docmatematyka dyskretna - kolokwium 1 grupa a rachunki+krótkie
download 
Reklamacja Transkrypt
matematyka dyskretna - kolokwium 1 grupa a rachunki+krótkie
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 1
GRUPA A
RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE!
KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT!
Imię i nazwisko ........................... ......... Nr indeksu ..............
1. (1+1) Pomiędzy 6 dzieci rozdano 30 jednakowych cukierków. Na ile
sposobów można to zrobić, jeżeli:
a) dopuszczamy, że niektóre z dzieci nic nie dostały;
b) żądamy, aby każde dziecko dostało przynajmniej dwa cukierki.
2. (3p.) Znajdź wyraz ogólny ciągu an , którego funkcją tworząca jest
f (x) = (x + 1)e2x .
3. (2p). Zachodzi tożsamość
m
0
k m
+
1
k
k m
+
2
k−1
m
k
+...+
k
k−2
k
0
=
Powyższą tożsamość można wykazać, rozwiązując na dwa sposoby odpowiednie zadanie. Sformułuj to zadanie i wykaż tożsamość.
4. (2p.) Czy prawdą jest, że n! = O(2n )?. Odpowiedź dokładnie uzasadnij, obliczając odpowiednią granicę!
m+k
k
.
5. (1p.+1p.) Znajdź rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego:
a) an+2 = 7an+1 − 12an ; b) an+3 = 3an+2 − 3an+1 + an .
Wsk.do b) : Równanie charakterystyczne ma pierwiastek potrójny.
6. (2p.) Na ile sposobów można pokolorować ściany ośmiościanu, używając wszystkich 4 danych kolorów?
7. (1+1) Znajdź funkcję tworzącą dla ciągu an = 2n : b) bn = 2n + 5.
8. (2p.) Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować 9 pól kwadratu 3 × 3 przy użyciu 2 kolorów, jeśli dwa pokolorowania uznajemy za
równoważne, gdy jedno z nich można otrzymać z drugiego przez obrót
lub symetrię?
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 1
GRUPA B
RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE!
KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT!
Imię i nazwisko ........................... ......... Nr indeksu ..............
1. (1p.+1p.) Znajdź rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego:
a) an+2 = 5an+1 − 6an ; b) an+3 = 6an+2 − 12an+1 + 8an . Wsk. do b)
Równanie ma pierwiastek potrójny.
2. (1+1) Pomiędzy 7 dzieci rozdano 35 jednakowych cukierków. Na ile
sposobów można to zrobić, jeżeli:
a) dopuszczamy, że niektóre z dzieci nic nie dostały;
b) żądamy, aby każde dziecko dostało przynajmniej trzy cukierki.
3. (1p+1p.) Znajdź funkcję tworzącą dla ciągu an = 3n : b) bn = 3n − 5.
4. (2p). Zachodzi tożsamość
1
n
1
+ 2
n
2
+ 3
n
3
+ ... + n
n
n
= n2n−1 .
Powyższą tożsamość można wykazać, rozwiązując na dwa sposoby odpowiednie zadanie. Sformułuj to zadanie i wykaż tożsamość.
5. (2p.) Czy prawdą jest, że: n2 = Ω(n ln n)? Odpowiedź dokładnie uzasadnij, obliczając odpowiednią granicę!
6. (2p.) Na ile sposobów można włożyć 5 listów do 5 kopert (po jednym
do koperty) tak, aby żaden list nie trafił do właściwej koperty?
7. (3p.) Znajdź wyraz ogólny ciągu an , którego funkcją tworzącą jest
f (x) = (x + 2)e−x .
8. (2p.) Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować 12 pól
prostokąta 4×3 przy użyciu 3 kolorów, jeśli dwa pokolorowania uznajemy
za równoważne, gdy jedno z nich można otrzymać z drugiego przez obrót
o 180◦ lub symetrię?
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 1
GRUPA C
RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE!
KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT!
Imię i nazwisko ........................... ......... Nr indeksu ..............
1. (1p.+1p.) Ile rozwiązań ma równanie x1 + x2 + ... + x9 = 27 w liczbach
całkowitych: a) nieujemnych; b) dodatnich?
2. (2p.) Czy prawdą jest, że n3 = Θ(n3 )? Odpowiedź dokładnie uzasadnij, obliczając odpowiednią granicę!
3. (2p.) Znajdź wyraz ogólny ciągu an , którego funkcją tworzącą jest
x
.
f (x) = 2−x
4. (2p). Zachodzi tożsamość
m
0
k m
+
k
1
k m
+
2
k−1
k
m
+...+
k−2
k
k
0
=
Powyższą tożsamość można wykazać, rozwiązując na dwa sposoby odpowiednie zadanie. Sformułuj to zadanie i wykaż tożsamość.
m+k
k
.
5. (1+1) Ile spośród funkcji f : {1, 2, 3, 4} −→ {1, 2, ..., 8} jest: a) rosnących: b) niemalejących?
6. (1p.+2p.) Znajdź rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego:
a) an+2 = −4an+1 + 5an ; b) bn+2 = −2bn+1 − 2bn .
7. (1p+1p.) Znajdź funkcję tworzącą dla ciągu an = 3n : b) bn = 3n + 5n
8. (2p.) Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować 8 pól koła
przy użyciu 2 kolorów, jeśli dwa pokolorowania uznajemy za równoważne,
gdy jedno z nich można otrzymać z drugiego przez obrót?
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 1
GRUPA D
RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE!
KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT!
Imię i nazwisko ........................... ......... Nr indeksu ..............
1. (1p+1p.) Znajdź funkcję tworzącą dla ciągu an = 3n : b) bn = 3n − 2n
2. (2p). Zachodzi tożsamość
1
n
1
+ 2
n
2
+ 3
n
3
+ ... + n
n
n
= n2n−1 .
Powyższą tożsamość można wykazać, rozwiązując na dwa sposoby odpowiednie zadanie. Sformułuj to zadanie i wykaż tożsamość.
3. (1+1) Ile spośród funkcji f : {1, 2, 3, ..., 8} −→ {1, 2, 3, 4} jest: a)
nierosnących: b) ”na”?
4. (1+1) Ile rozwiązań ma równanie x1 + x2 + ... + x8 = 25 w liczbach
całkowitych: a) nieujemnych; b) dodatnich?
5. (1p.+2p.) Znajdź rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego:
a) an+2 = 2an+1 + 8an ; b) bn+2 = 2bn+1 − 2bn .
6. (2p.) Znajdź wyraz ogólny ciągu an , którego funkcją tworząca jest
x3
f (x) = 1−x
2.
7. (2p.) Czy prawdą jest, że n = O(ln2 n)? Odpowiedź dokładnie uzasadnij, obliczając odpowiednią granicę.
8. (2p.) Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować 6 pół koła
przy użyciu 3 kolorów, jeśli dwa pokolorowania uznajemy za równoważne,
gdy jedno z nich można otrzymać z drugiego przez obrót?
