Ryzyko inwestycji finansowych

Marcin Studniarski
http://math.uni.lodz.pl/ marstud/
[email protected]
Ryzyko inwestycji …nansowych
(semestr zimowy 2010/11)
1
Koncepcje i rodzaje ryzyka
1.1
Dwie koncepcje ryzyka
1. Negatywna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagroz·enie; moz·liwość
straty, szkody, nieosiagni
¾ ecia
¾ zamierzonego celu dzia÷
ania.
2. Neutralna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagroz·enie, ale jednocześnie
szansa; moz·liwość uzyskania efektu róz·niacego
¾
sie¾ od zamierzonego celu
(efekt ten moz·e być gorszy lub lepszy od oczekiwanego).
1.2
Rodzaje ryzyka
1. Ryzyko rynkowe - wynika ze zmian cen na rynkach …nansowych i towarowych (koncepcja neutralna).
2. Ryzyko kredytowe - wynika z moz·liwości niedotrzymania warunków
kontraktu przez osobe¾ lub instytucje,
¾ której udzielono kredytu.
3. Ryzyko operacyjne - ryzyko straty wynikajacej
¾ z nieprawid÷
owo dzia÷
ajacych
¾
procesów wewnetrznych,
¾
ludzi i systemów informatycznych (koncepcja negatywna).
4. Ryzyko p÷
ynności - ryzyko nieoczekiwanego spadku p÷
ynności …nansowej podmiotu gospodarczego (p÷
ynność oznacza zdolność podmiotu
do regulowania zobowiazań
¾
w terminie) (koncepcja neutralna lub negatywna).
5. Ryzyko prawne - ryzyko uchwalenia nowych aktów prawnych maja¾
cych wp÷yw na sytuacje¾ danego podmiotu gospodarczego (koncepcja neutralna).
6. Ryzyko biznesu - ryzyko spowodowane zmianami warunków ekonomicznych prowadzenia dzia÷alności gospodarczej przez podmiot (koncepcja neutralna lub negatywna).
7. Ryzyko wydarzeń - ryzyko wystapienia
¾
wydarzeń losowych majacych
¾
wp÷
yw na sytuacje¾ podmiotu gospodarczego (np. powódź, poz·ar, napad
na bank) (koncepcja negatywna).
1
1.3
Podzia÷ryzyka rynkowego
1. Ryzyko kursu walutowego
2. Ryzyko stopy procentowej
3. Ryzyko cen akcji
4. Ryzyko cen towarów (tak·
ze nieruchomości)
1.4
Podzia÷ryzyka kredytowego
1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez druga¾
strone¾ p÷atności wynikajacych
¾
z kontraktu (koncepcja negatywna).
2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - moz·liwość zmiany wiarygodności
kredytowej drugiej strony (koncepcja neutralna).
2
De…nicja papieru wartościowego
Papier wartościowy (security) jest to dokument (instrument …nansowy) potwierdzajacy
¾ jedna¾ z trzech sytuacji:
nabycie prawa do wspó÷
w÷asności …rmy,
udzielenie kredytu rzadowi,
¾
…rmie lub instytucji,
uzyskanie prawa do otrzymania w przysz÷
ości pewnej wartości (najcześciej
¾
w postaci innego papieru wartościowego).
3
3.1
Rodzaje papierów wartościowych
Akcje
Akcja (stock, share) jest to dokument świadczacy
¾ o udziale jego w÷aściciela w
kapitale spó÷ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia:
prawo do dywidend,
prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy,
prawo do udzia÷
u w majatku
¾
spó÷ki w przypadku jej likwidacji.
Akcje dziela¾ sie¾ na zwyk÷
e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie moz·e
dotyczyć:
g÷osu na zebraniach akcjonariuszy,
pierwszeństwa w wyp÷acaniu dywidendy,
pierwszeństwa w podziale majatku
¾
spó÷ki w przypadku jej likwidacji.
2
3.2
Obligacje
Obligacja (bond ) jest to papier wartościowy potwierdzajacy
¾ nabycie przez
jego posiadacza prawa do otrzymania w określonym terminie sumy pieniedzy
¾
określonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek
Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery
wartościowe danego emitenta w przysz÷
ości i na z góry określonych warunkach.
Podzia÷obligacji ze wzgledu
¾ na okres do wykupu:
krótkoterminowe (1-5 lat),
średnioterminowe (5-12 lat),
d÷
ugoterminowe (powyz·ej 12 lat).
