Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (pochodne

Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych
(pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, gradient funkcji)
1
Przydatne definicje i pojęcia
Definicja 1.1.
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu punktu O(x0 ), x0 ∈ Rn . Pochodną
cząstkową pierwszego rzędu funkcji f w punkcie x0 względem i-tej zmiennej nazywamy
pochodną kierunkową w kierunku wersora osi Oxi , czyli w kierunku wektora
v = [0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0],
gdzie 1 występuje na i-tym miejscu i oznaczamy symbolem
fi (x0 )
(albo fx i (x0 ), Di f (x0 ), Dxi f (x0 ),
∂f
(x0 )).
∂xi
Pochodna cząstkowa względem xi w punkcie x0 określa lokalną szybkość wzrostu wartości
funkcji f względem zmiennej xi przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych.
Definicja 1.2.
Jeśli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego
D ⊂ Rn , to funkcje
∂f
(x),
∂xi
gdzie x ∈ D dla i = 1, 2 . . . , n nazywamy pochodnymi cząstkowymi
pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze D i oznaczamy
∂f
∂xi
(albo np. fi , itp.)
Interpretacja geometryczna (w R3 ):
Jeśli wykres funkcji f posiadajęcej pochodną cząstkową względem zmiennej x w punkcie (x0 , y0 )
przekroimy płaszczyzną przechodzącą przez punkt (x0 , y0 ) równoległą do wektora [1, 0] (czyli
po prostu płaszczyzną y = y0 przechodzącą przez punkt (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))), to na powierzchni
wykresu orzymamy pewną krzywą. Styczna do tej krzywej jest nachylona do płaszczyzny Oxy
pod pewnym kątem γ. Wtedy
∂f
(x0 , y0).
∂x
Analogicznie dla funkcji f posiadającej pochodną cząstkową względem zmiennej y w punkcie
tg γ =
(x0 , y0 )
Definicja 1.3.
Gradientem funkcji f w punkcie x0 ∈ Rn nazywamy wektor wszystkich pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu tej funkcji w punkcie x0 i oznaczamy symbolem gradf (x0 ) albo ∇f (x0 ).
Interpretacja geometryczna gradientu:
Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.
Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do ppoziomicy funkcji przechodzącej przez ten
punkt.
Strona 17
Twierdzenie 1.1.
Jeśli funkcja f posiada pochodne cząstkowe ciągłe w punkcie x0 ∈ Rn oraz v ∈ Rn jest dowolnym
wektorem, to
fv (x0 ) = ∇f (x0 ) ◦ v .
2
(1)
Zadania
1. Korzystając z definicji obliczyć (o ile istnieją) wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
podanych funkcji we wskazanych punktach:
(i) f (x, y) = xy , (x0 , y0 ) = (−1, 1),
(ii) f (x, y) = ysinx, (x0 , y0 ) = (0, π),
√
(iii) f (x, y) = x4 + y 4, (x0 , y0 ) = (0, 0),
√
(iv) f (x, y) = 3 x3 + y 3, (x0 , y0 ) = (0, 0),
(v) f (x, y, z) =
5
(vi) f (x, y, z) =
(vii) f (x, y) =
(viii) f (x, y) =
xy(z − 1), (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 1),


x3 +y
x2 +y 2 +z 2
 0,

 x2 + y 2 ,
 1,



x,






y 2,
,
dla (x, y, z) = (0, 0, 0),
dla (x, y, z) = (0, 0, 0),
dla xy = 0,
dla xy = 0,
(x0 , y0, z0 ) = (0, 0, 0),
(x0 , y0 ) = (0, 0),
dla y = 0,
(x0 , y0 ) = (0, 0).
dla x = 0,
1,
dla pozostałych punktach,
2. Policzyć pochodne cząstkowe podanych funkcji dwóch zmiennych w punkcie (0, 0) i zbadać
ciągłość tych funkcji.
 1,
dla xy = 0,
(i) f (x, y) =
 0,
dla xy =
0,
(ii) f (x, y) =



xy
,
x2 +y 2
dla (x, y) = (0, 0),
0,
dla (x, y) = (0, 0)
3. Czy istnieje funkcja f : R2 → R taka, że
w punkcie x0 ,
(i) f nie jest ciagła
(ii)
∂f
∂x
i
∂f
∂y
istnieja w tym punkcie?
f (x, y) = [fx (x, y), fy (x, y)] (analogicznie dla funk4. Obliczyć wektor pochodnych czastkowych
acych
funkcji:
cji trzech zmiennych) nastepuj
(i) f : R2 → R, f (x, y) = sin(xcos(y)),
(ii) f : R2 ⊃ Uf → R, f (x, y) = xyln(x + y),
(iii) f : R2 ⊃ Uf → R, f (x, y) = ln(sin(x) + sin(y)),
(iv) f : R3 ⊃ Uf → R, f (x, y, z) = xy y z z xy ,
(v) f : R3 → R, f (x, y, z) = sin(x2 + y 2 + z 2 ),
z
(vi) f : R3 ⊃ Uf → R, f (x, y, z) = xy .
Strona 18
5. Obliczyć pochodne czastkowe
funkcji f : Rk → R określonej
2
2
f (x) = ex1 +...+xk · x1 + x32 + . . . + xk2k−1 .
6. Obliczyć gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach (sprawdzić, czy można wykorzystać twierdzenie 1.1):
(i) f (x, y) = x2 + y 2, (x0 , y0 ) = (−3, 4), v =
(ii) f (x, y, z) = exyz , (x0 , y0 , z0 ) = (−1, 1, −1),
(iii) f (x, y, z) =
xy 2
,
z3
12 5
,
,
13 13 √ 1
v = 2 , − 34 , 43 ,
(x0 , y0, z0 ) = (16, −3, 2), v = (1, 1, 1) .
√
7. Wyjaśnić, dlaczego pochodna kierunkowa funkcji f (x, y) = 3 x3 + 8y 3 w punkcie (0, 0) i kie√
√
runku [ 2/2, 2/2] wyznaczona z definicji jest inna niż wyznaczona ze wzoru (1).
8. Sprawdzić, że gradient funkcji f (x, y) = x2 + y 2 jest prostopadły do jej poziomic.
9. Temperatura w zbiorze V = {(x, y, z) : 0 x, y, z π} jest określona wzorem
T (x, y, z) = 10cos(x − y) + 20sin(x + z)
Znaleźć kierunek jej najszybszego wzrostu w punkcie (π/2, π/2, π/2).
Strona 19