spis treści

179
Spis treści
SPIS TREŚCI
Wykaz wybranych oznaczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Rozdział 1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Lokalna szybkość zbieżności . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Zbieżność liniowa . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Uwaga o algorytmach ewolucyjnych i genetycznych
1.2.1. Algorytmy genetyczne . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Algorytmy naśladujące zachowanie się roju
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
10
11
12
13
14
Rozdział 2. Układy równań nieliniowych i zadania identyfikacji .
2.1. Zadania identyfikacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Układy równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Rozwiązywanie nieliniowych zadań najmniejszych kwadratów . .
2.3.1. Dodatkowe punkty stacjonarne generowane przez metodę
najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
16
16
17
18
.
18
.
.
.
.
21
21
21
24
.
.
.
.
.
.
.
26
26
27
29
30
32
35
Rozdział 3. Wykorzystanie macierzy pochodnych
aproksymacji do rozwiązywania układów równań
3.1. Metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Metoda quasi-newtonowska Broydena . . . . . . .
3.3. Metoda Gaussa-Newtona . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i jej
nieliniowych
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Rozdział 4. Metody aproksymacji kwadratowych w zadaniach
poszukiwania minimum funkcji bez ograniczeń . . . . . . . . .
4.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Metody gradientów sprzężonych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Metody gradientów sprzężonych . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Aproksymacja hesjanu na bazie kierunków sprzężonych .
4.4. O strukturze wzorów uaktualniających metod zmiennej metryki
.
.
.
.
.
.
.
Rozdział 5. Zbieżność i szybkość zbieżności metody Newtona-Raphsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Zbieżność metody Newtona-Raphsona dla układów równań
nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Zbieżność metody siecznych Broydena . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Zbieżność metody Gaussa-Newtona dla układów równań
nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Zbieżność metody Newtona do punktów niestacjonarnych . . . . . .
5.2.1. Zbieżność metody Newtona do punktów osobliwych układu
równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Zbieżność metody Newtona stosowanej do rozwiązania zadania
minimalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdział 6. Zbieżność metod gradientów sprzężonych . . . . . . . .
43
43
47
48
50
50
56
63
180
Spis treści
6.1. Wybór startowego kierunku poszukiwań . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Zbieżność dla ściśle wypukłych zadań programowania
kwadratowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Zbieżność globalna w przypadku zadań niewypukłych . . . . . . .
6.3. Możliwość wystąpienia cyklu w metodzie Polaka-Poljaka-Ribiere’a
6.4. Szybkość zbieżności metod gradientów sprzężonych . . . . . . . .
.
63
.
.
.
.
65
67
74
79
Rozdział 7. Zbieżność i szybkość zbieżności metod quasi-newtonowskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1. Zbieżność w skończonej liczbie kroków dla zadań kwadratowych . . 82
7.2. Monotoniczność zmian wartości głównych odwrotności hesjanu i jej
aproksymacji wyliczonej zgodnie ze wzorem metody BFGS . . . . . 85
7.3. Generacja identycznych kierunków poszukiwań przez metody
Broydena z dokładną minimalizacją kierunkową . . . . . . . . . . . 88
7.4. Zbieżność globalna dla zadań wypukłych . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4.1. Zbieżność globalna przy niedokładnej minimalizacji
kierunkowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.4.2. Zbieżność globalna metod wypukłej klasy Broydena przy
dokładnej minimalizacji kierunkowej . . . . . . . . . . . . . 97
7.4.3. Zbieżność globalna metod wypukłej klasy Broydena przy
niedokładnej minimalizacji kierunkowej . . . . . . . . . . . . 98
7.5. Lokalna zbieżność Q-superliniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.5.1. Charakterystyka zbieżności Q-superliniowej . . . . . . . . . 99
7.5.2. Przypadek minimalizacji w kierunku zapewniającej
spełnienie warunków Wolfe’a . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.5.3. Dokładna minimalizacja w kierunku . . . . . . . . . . . . . 101
7.5.4. Bez minimalizacji kierunkowej; krok stały, równy jedności . 102
Rozdział 8. Zastosowania i różne sposoby doboru punktów
startowych dla metod lokalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Estymacja parametrów funkcji produkcji typu VES – siatka
punktów startowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Opis funkcji produkcji typu VES („variable elasticity of
substitution”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2. Metoda estymacji parametrów funkcji produkcji VES . .
8.2. Metody klasteryzacyjne optymalizacji globalnej . . . . . . . . .
8.2.1. Estymacja parametrów funkcji produkcji CES . . . . . .
8.2.2. Estymacja parametrów funkcji materiałowych
w uogólnionym modelu Gursona . . . . . . . . . . . . .
8.2.3. Zadanie identyfikacji w modelu z rozdzielonymi
porowatościami związanymi z powstawaniem nowych
i wzrostem istniejących pustek . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4. Opis danych Fishera użytych do estymacji parametrów .
8.2.5. Wyniki obliczeń numerycznych . . . . . . . . . . . . . .
8.2.6. Analiza wyników identyfikacji . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.7. Podsumowania i komentarze . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 103
. . 105
.
.
.
.
.
.
.
.
105
107
110
112
. . 116
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
119
123
125
138
143
Spis treści
8.3. Rozwiązanie zadania metodą najmniejszych kwadratów punktem
startowym metody Broydena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1. Prezentacja równań dla przekroju z jednym i dwoma
otworami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2. Opis zastosowanych metod rozwiązywania wynikowych
układów równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3. Implementacja quasi-newtonowskiej metody BFGS do
poszukiwania minimum lokalnego . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4. quasi-newtonowska metoda siecznych Broydena . . . . . . .
8.3.5. Przykładowe wyniki obliczeń dla przekroju struktury
wieżowej osłabionej otworem . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Przypadek ściśle wypukłej funkcji celu . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1. Wyniki uzyskane metodą Newtona . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2. Wyniki uzyskane metodami gradientów sprzężonych
w różnych wariantach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3. Wyniki uzyskane za pomocą metod należących do wypukłej
klasy Broydena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
145
146
150
151
154
155
161
163
164
166
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178