teoria obwodów i sygnałów laboratorium

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW
LABORATORIUM
AKADEMIA MORSKA
Katedra Telekomunikacji Morskiej
Ćwiczenie nr 5: Teoria obwodów i sygnałów– laboratorium
ĆWICZENIE 5
BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW ZE SPRZĘŻENIEM
ZWROTNYM
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest ugruntowanie wiadomości z zakresu elementarnej teorii
sprzężenia zwrotnego oraz zbadanie za pomocą kryterium Bodego i Nyquista stabilności
prostych układów ze sprzężeniem zwrotnym.
2. Wprowadzenie
2.1. Zarys ogólnej teorii sprzężenia zwrotnego
Sprzężenie zwrotne może być zdefiniowane w sposób ogólny jako oddziaływanie
odpowiedzi układu na pobudzenie- sygnał wejściowy.
Na rysunku 1 przedstawiono uproszczony schemat blokowy układu ze
sprzężeniem zwrotnym, w którym można wyróżnić dwie części, czwórnik aktywny i
pasywny układ sprzężenia zwrotnego.
Xi
Xi+Xf
Xo
K0
Xf
β
Rysunek 1. Ogólny schemat układu ze sprzężeniem zwrotnym.
Na podstawie rysunku możemy zapisać:
X f = β X0
X 0 = K0 ( X i + X f )
gdzie: K0 – transmitancja czwórnika aktywnego (transmitancja z otwartą pętlą sprzężenia
zwrotnego)
β - transmitancja pętli sprzężenia zwrotnego
Na podstawie powyższych wzorów po przekształceniach można wyznaczyć transmitancje
układu ze sprzężeniem zwrotnym
2
Ćwiczenie nr 5: Teoria obwodów i sygnałów– laboratorium
Kf =
X0
K0
=
X i 1 − βK 0
Wielkość βK0 nazywa się transmitancją pętli lub wzmocnieniem pętli sprzężenia
zwrotnego. Transmitancję tę ze znakiem minus nazywamy stosunkiem zwrotnym
T = - βK0 a wielkość F = 1- βK0 różnicą zwrotną.
Jeżeli moduł różnicy zwrotnej jest większy od jedności | 1 - βK0 | > 1 to mówimy, że
jest to ujemne sprzężenie zwrotne w przeciwnym przypadku mówimy o dodatnim
sprzężeniu zwrotnym | 1 - βK0 | < 1. We wzorze na transmitancje układu ze sprzężeniem
zwrotnym występuje w mianowniku czynnik 1 - βK0, wskazuje to na możliwość
wystąpienia osobliwości, gdy βK0 = 1 wówczas wzmocnienie staje się nieograniczone, co
w fizycznych układach oznacza niestabilność.
2.2. Stabilność układów ze sprzężeniem zwrotnym
W projektowaniu układów ze sprzężeniem zwrotnym bardzo ważnym zagadnieniem
jest zapewnienie stabilności. Dla sprawdzenia czy układ ze sprzężeniem zwrotnym będzie
stabilny należy posłużyć się odpowiednim kryterium. Można zastosować w tym celu
algebraiczne kryterium Routha-Hurwitza jednak znacznie wygodniej jest skorzystać z
kryterium Nyquista lub Bodego.
Kryterium Nyquista
Układ stabilny z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego pozostanie stabilny po zamknięciu
pętli, jeżeli wykres transmitancji pętli βK0 przy zmianie pulsacji od -ω do ω, nie obejmuje
punktu krytycznego 1 + j 0.
Im (K0β )
a)
ω=0
ω=∞
Im (K0β )
b)
ω=0
0
1+j0
ω=∞
Re (K0β)
0
1+j0
Re (K0β)
Im (K0β )
c)
ω=0
ω=∞
0
1+j0
Re (K0β)
Rysunek 2. Wykresy Nyquista transmitancji pętli układu ze sprzężeniem zwrotnym
a) stabilnego, b) warunkowo stabilnego, c) niestabilnego.
