1 Model poszukiwan na rynku pracy

1
Model poszukiwań na rynku pracy
1.1
Sformulowanie i rozwiazanie
problemu programowa,
nia dynamicznego z dyskretnym zbiorem wartości
Bezrobotny otrzymuje w każdym okresie t = 0, 1, ... oferte, pracy z wynagrodzeniem w, gdzie w jest zm. losowa,, w ∼ U [a, b]. b > a > 0. Zatrudniony może
zostać zwolniony z prawdopodobieństwem λ. Maksymalizujemy zdyskontowana,
stopa, β sume, przyszlych plac.
Zdefiniujemy fukcje, wartości dla tego zagadnienia:
Vo (w) = max{Vu (w), Ve (w)},
Vu (w) = βEVo ,
(1)
Ve (w) = w + βλEVo + β(1 − λ)Ve (w),
gdzie Vu (w) jest funkcja, wartości, jeśli odrzucimy oferte, (pozostaniemy bezrobotni), a Ve (w) jest f.wartości jeśli oferte, w przyjmiemy. Vo (w) jest funkcja, wartości w momencie nadejścia oferty (wylosowania w). Po prostych przeksztalceniach
ostatniego równania mamy:
Ve (w) =
w + βλEVo
.
1 − β(1 − λ)
(2)
Ponieważ Vu (w) jest stala, funkcja, w, zaś Ve (w) – liniowa,, rosnac
, a, funkcja, w, to
wykres Vo (w) jest lamana., Place, R, dla której Vu (R) = Ve (R) (dla której przecinaja, sie, wykresy obu funkcji), czyli dla której decydent jest indyferentny miedzy
,
przyjeciem
oferty pracy a odrzuceniem nazywamy placa, progowa, (reservation
,
wage). W tym przypadku, korzystajac
, z (1) i (2), uzyskujemy:
βEVo =
R + βλEVo
1 − β(1 − λ)
⇓
R = β(1 − β)(1 − λ)EVo .
(3)
Pozostaje zadanie wyznaczenia I = EVo . Jest to możliwe, gdyż znamy rozklad
1
w. Mamy:
Z
+∞
I = EVo =
−∞
b
1
Vo (w)dF (w) =
b−a
b
Z
Vo (w)dw =
a
Z
Z b
1
w + βλI
1
(Ve (w) − Vu (R))dw + Vu (R) =
(
=
− βI)dw + βI.
b−a R
b − a R 1 − β(1 − λ)
Wyrażenie I = EVo wewnatrz
calki nie przeszkadza, bo to stala. Po wycalko,
waniu wzgledem
w dostajemy:
,
1
1 2
2
(1 − β)I =
(b − R ) − Iβ(1 − β)(1 − λ)(b − R)
(b − a)(1 − β(1 − λ)) 2
⇓
1 2
(b − R2 )
2
(1 − β)I =
.
(4)
b − a − β(1 − λ)(R − a)
Wstawiajac
ac
, (4) do (3) i rozwiazuj
,
, równanie kwadratowe uzyskujemy poziom
placy progowej w tym modelu:
R = β(1 − λ)
1 2
(b
2
− R2 )
b − a − β(1 − λ)(R − a)
⇓
0 = R2 − 2ψR + 1,
gdzie
ψ =a+
(5)
b−a
.
β(1 − λ)
Ostatecznie, mamy dwa rozwiazania:
,
p
R1 = ψ − ψ 2 − 1
R = ψ + pψ 2 − 1
(6)
2
Widać, że oba pierwiastki, jeśli sa, rzeczywiste, to sa, dodatnie (ψ > 0). Jako
reservation wage wybierzemy mniejszy z nich. Oczywiście warto też zastanowić
sie,
, kiedy wyrażenie pod pierwiastkiem ma sens w ciele liczb rzeczywistych (tzn.
kiedy placa progowa jest liczba, rzeczywista).
, Jest tak, gdy ψ > 1, czyli gdy:
b > β(1 − λ) − a(1 − β(1 − λ)).
Oznacza to, że rozklad prawdopodobieństwa w nie może być skoncentrowany
na zbyt waskim
odcinku zbyt blisko 0. W szczególności dla a ≥ 1 powyższa
,
nierówność jest zawsze spelniona.
2
1.2
Przypadek λ = 1
Jeśli λ = 1 to na mocy równania (3) mamy R = 0. Interpretacja tego faktu jest
jasna: jeśli w dowolnym okresie mam do wyboru 0 lub wiecej,
wybiore, wiecej.
,
,
Wybierajac
nic nie trace,
okresie
, wiecej
,
, gdyż mam gwarancje,
, że w nastepnym
,
znajde, sie, w identycznej sytuacji. Mamy:
Vo (w) = Ve (w)
Ve (w) = w + βEVe ,
(7)
zatem oczywiście
EVo = EVe = E[w + βEVe ] =
a+b
+ βEVe
2
⇓
EVo
a+b
=
2(1 − β)
= Ew(1 + β + β + ...) .
2
3
(8)