Sprawozdanie z zad. nr 4 „Wahadło Matematyczne” z Fizyki

Sprawozdanie z zad. nr 4 „Wahadło Matematyczne” z Fizyki
Komputerowej
Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek
12:15
===============================================
=========================
Zadanie
Sztywne wahadło o długości l i masie m może się wahać bez ograniczeń
amplitudy. Współczynnik tłumienia wynosi α. Przeanalizować ruch wahadła w
sytuacji drgań swobodnych (z wychyleniem początkowym φ(0)=φ0 i prędkość
ω0) oraz w obecności harmonicznej siły wymuszającej. Wykonać wykres fazowy,
wykres zależności położenia i prędkości od czasu a także przeanalizować
zmiany energii w układzie.
Równanie ruchu wahadła:
Wykresy dla ruchu bez tłumienia oraz bez obecności harmonicznej siły
wymuszającej:
Dane dla poniższych wykresów:
Φ0 = 10o
m=5
l = 10
α=0
ωw = 1
F0 = 0
Na poniższych wykresach wyraźnie widzimy, że układ wahadła porusza
się bez żadnych oporów oraz bez żadnych wymuszeń.
Wykresy zależności położenia oraz prędkości od czasu są idealnymi
sinusoidami, przesuniętymi względem siebie w fazie o połowę okresu, co
świadczy o tym, co zostało napisane powyżej.
Wykres fazowy jest okręgiem, co dodatkowo potwierdza powyższe
obserwacje.
Tak samo zachowują się wykresy zmian energii. Również są przesunięte
względem siebie w fazie o połowę okresu, a suma ich energii jest stała w
każdym momencie czasu.
Wykresy dla ruchu bez harmonicznej siły wymuszającej
Dane dla poniższych wykresów:
Φ0 = 10o
m=5
l = 10
α = 0,4
ωw = 1
F0 = 0
Na poniższych wykresach widzimy wyraźnie, że ruch wahadła
matematycznego jest tłumiony i z każdym okresem jego amplituda stopniowo
się zmniejsza. Zmiana wychylenia w czasie jest łagodna.
Wykres zależności prędkości od czasu wygląda bardzo podobnie do
wykresu wychylenia w czasie, lecz jest on przesunięty w fazie o pół okresu
względem wykresu położenia. Ponieważ wahadło waha się w dwie strony, więc
zwrot wektora prędkości ulega zmianie tak samo jak wektora położenia. Tak
samo jak w poprzednim przypadku amplituda łagodnie się zmniejsza wraz z
upływem czasu. Można stąd łatwo wywnioskować, że po upływie określonego
czasu wahadło po prostu się zatrzyma.
Wykres fazowy jest spiralą stopniowo zbliżającą się do początku układu
współrzędnych, co oznacza, że prędkość i wychylenie zbliżają się do zera, co
wiąże się z zatrzymaniem wahadła.
Energie kinetyczna i potencjalna również zmieniają się okresowo, tak
samo są przesunięte w stosunku do siebie w fazie o połowę okresu oraz
zmniejszają się wraz z upływem czasu. Suma tych energii zmniejsza się w
czasie wykładniczo. Niestety dyskretyzacja liczb deformuje wykres sumy
energii kinetycznej i potencjalnej.
Wykresy dla ruchu z obecnością harmonicznej siły wymuszającej:
Dane dla poniższych wykresów:
Φ0 = 10o
m=5
l = 10
α = 0,4
ωw = 1
F0 = 0,5
Powyższe dane różnią się od danych dla drgań swobodnych tylko i
wyłącznie wartością F0, która odpowiada za wymuszenie drgań.
Przedstawione wykresy ukazują ruch wahadła po upływie 30s.
Początkowo wykres położenia od czasu zachowuje się jak w pierwszym
przypadku, czyli amplituda się zmniejsza, ale już po upływie 20s występuje
rezonans spowodowany wymuszeniem drgań. Zwroty wahadła oraz siły
wymuszającej nie są w tym momencie sobie zgodne, więc wychylenie
gwałtownie słabnie po to, aby następnie stopniowo zwiększać swoją wartość
wraz z upływem czasu.
