryn A.: Metody numeryczne w mechanice pękania. Biblioteka Mechaniki Stosowanej,
Seria A. Monografie. Warszawa: IPPT PAN, 2003.
2. He W.J., Lin Y., Ding H.J.: A tree-dimensional formula for determining stress intensity
factors in finite element analysis of cracked bodies. “Eng. Fract. Mech.”, 1997, 56, s.409415.
3. Yang Z.J., Chen J.F., Holt G.D.: Efficient evaluation of stress intensity factors using
virtual crack extension technique. “Comput. Struct.”, 2001, 79, s.2705-2715.
4. Sinclair G.B., Okajima M., Griffin J. H.: Path independent integrals for computing stress
intensity factors at sharp notches in elastic plates. “Int. J. Numer. Meth. Eng.”, 1984, 20,
s.999-1008.
5. Seweryn A., Adamowicz A.: On analytical constraints and elements methods in modeling
stresses near the tips of cracks and V-notches. “Material Science”, 2005, 41, 4.
6. Lin K.Y, Tong P.: Singular finite elements for the fracture analysis of V-notched plate.
“Int. J. Num. Meth. Eng.”, 1980, 15, s.1343-1354.
7. Seweryn A.: Modelling of singular stress fields using finite element method. “Int. J. Solids
Struct”., 2002, 39, s.4787-4804.
8. Williams M.L.: On the stress distribution at the base of stationary crack. Trans. ASME,” J.
Appl. Mech.”, 1957, 24, s.109-114.
9. Seweryn A., Mróz Z.: A non-local stress failure condition for structural elements under
multiaxial loading. “Eng. Fract. Mech.”, 1995, 51, s.955-973.
10. Williams J.G., Ewing P.D.: Fracture under complex stress - the angled crack problem.
„Int. J. Fract.”, 1971, 8, s.441-446.
Praca naukowa finansowana ze środków budżetowych na naukę w latach 2005 - 2007 jako projekt badawczy nr
4 T07A 030 28
MODELLING OF SINGULAR STRESS FIELDS USING FINITE
ANALYTICAL ELEMENT METHODS
IN BRITTLE FRACTURE PROBLEMS
Summary. The paper deals with the problems of applications of analytical
elements method in modelling of stress fields near crack tips in elastic bodies. The
method of analytical elements is applied to find the stress intensity factors and the
coefficients of the higher terms of the asymptotic solution in the case of the sheet
containing an angled crack. The derived calculations were used to develop critical
condition of crack propagation.