3
Ćwiczenie nr 5: Teoria obwodów i sygnałów– laboratorium
Kryterium Bodego
Układ z jednopętlowym sprzężeniem zwrotnym jest bezwzględnie stabilny, jeżeli przy
pulsacji ωT, przy której moduł stosunku zwrotnego jest równy zero decybeli, nachylenie
charakterystyki modułu stosunku zwrotnego jest, co do wartości bezwzględnej mniejsze od
40dB/dek.
a)
b)
| K0β|dB
| K0β|dB
-20dB/dek
-40dB/dek
-20dB/dek
-60dB/dek
ωT
ω
ωT
ω
Rysunek 3. Wykresy Bodego stosunku zwrotnego układów: a) niestabilnego, b) stabilnego
3. Opis układu pomiarowego
Uproszczony schemat blokowy badanego obwodu zamieszczono na rysunku 4.
Składa się on z trzech układów całkujących odseparowanych separatorami oraz wzmacniacza
o przełączanym wzmocnieniu ( -1 lub –10). Pozwala to na realizacje układów o funkcji
transmitancji jedno, dwu lub trójbiegunowej. Odpowiednią liczbę biegunów osiąga się
poprzez załączanie kondensatorów w układach całkujących. Wzmacniacz oraz separatory
zostały zrealizowane przy wykorzystaniu układu µA741.
β
We
Wy
R1
R2
+1
-10
(-1)
\\\\\\
R3
C1
C2
+1
C3
C4
R1 = R2 = R3 = lk , Cl = C2 = C3 = C4 = C5 = C6 = 33nF.
Rysunek 4. Schemat badanego układu
4
+1
C5
C6
Ćwiczenie nr 5: Teoria obwodów i sygnałów– laboratorium
4. Program ćwiczenia
a) Pomierzyć charakterystyki amplitudowe i fazowe badanego układu bez biegunów z
otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego. W celu realizacji pomiaru należy przełącznik
wzmocnienia pierwszego wzmacniacza ustawić na –10 oraz odłączyć wszystkie
kondensatory układu całkującego.
b) Pomierzyć charakterystyki amplitudowe i fazowe badanego układu z jednym, dwoma
i trzema biegunami z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego. Odpowiednią liczbę
biegunów otrzymuje się poprzez załączenie kolejnych kondensatorów w układach
całkujących.
c) Zbadać doświadczalnie stabilność układów po zamknięciu pętli sprzężenia
zwrotnego. Obserwacje należy przeprowadzić dla układu bez biegunów oraz z
jednym, dwoma i trzema biegunami. W celu realizacji pomiaru należy przełącznik
wzmocnienia pierwszego wzmacniacza ustawić na –10. Następnie jedno wyjście
układu zewrzeć z wejściem a drugie podłączyć na wejście oscyloskop.
5. Opracowanie wyników.
a) Na podstawie pomiarów z punktu 4a i 4b wykreślić wykresy Nyquista wzmocnienia
pętli dla wszystkich pomierzonych układów.
b) Na podstawie pomiarów z punktu 4a i 4b wykreślić wykresy Bodego modułu
stosunku zwrotnego dla wszystkich pomierzonych układów.
c) Korzystając z kryterium Nyquista określić na podstawie wykresów stabilność
wszystkich badanych układów.
d) Korzystając z kryterium Bodego określić na podstawie wykresów stabilność
wszystkich badanych układów.
e) Porównać wyniki otrzymane w punkcie 5c i 5d z pomiarami stabilności wykonanymi
w punkcie 4c.
f) Skomentować otrzymane wyniki.
6. Pytania kontrolne
a) Narysować ogólny schemat układu ze sprzężeniem zwrotnym.
b) Napisać ogólne wyrażenie na transmitancję układu ze sprzężeniem zwrotnym.
c) Omówić kryterium Bodego badania stabilności układów ze sprzężeniem zwrotnym.
d) Omówić kryterium Nyquista badania stabilności układów ze sprzężeniem zwrotnym.
5