4.4.3 Hipoteza skracalności

4.4.3 Hipoteza skracalności ]
Przy stosowaniu transmitancji operatorowych w praktyce często podczas mnożenia
funkcji wymiernej przez wielomian wykonuje się operację skracania. Typowy
przykład to rozwiązanie liniowego równania różniczkowego metodą operatorową:
A( s ) x( s ) = B ( s )u ( s )
w którym A(s) i B(s) to wielomiany wynikające z transformaty równania
różniczkowego. Aby wyznaczyć transformatę rozwiązania x(s) dzieli się równanie
operatorowe obustronnie przez wielomian A(s):
A( s ) x( s ) B( s )u ( s )
=
A( s )
A( s )
a następnie skraca się lewą stronę i otrzymuje wynik w postaci transmitancji
wymiernej:
x( s) =
B(s)
u ( s ) = G ( s )u ( s )
A( s )
Formalnie rzecz biorąc należałoby założyć, że wynik jest poprawny tylko wówczas,
gdy wielomian A(s) jest różny od zera. Podany wynik wykorzystuje się jednak w
całym zakresie wartości s, również w biegunach transmitancji, i co więcej jest on
poprawny.
Innym przykładem tego typu jest wyznaczenie transmitancji zastępczej układu ze
sprzężeniem zwrotnym Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.). W przypadku
gdy transmitancja układu otwartego G(s) jest funkcją wymierną L(s)/M(s),
otrzymujemy:
G z ( s) =
1
=
1 + G(s)
1
L( s)
1+
M (s)
Sprowadzając ułamek piętrowy do funkcji wymiernej, również wykonujemy operację
skracania:
G z ( s) =
M ( s)
M ( s)
1
⋅
=
M ( s ) + L ( s ) M ( s ) M ( s ) + L( s )
M (s)
Wynik jest także poprawny zawsze, choć formalnie należałoby założyć, że wielomian
M(s) musi być różny od zera.
Bez operacji skracania w obliczeniach praktycznych nastąpiłby prawdziwy impas.
Przyjmuje się więc milcząco pewną hipotezę skracalności, która na ogół prowadzi do
wyników zgodnych z doświadczeniem. Z punktu widzenia matematyki jest to hipoteza
ciągłości funkcji typu:
F ( s) =
s − s0
s − s0
Normalnie funkcja F(s) przyjmuje wartość 1 wszędzie poza punktem s=s0, gdzie jest
symbolem nieokreślonym typu 0/0. Hipoteza ciągłości zakłada, że wartość funkcji F(s)
w punkcie s=s0 jest równa granicy funkcji F(s) przy s→s0 i można ją wyznaczyć
stosując regułę de l’Hospitala:
d ( s − s0 )
s − s0
ds
= lim
=1
F ( s0 ) = lim
s → s 0 s − s0
s → s 0 d ( s − s0 )
ds
Przyjęcie hipotezy skracalności nie zawsze jest dopuszczalne. Ilustruje to kolejny
przykład dotyczący badania stabilności układu ze sprzężeniem zwrotnym, w
przypadku gdy transmitancja układu otwartego ma postać:
G (s) =
k
1 − sT
⋅
1 − sT 1 + sT
przy czym parametry k i T są dodatnie. Transmitancja G(s) odpowiada szeregowemu
połączeniu niestabilnego członu inercyjnego i przesuwnika fazowego. Przyjmując
hipotezę skracalności można ją uprościć. Wówczas transmitancja układu zamkniętego
Gz(s) wyznaczona na podstawie wzoru Błąd! Nie można odnaleźć źródła
odwołania.) ma postać:
G z ( s) =
1
=
1 + G (s)
1
1+
k
1 + sT
=
1 + sT
1 + sT + k
Układ zamknięty jest stabilny, ponieważ transmitancja Gz(s) ma jeden ujemny biegun:
s1 = −
k +1
T
Jeśli wyznaczymy transmitancję Gz(s) bez hipotezy skracalności, podstawiając do
wzoru Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.) pełną postać transmitancji
G(s), to:
1
G z ( s) =
1+
k 1 − sT
1 − sT 1 + sT
=
(1 − sT )(1 + sT )
(1 − sT )(1 + sT )
=
(1 − sT )(1 + sT ) + k (1 − sT ) (1 − sT )(1 + sT + k )
Transmitancja układu zamkniętego ma teraz dwa bieguny:
s1 = −
1
k +1
oraz s 2 =
T
T
Ponieważ jeden z biegunów jest dodatni, więc układ zamknięty jest niestabilny, co jest
sprzeczne z poprzednim wnioskiem. Układ jednak nie jest jednocześnie stabilny i
niestabilny, tylko zawodzi hipoteza skracalności. Doświadczalne sprawdzenie wyniku
pokazałoby, że w tym przypadku zarówno układ otwarty jak i zamknięty są
niestabilne.
O dopuszczalności operacji skracania decyduje położenie pierwiastka wielomianu,
który ulega skróceniu. Jeśli wielomian ten ma pierwiastek w lewej półpłaszczyźnie
zespolonej, to hipoteza skracalności jest warunkowo słuszna. Tym warunkiem jest,
aby skrócony model nie był wykorzystywany do badania problemów, w których
występują niezerowe warunki początkowe1. Jeśli pierwiastek skracanego wielomianu
nie leży w lewej półpłaszczyźnie, to hipoteza skracalności zawodzi. W praktyce
jednak zdarza się, że podczas operacji skracane są wielomiany wyższego rzędu i nikt
nie sprawdza ich pierwiastków. W efekcie transmitancja może „gubić” wewnętrzne
przebiegi modelu, a mogą być one niestabilne.
1
skrócenie przy niezerowych warunkach początkowych spowodowałoby nieciągłość sygnałów
Możliwość „skracania” transmitancji ma zastosowanie praktyczne. Operacja
nazywa się kompensacją biegunów transmitancji i polega wykonaniu celowych
zabiegów konstruktorskich na obiekcie, które spowodują, że w transmitancji obiektu
pojawi się człon typu:
G (s) =
... s − s0 k
.... s − s 0
gdzie s0 jest biegunem transmitancji pierwotnego obiektu, s0k – zerem transmitancji
wynikającej ze zmiany obiektu. Najprostszą zmianą tego typu jest dołączenie
szeregowo do obiektu odpowiedniego członu korekcyjnego. Jeśli zapewnimy, że
s0=s0k, to zero członu korekcyjnego powinno skompensować biegun transmitancji
obiektu. Działanie przynosi efekty, jeśli spełniona jest hipoteza skracalności, czyli
kompensowany biegun leży w ujemnej półpłaszczyźnie. Nie można więc tą metodą
likwidować niestabilności obiektu2, ale można kompensować wpływ znaczących
stałych czasowych.
Źródło:
Fragment z książki Czemplik A., Modele dynamiki układów fizycznych, WNT, Warszawa 2008
Kurman K.J., Teoria regulacji, WNT, Warszawa 1975 [s.251, 288]
2
jedyną skuteczną metodą likwidacji niestabilności jest zastosowanie sprzężenia zwrotnego.