Podzia÷obligacji ze wzgledu
¾ na oprocentowanie:
o sta÷
ym oprocentowaniu,
o zmiennym oprocentowaniu (moz·e być ustalane na poczatku
¾ lub na końcu
okresu oprocentowania),
zerokuponowe (bezodsetkowe) –brak odsetek jest rekompensowany sprzedaz·a¾ obligacji po cenie niz·szej od wartości nominalnej.
4
Stopa zysku z inwestycji
Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawowa¾ miara¾ określajac
¾ a¾
efektywność inwestycji. Określamy ja¾ wzorem
R :=
Kk
Kp
Kp
;
(1)
gdzie:
Kp > 0 – kapita÷poczatkowy
¾
(zainwestowany na poczatku
¾
procesu inwestycji),
Kk –kapita÷końcowy (posiadany na końcu inwestycji).
Stope¾ zysku R podaje sie¾ zwykle w procentach.
Przekszta÷
cajac
¾ wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita÷końcowy:
Kk = Kp (1 + R):
(2)
Stwierdzenie 1. Dany jest sko´nczony ciag
¾ inwestycji …nansowych w przedzia÷ach czasowych [ti 1 ; ti ], i = 1; ::; n, gdzie t0 < t1 < ::: < tn . Za÷ó·zmy, ·ze kapita÷ko´ncowy dla poprzedniego okresu jest kapita÷em poczatkowym
¾
dla nastepnego
¾
okresu. Je·zeli Ri jest stopa¾zysku dla okresu [ti 1 ; ti ], to stopa zysku dla okresu
[t0 ; tn ] wynosi
n
Y
R=
(1 + Ri ) 1:
(3)
i=1
3
Dowód. Oznaczmy przez Ki kapita÷posiadany w momencie ti , i = 0; 1; :::; n.
Zgodnie z (2)
Ki = Ki 1 (1 + Ri ), i = 1; :::; n:
Zatem
K1
K2
Kn
= K0 (1 + R1 );
= K1 (1 + R2 ) = K0 (1 + R1 )(1 + R2 );
:::
n
Y
= K0
(1 + Ri ):
(4)
i=1
Poniewaz· Kn jest kapita÷
em końcowym dla ca÷ego procesu inwestycji, wiec
¾ musi
spe÷
niać warunek (2), czyli
Kn = K0 (1 + R):
(5)
Porównujac
¾ wzory (4) i (5), otrzymujemy (3).
Przy za÷oz·eniach Stwierdzenia 1 za÷
óz·my dodatkowo, z·e 1 + Ri > 0. Liczbe¾
v
u n
uY
n
R := t
(1 + Ri ) 1
(6)
i=1
nazywamy średnia¾ geometryczna¾ stopa¾ zysku (zwrotu) z inwestycji nokresowej o stopach zysku Ri , i = 1; :::; n.
Sens liczby R jest nastepuj
¾ acy:
¾
jest ona taka, z·e inwestycja n-okresowa o
równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynoszacych
¾
R, daje stope¾
zysku R określona¾ wzorem (3). Istotnie, stosujac
¾ Stwierdzenie 1 do powyz·szej
sytuacji, otrzymamy
R=
n
Y
(1 + R)
1 = (1 + R)n
i=1
1=
n
Y
(1 + Ri )
1:
i=1
Stwierdzenie 2. Przy za÷o·zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + Ri > 0
zachodzi nierówno´s´c
n
1X
R
Ri ;
(7)
n i=1
tzn. ´srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza ´sredniej arytmetycznej
stóp zysku z poszczególnych okresów.
Dowód. Stosujemy znana¾ nierówność pomiedzy
¾
średnia¾ geometryczna¾ i
arytmetyczna¾ liczb dodatnich a1 ; :::; an :
v
u n
n
uY
1X
n
t
ai
ai
n i=1
i=1
4
(równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby ai sa¾ równe).
Niech ai := 1 + Ri , wówczas
v
u n
n
uY
1X
n
(1 + Ri ) 1
(1 + Ri ) 1
R= t
n i=1
i=1
!
n
n
X
1
1X
n+
Ri
1=
Ri :
=
n
n i=1
i=1
5
Zasada obliczania procentu sk÷
adanego
Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk÷
adanego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta÷
a
stopa procentowa, a odsetki sa¾ kapitalizowane po up÷
ywie kaz·dego roku:
Kn = K0 (1 + R)n ;
(8)
gdzie:
R –stopa procentowa (bed
¾ aca
¾ jednocześnie stopa¾ zysku dla kaz·dego roku),
K0 –kapita÷poczatkowy,
¾
Kn –kapita÷po n latach (wartość przysz÷
a sumy K0 po n latach).
