Cwiczenia z ekonomii matematycznej w pigu lce.

Ćwiczenia z ekonomii matematycznej w piguÃlce.
Cześć
1
,
Podstawowe wÃlasności relacji preferencji
Funkcja popytu
W rozwiazaniach
zadań korzystaliśmy z nastepuj
acych
faktów
,
,
,
• Relacja, preferencji na zbiorze X nazywa sie, dowolna, relacje, na X,
która jest zwrotna, zupeÃlna i przechodnia. W dalszej cześci
bedziemy
,
,
n
zakÃladać, że X jest równy R+ .
• Relacje, preferencji < nazywa sie, póÃlciagÃ
, la, z góry, gdy zbiór
{y ∈ Rn+ : y < x}
jest domkniety
dla każdego x ∈ Rn+ . Relacje, nazywa sie, pólciagÃ
, la, z
,
doÃlu, gdy
{x ∈ Rn+ : y < x}
jest domkniety
dla dowolnego y ∈ Rn+ . O relacji, która jest zarówno
,
póÃlciagÃ
, la z góry jak i z doÃlu mówi sie,
, la. CiagÃ
, lość relacji <
, że jest ciagÃ
jest równoważna z domknietości
a, zbioru
,
{(x, y) ∈ Rn+ × Rn+ : x < y}.
n
• Dla dowolnej ciagÃ
, lej relacji preferencji < określonej na R+ istnieje ciagÃ
, la
funkcja
f : Rn+ → R
ja, reprezentujaca.
Przypomnijmy, że mówimy, że funkcja f reprezen,
tuje (lub opisuje) relacje, < wtedy i tylko wtedy, gdy
x < y ⇔ f (x) ≥ f (y).
Funkcje, f o powyższej wÃlasności nazywa sie, także funkcja, użyteczności
reprezentujac
, a, <.
• Jeżeli f : Rn+ → R jest funkcja, ciagÃ
, la,
, to opisywana przez nia, relacja
jest ciagÃ
l
a.
,
• Jeżeli f opisuje relacje, < oraz g : R → R jest rosnaca,
to g ◦ f także
,
reprezentuje <.
1
• Relacja < jest wypukÃla, gdy jeżeli y < x oraz z < x, to αy+(1−α)z < x
dla dowolnej liczby 0 ≤ α ≤ 1.
• Relacja < jest silnie wypukÃla, gdy jeżeli y < x oraz z < x, to αy + (1 −
α)z  x dla dowolnej liczby 0 < α < 1.
• Relacja < jest wypukÃla wtedy i tylko wtedy, gdy reprezentujaca
ja,
,
funkcja f jest quasi-wklesÃ
, la. Przypomnijmy,że oznacza to, że
f (αx + (1 − α)y) ≥ min{f (x), f (y)},
dla dowolnej liczby α ∈ [0, 1].
• Relacja < jest silnie wypukÃla wtedy i tylko wtedy, gdy reprezentujaca
,
ja, funkcja f jest silnie quasi-wklesÃ
l
a,
czyli
,
f (αx + (1 − α)y) > min{f (x), f (y)},
dla dowolnej liczby α ∈ (0, 1).
• Jeżeli f jest wklesÃ
, la, to f jest quasi-wklesÃ
, la. Zatem relacja opisywana
przez f jest wypukÃla.
• Jeżeli f jest silnie wklesÃ
, la, to f jest silnie quasi-wklesÃ
, la. Zatem relacja
opisywana przez f jest silnie wypukÃla.
• Jeżeli Hesjan dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f określonej na otwartym zbiorze wypukÃlym U ⊂ Rn jest niedodatnio określony w każdym
punkcie x ∈ U , to f jest wklesÃ
, la na U . Przypomnijmy, że Hesjanem
funkcji f w punkcie x nazywamy macierz drugich pochodnych
³ ∂ 2f
´n
H(x) =
(x)
.
∂xj ∂xk
j,k=1
Na mocy definicji Hesjan jest niedodatnio określony w punkcie x, gdy
dla dowolnego y ∈ Rn
y T H(x)y ≤ 0.
• Jeżeli H(x) jest ujemnie określony w każdym punkcie x ∈ U , czyli
y T H(x)y < 0,
dla y 6= 0, x ∈ U , to f jest silnie wklesÃ
, la na zbiorze U .
2
• (kryterium Sylvestera) Niech H = (hi,j )ni,j=1 bedzie
macierza, pewnej
,
n
formy kwadratowej na R . Forma o macierzy H jest ujemnie określona,
gdy (−1)k det Hk > 0, dla dowolnej liczby 1 ≤ k ≤ n. Przez Hk
oznaczyliśmy podmacierz Hk = (hi,j )ki,j=1 .
do zbioru M ⊂ Rn+ nazywa sie, elementem maksy• Element x̄ należacy
,
malnym, gdy nie istnieje element y ∈ M taki, że y  x̄. Równoważnie,
ponieważ < jest przechodnia, to x̄ jest elementem maksymalnym w M
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego y ∈ M x̄ < y.
• Jeżeli f jest pewna, funkcja, użyteczności, która jest silnie rosnaca,
czyli
,
x > y ⇒ f (x) > f (y) oraz quasi-wklesÃ
l
a,
to
obszary
oboj
etności
f sa,
,
,
wypukÃle.
• Jeżeli M jest zbiorem zwartym a < jest relacja, póÃlciagÃ
, la, z góry (w
szczególności wiec
, la),
, to w M istnieje element maksymalny dla <.
, ciagÃ
• Jeżeli < jest silnie wypukÃla, to w wypukÃlym zbiorze M istnieje co
najwyżej jeden element maksymalny dla <.
• Twierdzenie Kuhna-Tuckera
Jeżeli funkcja użyteczności f : Rn+ → R jest rosnaca,
różniczkowalna i
,
n
silnie wklesÃ
zadania
,
, la na int R+ , to x̄ jest rozwiazaniem

max f (x)


p1 x1 + · · · + pn xn ≤ I
(1)


n
x ∈ R+ ,
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba λ > 0 taka, że (x̄, λ) speÃlniaja,
ukÃlad równań
∂f
(x̄) = λpk , k = 1, . . . , n
∂xk
p1 x1 + · · · + pn xn = I.
• Funkcje, ϕ : Rn+ × R+ → Rn+ , która każdemu ukÃladowi cen p ∈ Rn+ i
dochodowi I ∈ R+ przyporzadkowuje
(jedyne!) rozwiazanie
zadania (1)
,
,
nazywa sie, funkcja, popytu. Podkreślmy. że zadanie (1) może nie mieć
rozwiazania
lub rozwiazań
może być wiele. Z przytoczonych faktów
,
,
wynika, że jeśli f jest ciagÃ
, la, i silnie wklesÃ
, la, funkcja, użyteczności, to
problem (1) ma dokÃladnie jedno rozwiazanie.
W szczególności w tym
,
przypadku istnieje funkcja popytu.
3