(s)+

Matematyka 2
Metoda operatorowa cz 2
Odwrotna transformata Laplace’a
Literatura
 M.Gewert, Z.Skoczylas; Równania różniczkowe
zwyczajne; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 1999
 D.Mozyrska, E.Pawłuszewicz, R.Stasiewicz; Równania
różniczkowe zwyczajne; Dział Wydawnictw i Poligrafii
PB, Białystok, 2001
 W.Żakowski, W.Leksiński; Matematyka cz IV; WNT,
Warszawa, 1984
 W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla
studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981
 W.Stankiewicz, J.Wojtowicz; Zadanie z matematyki
dla wyższych uczelni technicznych cz II; PWN,
Warszawa, 1983
Delta Diraca
Przykład.
-
C
+
U
Delta Diraca
Przykład.
 0 gdy t  0
 (t )  
  gdy t  0
1
1

gdy t  lub t 
0
n
n

1
2
f n (t )  n  n t gdy 0  t 
n

n  n 2t gdy  1  t  0

n
Własności delta Diraca
•
ℒ[(t)] = 1
•
ℒ[(t-t0)] = e-tos
•
ℒ[n(t)] = sn; n = 1, 2, …
•
t
k


L  k (t ) 
 
 s
Delta Diraca
Twierdzenie 7. (o filtrowaniu)

 f (t ) (t  t0 )dt  f (t0 )
Filtrowanie polega na tym, że spośród wszystkich
wartości przyjmowanych przez funkcję f całka
wybiera tę, którą funkcja przyjmuje w punkcie t0.
Delta Diraca
Przykład.
Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = t·1(t)-(t)
Splot
Definicja 3. Splotem funkcji f i g na przedziale
(-, ) nazywamy funkcję (t) określoną w
następujący sposób:
 (t ) :

 f ( ) g (t   ) d

Splot
WAŻNY PRZYPADEK: jeżeli obie funkcje f i g są
równe zeru dla t<0, wówczas:
t
( f * g )(t ) :  f ( ) g (t   ) d
0
oraz (f*g)(t) = 0 dla t<0.
dla t  0
Splot
Przykład.
Obliczyć splot funkcji
f(t) = sint·1(t)
i
g(t) = et ·1(t)
Własności splotu
• f*g = g*f • (f*g)*h = f*(g*h) • f*(g+h) = f*g + f*h • |f*g| ≤ |f|*|g|
• Jeżeli f i g są oryginałami, to ich splot też jest
oryginałem.
Własności splotu
Twierdzenie 8. (Borela o splocie)
Jeżeli f i g są oryginałami, to istnieje
transformata ich splotu oraz
ℒ [f*g] = ℒ[f]· ℒ[g]
Splot
Przykład.
Korzystając z twierdzenia Borela wyznaczyć
transformatę Laplace’a splotu funkcji
f(t) = sint*cost
Splot
Przykład.
Korzystając z twierdzenia Borela wyznaczyć
transformatę Laplace’a splotu funkcji
f(t) = e-t sint*e-t
Odwrotna
transformata Laplace’a
Sformułowanie zadania
Dla danej funkcji zmiennej zespolonej F(s) znaleźć
taką funkcję f(t), że F(s) jest jej ℒ-transformatą.
Problem sprowadza się do rozwiązania równania w
postaci:

0 f t s
 st
dt  F ( s)
w którym F(s) jest funkcją holomorficzną w
pewnym obszarze, a f(t) funkcją określoną w
przedziale [0,).
Podstawowe własności
•
ℒ-1[aF1(s)+bF2(s)] = aℒ-1[F1(s)]+bℒ-1[F2(s)]
•
ℒ-1[F(cs)] = 1/c f(t/c), c>0
•
ℒ-1[e-tosF(s)] = f(t-t0)·1(t-t0)
•
ℒ-1[F(s+)] = e-t f(t)
Podstawowe własności
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
2
F ( s)  2
s
Podstawowe własności
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
3s
F ( s)  2
s 4
Podstawowe własności
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
s 1
F ( s)  2
s 1
2
Podstawowe własności
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
1 s
s
2 s
F ( s)  e  2 e
s
s 1
Podstawowe własności
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
1
F ( s)  2
s  2s  5
Podstawowe własności
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
3s  2
F ( s) 
( s  1)( s  2)
Twierdzenie Heaviside’a
Twierdzenie 9. (o rozkładzie)
Jeżeli funkcja F(s) jest funkcją wymierną postaci
P( s )
F ( s) 
Q( s )
gdzie P(s) i Q(s) są wielomianami takimi, że stopień
P(s) jest niższy niż stopień Q(s) i jeżeli Q(s) ma
tylko pierwiastki jednokrotne sk, k=1, 2, …, n, to
n
P( sk ) sk t
L [ F ( s)]  
e
k 1 Q' ( sk )
1
Twierdzenie Cuchy’ego
Twierdzenie 10. (Cauchy’ego o residuach)
Załóżmy, że na prawo od prostej z=+jω, (gdzie
s=x+jω i <x, ω-dowolne) funkcja F(s)est ma
skończoną liczbę biegunów sk, k=1, 2, …, n.
Wówczas zachodzi równość
n

L1[ F ( s)]   res ssk F ( s) e sk t
k 1

Twierdzenie Cuchy’ego
Jeżeli funkcja F(s) ma zespolone bieguny sprzężone, to






res s  sk F (s)e st  res s  sk F (s)e st  2 Re res s  sk F (s)e st
Obliczanie residuum
1
res s0 F ( s) 
(k  1)!
lim
ss0

d ( k 1)
k


s

s
0 F ( s)
( k 1)
ds


Twierdzenie Cuchy’ego
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
1
F ( s)  2 2
s ( s  1)
Twierdzenie Cuchy’ego
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
s  12s  14
F (s) 
2 2
( s  3) ( s  4)
2
Twierdzenie Cuchy’ego
Przykład.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a
funkcji:
F ( s) 
5
( s  1)( s  1)
2
(wykorzystać twierdzenie Borela)
Metoda operatorowa
Odwrotna transformata
Laplace’a
KONIEC