W przypadku, gdy odsetki sa¾ dodawane do kapita÷u m razy w ciagu
¾ roku
(przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nastepuj
¾ acy
¾ wzór na
wartość przysz÷
a¾ sumy K0 po n latach:
K n = K0 1 +
R
m
mn
:
(9)
Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zalez·ności od czestości
¾
kapitalizacji
odsetek:
4n
kwartalna: Kn = K0 1 + R4
R 12n
12
R 365n
365
miesieczna:
¾
Kn = K0 1 +
dzienna: Kn = K0 1 +
ciag÷
¾ a:
Kn
= K0 lim
1+
m!1
= K0 lim
m!1
= K0 lim
x!1
"
R
m
mn
1
1+
m=R
1+
1
x
#
m=R Rn
x Rn
= K0 eRn ;
(10)
gdzie e 2; 7183 –podstawa logarytmu naturalnego.
Uwaga: wzrost czestości
¾
kapitalizacji odsetek ma niewielki wp÷
yw na wzrost
wartości przysz÷
ej kapita÷
u.
5
6
Zasada dyskonta
Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk÷adanego przedstawiona w odwrotnej postaci. Przekszta÷cajac
¾ wzór (8), otrzymujemy
K0 =
Kn
;
(1 + R)n
(11)
gdzie K0 nazywamy wartościa¾ bie·
zac
¾ a¾ sumy pieniedzy
¾
Kn uzyskiwanej w
przysz÷
ości (inaczej: wartościa¾ zdyskontowana¾ na okres bie·
zacy).
¾
Stope¾
procentowa¾ R nazywamy tu stopa¾ dyskontowa.
¾
Interpretacja: wartość bie·
zaca
¾ K0 wskazuje, jaka¾ sume¾ nalez·y zainwestować na n lat, przy za÷
oz·eniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacji
odsetek, aby otrzymać sume¾ równa¾ Kn .
7
Efektywna stopa procentowa
W celu wyrównania efektu śródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ciagu
¾
roku) nalez·y powiekszyć
¾
stope¾ procentowa¾ R wystepuj
¾ ac
¾ a¾ w (9) do wartości
zwanej efektywna¾ stopa¾ procentowa,
¾ oznaczanej Ref . Zatem efektywna
stopa procentowa spe÷
nia równanie
K0 (1 + Ref )n = K0 1 +
Stad
¾ wynika, z·e
Ref =
8
1+
R
m
R
m
mn
:
m
1:
(12)
Określanie wartości papierów wartościowych
Za÷
óz·my najpierw, z·e inwestor zatrzyma papier wartościowy przez rok.
Oznaczmy:
P –wartość papieru wartościowego w momencie zakupu, czyli kapita÷(poczatkowy)
¾
zainwestowany w zakup. Oznaczmy te¾ wartość .
C – wp÷
ywy gotówkowe z tytu÷u posiadania papieru wartościowego (zak÷
adamy dla uproszczenia, z·e uzyskiwane sa¾ dok÷
adnie po up÷ywie roku),
R –stopa zysku papieru wartościowego.
Ze wzoru (2) wynika, z·e C = P (1 + R), czyli
P =
C
:
1+R
(13)
Interpretacja: wartość papieru wartościowego jest to zdyskontowany przychód z tytu÷u posiadania papieru wartościowego, przy czym stopa¾ dyskontowa¾
jest stopa zysku.
6
Uogólnienie. Rozwaz·amy papier wartościowy, z tytu÷
u którego otrzymujemy wp÷
ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniajac
¾ wzór (13), otrzymujemy
P =
n
X
i=1
Ci
;
(1 + R)i
(14)
gdzie:
P –wartość papieru wartościowego,
Ci –dochód z tytu÷u posiadania papieru wartościowego, uzyskany w i-tym
okresie,
R – stopa dyskontowa, bed
¾ aca
¾ jednocześnie stopa¾ zysku osiaganego
¾
w pojedynczym okresie.
De…nicja. Wartość papieru wartościowego jest to suma zdyskontowanych na okres biez·acy
¾ wp÷
ywów uzyskiwanych z tytu÷
u posiadania tego papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku.
Sposoby korzystania ze wzoru (14):
1. Jeśli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartościowych podobnego typu), to moz·na porównać wartość P z cena¾ rynkowa¾ papieru wartościowego w celu podjecia
¾ decyzji co do zakupu (zakup jest op÷
acalny,
jeśli cena nie przekracza P ).
