Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gda ska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra In ynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Transmitancja operatorowa i widmowa
Materiały pomocnicze do wicze – termin T9
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in .
Michał Grochowski, dr in .
Robert Piotrowski, dr in .
Tomasz Rutkowski, dr in .
Gda sk, pa dziernik 2009
Transmitancja operatorowa
Zapis liniowego układu ci głego w postaci równania ró niczkowego n-tego rz du nie jest
jedynym sposobem zapisu. Układ ten mo na równie opisa w postaci transmitancji
operatorowej.
Niech s b dzie operatorem takim, e:
dk
s = k ; k = 1,2,
dt
k
(1)
,n
Dodatkowo, niech Y ( s ) oraz U ( s ) b d transformatami Laplace'a odpowiednio sygnału
wyj cia y ( t ) oraz sygnału wej cia u ( t ) .
Przypominaj c, liniowy układ ci gły opisany równaniem ró niczkowym n-tego rz du mo na
przedstawi w postaci:
an
d n y (t )
d n −1 y ( t )
+ a n −1
+
n
dt
dt n −1
+ a1
dy ( t )
d mu ( t )
d m −1u ( t )
+ a 0 y (t ) = bm
+ b m −1
+
m
dt
dt
dt m −1
+ b1
du ( t )
+ b0 u ( t )
dt
(2)
gdzie: n ≥ m.
Korzystaj c z zale no ci (1) równanie (2) mo na zapisa w nast puj cej postaci:
(a
n
s n + a n −1 s n − 1 +
+ a 1 s + a 0 ) ⋅ Y ( s ) = ( b m s m + b m −1 s m −1 +
+ b1 s + b0 ) ⋅U ( s )
(3)
Zatem, dla układu opisanego równaniem ró niczkowym (2) mo na wyznaczy transmitancj
operatorow (zakładaj c zerowe warunki pocz tkowe):
m
m −1
Y ( s ) b m s + b m −1 s +
G (s) =
=
U ( s ) a n s n + a n −1 s n −1 +
def
+ b1 s + b0
+ a1 s + a0
(4)
Transmitancja operatorowa układu (funkcja przej cia układu) – stosunek transformaty
Laplace'a sygnału wyj ciowego tego układu Y ( s ) do transformaty Laplace'a jego sygnału
wej ciowego U ( s ) przy zerowych warunkach pocz tkowych. Transmitancj operatorow
oznaczamy jako G ( s ) i jest ona funkcj argumentu zespolonego s.
Pierwiastki licznika transmitancji operatorowej to zera transmitancji operatorowej, za
pierwiastki mianownika transmitancji operatorowej to bieguny transmitancji operatorowej.
Transmitancja widmowa
Analiza cz stotliwo ciowa układów dynamicznych słu y do analizy układu ze wzgl du na
jego zdolno ci przenoszenia sygnałów sinusoidalnych, badaj c zmiany, jakim ulega sygnał
tego typu po przej ciu przez układ dynamiczny.
Podstawowym poj ciem charakteryzuj cym powy sze wła ciwo ci układu jest
transmitancja widmowa.
W oparciu o twierdzenie Eulera dla liczb zespolonych:
e j ϕ = cos ϕ + j sin ϕ
(5)
mo emy zapisa wej ciowy sygnał harmoniczny w postaci:
u ( t ) = A1 (ω ) ⋅ ( cos ω t + j sin ω t ) = A1 (ω ) ⋅ e j ω t
(6)
gdzie: A1 – amplituda sygnału, ω – pulsacja sygnału, T – okres drga
Odpowied układu na wymuszenie harmoniczne u ( t ) b dzie równie harmoniczna o takiej
samej pulsacji ω , ale o innej amplitudzie A2 i przesuni ta w fazie wzgl dem u ( t ) o k t ϕ :
j ω t +ϕ ( ω ) )
y ( t ) = A2 (ω ) ⋅ cos (ω t + ϕ (ω ) ) + j sin (ω t + ϕ (ω ) ) = A2 (ω ) ⋅ e (
(7)
Podstawiaj c (6) i (7) do (2) mamy:
n
n −1
j ω t +ϕ (ω ) )
j ω t +ϕ ( ω ) )
a n ( j ω ) ⋅ A 2 (ω ) ⋅ e (
+ a n −1 ( j ω ) ⋅ A 2 (ω ) ⋅ e (
+
m
= b m ( j ω ) ⋅ A1 (ω ) ⋅ e j ω t + b m −1 ( j ω )
m −1
⋅ A1 (ω ) ⋅ e j ω t +
j ω t +ϕ (ω ) )
a 0 ⋅ A 2 (ω ) ⋅ e (
=
b0 ⋅ A1 (ω ) ⋅ e j ω t
(8)
Z zale no ci (8) otrzymujemy:
n
n −1
j ω t +ϕ ( ω ) )
A 2 (ω ) ⋅ e (
⋅ a n ( j ω ) + a n −1 ( j ω ) +