Podobnie zachowuje się wykres zależności prędkości od czasu, z tym że
również jest przesunięty o połowę okresu w stosunku do wykresu prędkości od
czasu. Wektory prędkości i siły wymuszającej znów mają w pewnym momencie
przeciwne zwroty, więc prędkość gwałtownie spada, aby później stopniowo
rosnąć. Wzrost tej prędkości, podobnie jak wyżej wychylenia, spowodowany jest
przez siłę wymuszającą.
Wykres fazowy przypomina spiralę, do tego lekko chaotyczną, ale od
spirali różni go to, że początkowo dąży do początku układu współrzędnych, ale
jak zauważono powyżej, siła wymuszająca zaburza jej przebieg i spirala
zaczyna biec do zewnątrz i bardzo prawdopodobne, że w pewnym momencie
znalazłaby się ona w punkcie początkowym, a następnie rozszerzałaby się
jeszcze bardziej.
Wykresy energii kinetycznej i potencjalnej są, tak samo jak we wszystkich
przypadkach, przesunięte względem siebie w fazie o połowę okresu. Siła
wymuszająca wraz z upływem czasu powoduje stopniowe zwiększanie amplitud
tych wykresów. Suma energii rośnie logarytmicznie i jakby „opiera się” na
wierzchołkach wykresów tych energii. Niestety dyskretyzacja wartości
deformuje wykres sum energii.
Wykresy dla ruchu chaotycznego:
Dane dla poniższych wykresów:
Φ0 = 10o
m=5
l = 10
α = 15
ωw = 1
F0 = 60
Poniższe wykresy przedstawiają sytuację kiedy ruch tego wahadła jest
chaotyczny. Pierwsza ich seria przedstawia ruch przez pierwsze 10s, a druga
seria, w czasie 100s.
Na wykresach położenia od czasu widać wyraźne zniekształcenia
sinusoidy, co jednoznacznie świadczy o chaosie, który wdarł się do ruchu
wahadła.
Wyraźnie widać to na wykresach prędkości od czasu, gdzie zaburzenia tej
sinusoidy są o wiele bardziej widocznie.
W tych przypadkach nie możemy mówić o tym, że wykresy te są
przesunięte w względem siebie w fazie, ponieważ nie są one okresowe, na co
wskazują wykresy fazowe ruchów tego wahadła. Zwiększając czas, w którym
wahadło się porusza, wykres fazowy robi się coraz bardziej pogmatwany i
aktualny punkt położenia i prędkości, nigdy nie znajdzie się w tym samym
miejscu co punkt początkowy, co ewidentnie mówi nam o chaotycznym ruchu
tego wahadła.
Wykresy zmian energii w ogóle nie posiadają porządku tak jak to było w
poprzednich przypadkach, co dodatkowo potwierdza to, co zostało zauważone
powyżej.
Wnioski:
Na powyższych wykresach widać wyraźnie, że prędkości i wychylenia
mają niemalże identyczny charakter. Różnią się jedynie tym, że są w stosunku
do siebie przesunięte w fazie o połowę okresu. Różnią się też oczywiście
wymiarem. Wykresy fazowe przypominają spirale, a to czy aktualnie ta spirala
się powiększa czy pomniejsza, związane jest z tym, czy amplitudy na
poprzednich dwóch wykresach odpowiednio się zwiększają czy zmniejszają. To
samo dzieje się z wykresami energii.
Powyższe wnioski nie dotyczą oczywiście sytuacji, w której ruch jest
chaotyczny, ponieważ wtedy nie możemy mówić o okresowości takiego ruchu,
czy charakterze sum energii. Wykres fazowy takiego ruchu wraz ze
zwiększaniem czasu, w którym obserwujemy ruch wahadła, będzie coraz
bardziej chaotyczny, co nie pozostawia żadnych wątpliwości co do
chaotyczności takiego ruchu.
Wyniki działania programu są zatem zgodne z naszymi oczekiwaniami,
ogólnie przyjętymi prawami fizyki, które zostały na przestrzeni dziejów
oczywiście udowodnione, oraz z zasadami logiki jak i intuicją.