2. Moz·na przyjać
¾ jako P cene¾ rynkowa¾ papieru wartościowego i rozwiazać
¾
równanie (14) wzgledem
¾
R w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowania metod przybliz·onych. Znajac
¾ R, moz·na podjać
¾ decyzje¾ o zakupie (np.
porównujac
¾ R ze stopa¾ zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).
9
Określanie wartości obligacji o sta÷
ym oprocentowaniu
Rozwaz·my obligacje¾ z n-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej M .
Za÷
óz·my, z·e odsetki p÷
acone po up÷ywie kaz·dego roku wynosza¾ C. Zatem oprocentowanie obligacji wynosi C=M . Stosujac
¾ (14), otrzymujemy wzór na wartość
obligacji:
n
X
M
C
+
;
(15)
P =
i
(1 + R)
(1 + R)n
i=1
gdzie
Pn
C
i=1 (1+R)i –zdyskontowany przychód z odsetek,
M
(1+R)n –zdyskontowany przychód z wykupu obligacji.
W (15) wystepuj
¾ a¾ dwie róz·ne stopy procentowe:
1. C=M –stopa procentowa określajaca
¾ oprocentowanie odsetek od obligacji
(jest sta÷
a i znana w momencie zakupu).
2. R –stopa dyskontowa bed
¾ aca
¾ jednocześnie stopa¾ zysku obligacji (zwana
takz·e stopa¾ rentowności).
7
Wartość R jest zmienna w czasie, gdyz· zalez·y od ceny rynkowej. W praktyce
P jest cena¾ rynkowa¾ i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.
10
Określanie wartości akcji zwyk÷
ych
Zysk z tytu÷
u posiadania akcji pochodzi z dwóch źróde÷
:
1. z dywidendy p÷
aconej w danym okresie,
2. z przyrostu kapita÷
u w danym okresie (wynikajacego
¾
z przyrostu ceny
akcji).
Za÷óz·my najpierw, z·e posiadacz akcji sprzeda ja¾ po up÷ywie n lat. Wówczas
z (14) otrzymujemy
n
X
Di
Pn
P =
+
;
(16)
i
(1 + R)
(1 + R)n
i=1
gdzie
P –wartość akcji w chwili obecnej,
Pn –wartość akcji po n latach,
Di – dywidenda wyp÷
acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak÷adamy, z·e
jest wyp÷
acana z końcem roku),
R
zysku akcji, bed
¾ aca
¾ stopa¾ dyskontowa,
¾
Pn–stopa
Di
i=1 (1+R)i –zdyskontowany przychód z dywidend,
Pn
(1+R)n
–zdyskontowany przychód ze sprzedaz·y akcji.
Za÷
óz·my teraz, z·e nabywca akcji bedzie
¾
ja¾ zawsze posiada÷. Wówczas znika
ostatni sk÷
adnik po prawej stronie (16), a zamiast skończonej sumy rozwaz·amy
jej wartość graniczna¾ (o ile istnieje):
P = lim
n!1
n
X
i=1
1
X
Di
Di
=
:
(1 + R)i
(1
+
R)i
i=1
(17)
Wzór (17) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend.
Uwagi. 1) Zbiez·ność szeregu w (17) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje
A
< 1. Wówczas
taka sta÷
a A > 0, z·e Di D1 Ai 1 , i = 2; 3; ::: oraz 1+R
lim
n!1
n
X
i=1
Di
(1 + R)i
lim D1
n!1
n
X
i=1
1
X
Ai 1
Ai 1
=
D
;
1
(1 + R)i
(1 + R)i
i=1
A
gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie 1+R
2
(0; 1), a wiec
¾ zbiez·nym.
2) We wzorze (17) wyd÷
uz·enie horyzontu czasowego inwestowania do nieskończoności (co jest oczywiście jedynie przybliz·eniem rzeczywistej sytuacji) powoduje,
z·e nie rozpatrujemy przyrostu kapita÷
u z powodu zmian cen akcji. Nie ma on
znaczenia, gdy nieplanuje sie¾ sprzedaz·y akcji. Jedynym źród÷em dochodu z akcji
staje sie¾ dywidenda.
8
11
Określanie wartości przedsiebiorstwa
¾
Wartość przedsiebiorstwa
¾
(np. spó÷
ki, banku, zak÷
adu ubezpieczeń) jest to
wartość obecna (biez·aca)
¾ przysz÷
ych przep÷
ywów pienie¾z·nych do przedsiebiorstwa.