m
= A1 (ω ) ⋅ e j ω t ⋅ b m ( j ω ) + b m −1 ( j ω )
W konsekwencji dostajemy zale no
G ( jω ) =
m −1
a0 =
(9)
+
b0
na transmitancj widmow :
m
m −1
n
n −1
b m ( j ω ) + b m −1 ( j ω )
a n ( j ω ) + a n −1 ( j ω )
+
b0
+
a0
=
A2 (ω )
A1 (ω )
⋅ e j ϕ (ω )
(10)
Transmitancj widmow mo na wyznaczy tak e na podstawie transmitancji operatorowej
korzystaj c z podstawienia s = j ω :
G ( j ω ) = G ( s ) s= jω
(11)
Korzystaj c z zale no ci (11), transmitancj widmow mo na przedstawi w postaci modułu
L (ω ) = G ( j ω ) i argumentu ϕ (ω ) = arg G ( j ω ) :
G ( j ω ) = L (ω ) ⋅ e
j ϕ (ω )
= G ( jω ) ⋅e
j arg G ( j ω )
(12)
Z matematycznego punktu widzenia transmitancja widmowa jest wektorem, którego moduł
L (ω ) dla ka dej pulsacji ω jest stosunkiem amplitudy sygnału wyj ciowego A2 (ω ) do
amplitudy sygnału wej ciowego A1 (ω ) (Rysunek 1):
L (ω ) = G ( j ω ) =
A 2 (ω )
(13)
A1 (ω )
za argumentem ϕ (ω ) jest przesuni cie fazowe sygnału wyj ciowego wzgl dem sygnału
wej ciowego:
ϕ (ω ) = arg G ( j ω )
(14)
Oczywi cie transmitancj widmow (jak ka d liczb zespolon ) mo na zapisywa równie
w postaci algebraicznej wyodr bniaj c cz
rzeczywist P (ω ) = Re G ( j ω ) i urojon
Q (ω ) = Im G ( j ω ) :
G ( j ω ) = P (ω ) + j Q (ω ) = Re G ( j ω ) + j Im G ( j ω )
(15)
Mi dzy poszczególnymi wielko ciami zachodz nast puj ce zale no ci (Rysunek 1):
L ( ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω )
ϕ (ω ) = arc tg
(16)
Q (ω )
P (ω )
Q (ω)
P (ω 1) ω = 0
ω→ ∞
P (ω)
ϕ (ω 1)
L (ω 1)
Q (ω 1)
Rysunek 1. Przykładowa charakterystyka amplitudowo – fazowa
Dla ka dej pulsacji ω (np. ω = ω 1 ) transmitancja widmowa jest liczb zespolon i wyznacza
(
)
punkt o współrz dnych P (ω 1 ) ,Q (ω 1 ) . Punkt ten jest ko cem wektora G ( j ω 1 ) o długo ci
L (ω 1 ) i k cie nachylenia ϕ (ω 1 ) .
Zadanie 1
Dany jest model matematyczny czwórnika RC (kondensator ładowany przez rezystor)
(Rysunek 2) postaci:
d u wy ( t )
dt
=−
1
1
⋅ u wy ( t ) +
⋅ u we ( t )
R ⋅C
R ⋅C
R
iR(t)
(17)
iobc(t)
iC(t)
uR(t)
uwe(t)
uC(t)
uwy(t)
C
Rysunek 2. Czwórnik RC
Jako wej cie układu przyj
u we ( t ) , jako wyj cie u wy ( t ) .
Wyznaczy transmitancj operatorow i widmow . Wyznaczon transmitancj przedstawi w
postaci umo liwiaj cej odczytanie nast puj cych wielko ci:
wzmocnienie statyczne układu,
stałe czasowe układu,
zera i bieguny układu,
cz
rzeczywista transmitancji widmowej,
cz
urojona transmitancji widmowej.
Rozwi zanie Zadania 1
Dokonuj c transformaty Laplace’a zale no ci (17), zakładaj c zerowe warunki pocz tkowe i
korzystaj c z własno ci liniowo ci transformaty Laplace’a mamy:
£
d u wy ( t )
dt
Uwzgl dniaj c własno
uzyskujemy:
£
=−
1
1
⋅ £ u wy ( t ) +
⋅ £ u we ( t )
R ⋅C
R ⋅C
transformaty Laplace'a zwi zan
d u wy ( t )
dt
=−
(18)
z mno eniem przez stał
1
1
⋅ £ u wy ( t ) +
⋅ £ u we ( t )
R ⋅C
R ⋅C
Po podstawieniu do wyra enia (19) transformat odpowiednich pochodnych otrzymujemy:
(19)
s ⋅ U wy ( s ) = −
1
1
⋅ U wy ( s ) +
⋅U we ( s )
R ⋅C
R ⋅C
(20)
co po prostych przekształceniach pozwala uzyska :
U we ( s ) = U wy ( s ) ⋅ ( s ⋅ R ⋅ C + 1)
(21)
Ostatecznie otrzymujemy transformat sygnału wyj ciowego do wej ciowego przy zerowych
warunkach pocz tkowych:
G (s) =
U wy ( s )
=
U we ( s )
1
s ⋅ R ⋅C + 1
(22)
Wyra enie (22) umo liwia odczytanie wzmocnienia statycznego oraz stałej czasowej układu:
k = 1, T = R ⋅C .