¾
Wyraz·a ja¾ wzór podobny do (17):
P =
1
X
i=1
Ci
;
(1 + R)i
(18)
gdzie
P –wartość przedsiebiorstwa,
¾
Ci –przep÷yw pienie¾z·ny w okresie i,
R –stopa dyskontowa.
Sumowanie nieskończone wynika z za÷oz·enia, z·e przedsiebiorstwo
¾
bedzie
¾
funkcjonowa÷
o stale (przez czas nieokreślony).
12
Zalez·ność stopy zysku od sposobu kapitalizacji
Przedstawimy teraz trzy róz·ne wzory na stope¾ zysku z inwestycji trwajacej
¾ n
okresów jednostkowych (najcześciej
¾
sa¾ to lata). Róz·nice wynikaja¾ z odmiennych
sposobów kapitalizacji odsetek. Uwaga: n nie musi być liczba¾ naturalna.
¾
12.1
Prosta stopa zysku
Prosta stopa zysku odpowiada kapitalizacji okresowej, tzn. odsetki sa¾
kapitalizowane jeden raz na zakończenie ca÷
ego procesu inwestycji. Sytuacje¾ te¾
opisuje szczególny przypadek wzoru (9), gdy m = 1=n:
Kn = K0 (1 + nR):
(19)
Wyznaczajac
¾ stad
¾ R, otrzymujemy wzór na prosta¾ stope¾ zysku:
R=
12.2
1
n
Kn
K0
1 :
(20)
Efektywna stopa zysku
Efektywna stopa zysku odpowiada kapitalizacji rocznej, która¾ opisuje
wzór (8). Stad
¾ otrzymujemy wzór na efektywna¾ stope¾ zysku:
R=
Kn
K0
9
1=n
1:
(21)
12.3
Logarytmiczna stopa zysku
Logarytmiczna stopa zysku odpowiada kapitalizacji ciag÷
¾ ej. Logarytmujac
¾
stronami wzór (10), otrzymujemy
ln Kn = ln K0 + Rn:
Stad
¾ dostajemy wzór na logarytmiczna¾ stope¾ zysku:
R=
13
1
(ln Kn
n
ln K0 ) =
1 Kn
ln
:
n K0
(22)
Przestrzeń probabilistyczna
Niech bedzie
¾
dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nalez·acym
¾
do tzw. klasy zdarzeń F,
gdzie F
2 . Zak÷
adamy, z·e F jest -cia÷
em podzbiorów , tzn. spe÷nia
nastepuj
¾ ace
¾ warunki:
S1. F =
6 ;.
S2. Jez·eli A 2 F, to nA 2 F.
S1
S3. Jez·eli Ai 2 F dla i = 1; 2; :::, to i=1 Ai 2 F.
Z powyz·szych warunków wynika, z·e do F nalez·a¾ zdarzenia:
(zdarzenie
pewne) i ; (zdarzenie niemoz·liwe).
Najmniejsze -cia÷
o zawierajace
¾ wszystkie zbiory otwarte w Rn nazywamy
-cia÷
em zbiorów borelowskich w Rn i oznaczamy B(Rn ).
Prawdopodobieństwem nazywamy dowolna¾ funkcje¾ P : F ! R spe÷niajac
¾ a¾ warunki:
A1. P (A) 0 dla kaz·dego A 2 F,
A2. P ( ) = 1,
A3. Jez·eli Ai 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz Ai \ Aj = ; dla i 6= j, to
!
1
1
[
X
P
Ai =
P (Ai ):
(23)
i=1
i=1
Przestrzenia¾ probabilistyczna¾ nazywamy trójk¾
e ( ; F; P ), gdzie jest
dowolnym zbiorem, F jest -cia÷
em podzbiorów , a P jest prawdopodobieństwem określonym na F.
W÷
asności prawdopodobieństwa. Jez·eli ( ; F; P ) jest przestrzenia¾probabilistyczna¾ i zbiory A; B; A1 ; :::; An nalez·a¾ do F, to spe÷nione sa¾ poniz·sze
warunki:
W1. P (;) = 0.
Sn
Pn
W2. Jez·eli Ai \ Aj = ; dla i 6= j, to P ( i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ).
W3. P ( nA) = 1 P (A).
W4. Jez·eli A B, to P (BnA) = P (B) P (A).
W5. Jez·eli A B, to P (A) P (B).