Transmitancja operatorowa opisana zale no ci (22) nie ma zer i zawiera jeden biegun:
1
1
=
.
T R ⋅C
Przekształcaj c transmitancj operatorow do transmitancji widmowej w pierwszej kolejno ci
w wyra eniu (22) wprowadzamy operator widmowy poprzez podstawienie s = jω :
G ( jω ) =
1
jω ⋅ R ⋅C + 1
(23)
Nast pnie mno c licznik i mianownik przez liczb sprz on do mianownika uzyskujemy:
G ( jω ) =
1− jω ⋅ R ⋅C
1+ jω ⋅ R ⋅C 1− jω ⋅ R ⋅C
1
⋅
(24)
co po prostych przekształceniach pozwala uzyska :
G ( jω ) =
1
1 + (ω ⋅ R ⋅ C )
Ostatecznie mo emy wyodr bni cz
2
− jω ⋅
R ⋅C
1 + (ω ⋅ R ⋅ C )
2
(25)
rzeczywist i urojon transmitancji widmowej:
Re [G( jω )] =
1
1 + (ω ⋅ R ⋅ C )
Im [G( jω )] = −
2
ω ⋅ R ⋅C
2
1 + (ω ⋅ R ⋅ C )
(26)
(27)
Zadanie 2
Dany jest prosty model matematyczny pojazdu mechanicznego (Rysunek 3) postaci:
d 2x
µ dx 1
=− ⋅
+ ⋅ f (t )
2
dt
m dt m
(28)
x
f(t)
m
Rysunek 3. Uproszczony schemat pojazdu mechanicznego
gdzie:
f(t) – siła nap dowa,
m – masa pojazdu,
µ – współczynnik tarcia tocznego,
x(t) – przesuni cie pojazdu w osi poziomej.
f ( t ) , jako wyj cie x ( t ) .
Jako wej cie układu przyj
Wyznaczy transmitancj operatorow i widmow . Wyznaczon transmitancj przedstawi w
postaci umo liwiaj cej odczytanie nast puj cych wielko ci:
cz
rzeczywista transmitancji widmowej,
cz
urojona transmitancji widmowej.
Rozwi zanie Zadania 2
Dokonuj c transformaty Laplace’a zale no ci (28), zakładaj c zerowe warunki pocz tkowe i
korzystaj c z własno ci liniowo ci transformaty Laplace’a mamy:
£
Uwzgl dniaj c własno
uzyskujemy:
d 2x
1
µ dx
= −£
⋅
+£
⋅ f (t )
2
dt
m dt
m
transformaty Laplace'a zwi zan
(29)
z mno eniem przez stał
d 2x
µ
dx
1
= − ⋅£
+ ⋅ £ f (t )
£
2
dt
m
dt
m
(30)
Po podstawieniu do wyra enia (30) transformat odpowiednich pochodnych otrzymujemy:
s 2 ⋅ X ( s ) = −s ⋅
µ
m
⋅ X (s) +
1
⋅ F (s)
m
(31)
co po prostych przekształceniach pozwala uzyska :
F ( s) = X ( s) ⋅(m ⋅ s 2 + µ ⋅ s)
(32)
Ostatecznie otrzymujemy transformat sygnału wyj ciowego do wej ciowego przy zerowych
warunkach pocz tkowych:
G (s) =
X (s)
1
=
2
F (s) m ⋅ s + µ ⋅ s
(33)
Przekształcaj c transmitancj operatorow do transmitancji widmowej w pierwszej kolejno ci
w wyra eniu (33) wprowadzamy operator widmowy poprzez podstawienie s = jω :
G ( jω ) =
1
2
m ⋅ ( jω ) + µ ⋅ j ⋅ ω
1
−m ⋅ ω + j µ ⋅ ω
=
(34)
2
Nast pnie mno c licznik i mianownik przez liczb sprz on do mianownika uzyskujemy:
G ( jω ) =
1
−m ⋅ ω 2 − j µ ⋅ ω
⋅
−m ⋅ ω 2 + j µ ⋅ ω −m ⋅ ω 2 − j µ ⋅ ω
(35)
co po prostych przekształceniach pozwala uzyska :
G ( jω ) =
−m ⋅ ω 2
2
( m ⋅ω ) + ( µ ⋅ω )
2
Ostatecznie mo emy wyodr bni cz
2
− j⋅
µ ⋅ω
2
( m ⋅ω ) + ( µ ⋅ω )
2
2
(36)
rzeczywist i urojon transmitancji widmowej:
Re [G( jω )] =
−m ⋅ ω 2
2
( m ⋅ω ) + ( µ ⋅ω )
Im [G( jω )] = −
2
(37)
2
µ ⋅ω
2
( m ⋅ω ) + ( µ ⋅ω )
2
2
(38)