W6. P (A) 1.
W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B).
10
Uwaga. Jeśli
jest zbiorem skończonym i F = 2 , to z równości
[
=
f!g
!2
oraz z warunków A2 i W2 wynika, z·e
X
[
P (f!g) = P
!2
14
!2
!
f!g
= P ( ) = 1:
(24)
Zmienne losowe
Niech ( ; F; P ) bedzie
¾
przestrzenia¾ probabilistyczna.
¾ Zmienna¾ losowa¾ (wektorem losowym) o wartościach w Rn nazywamy odwzorowanie X : ! Rn
takie, z·e dla dowolnego zbioru borelowskiego A w Rn zbiór X 1 (A) nalez·y do
F.
Moz·na wykazać, z·e X jest zmienna¾ losowa¾ wtedy i tylko wtedy, gdy dla
kaz·dego uk÷
adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy
X
1
(( 1;
1]
:::
( 1;
n ])
2 F:
Uwaga. Jeśli
jest zbiorem skończonym i F = 2 , to kaz·da funkcja
! Rn jest zmienna¾ losowa.
¾
Rozk÷
adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X : ! Rn nazywamy funkcje¾ PX : B(Rn ) ! R dana¾ wzorem
X:
PX (B) := P (X
1
(B)) dla B 2 B(Rn ):
(25)
Mówimy, z·e zmienna losowa X ma rozk÷
ad dyskretny, jez·eli istnieje taki zbiór
przeliczalny S Rn , z·e PX (S) = 1.
Uwaga. Jeśli
jest zbiorem skończonym i F = 2 , to moz·na przyjać
¾
S := X( ) (zbiór skończony) i wtedy
PX (S) = PX (X( )) = P (X
1
(X( ))) = P ( ) = 1:
Zatem kaz·da zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk÷ad dyskretny.
14.1
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk÷
adzie
dyskretnym
Wartościa¾oczekiwana¾(lubśrednia)
¾ zmiennej losowej X : ! R o rozk÷adzie
dyskretnym, przyjmujacej
¾ skończenie wiele wartości, nazywamy liczbe¾
X
EX :=
xi P (X = xi );
(26)
i2I
11
gdzie X( ) = fxi gi2I , I – skończony zbiór indeksów, a P (X = xi ) jest skróconym zapisem wyraz·enia P (f! 2 : X(!) = xi g).
Wartościa¾ oczekiwana¾ wektora losowego X = (X1 ; :::; Xn ) : ! Rn , gdzie
wszystkie zmienne losowe Xi przyjmuja¾ skończenie wiele wartości, nazywamy
wektor
EX := (EX1 ; :::; EXn ):
(27)
14.2
Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku
ogólnym
W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :
! R mówimy, z·e ma ona
wartość oczekiwana,
¾ jez·eli jest ca÷
kowalna, tzn.
Z
jXj dP < 1:
Wówczas wartościa¾ oczekiwana¾ zmiennej losowej X nazywamy liczbe¾
Z
EX :=
XdP:
(28)
De…nicja (28) jest uogólnieniem de…nicji (26). W ogólnym przypadku do zde…niowania wartości oczekiwanej wektora losowego uz·ywamy wzoru (27) przy za÷
oz·eniu, z·e wszystkie wspó÷
rzedne
¾
maja¾ wartość oczekiwana.
¾
Ze wzoru (27) i z podstawowych w÷asności ca÷
ki wynika nastepuj
¾ ace
¾ twierdzenie.
Twierdzenie 1. Niech X i Y bed
¾ a¾zmiennymi losowymi na o warto´sciach
w R. Za÷ó·zmy, ·ze istnieja¾ warto´sci oczekiwane EX i EY . Wówczas:
(a) Je´sli X 0, to EX 0.
(b) jEXj E jXj.
(c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto´s´c oczekiwana aX + bY i
E(aX + bY ) = aEX + bEY .
15
15.1
(29)
Prognozowanie stopy zysku z inwestycji
Metoda 1 –na podstawie danych z przesz÷
ości
W metodzie tej wykorzystuje sie¾ dane z pewnej ilości okresów poprzedzajacych
¾
okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona
wzorem
Pi Pi 1 + Di
Ri =
;
(30)
Pi 1
gdzie Pi , Pi 1 oznaczaja¾ wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a Di –
dywidende¾ wyp÷acana¾ w okresie i.
Wzór (30) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapita÷poczatkowy
¾
Kp przyjmujemy jako równy Pi 1 , a kapita÷końcowy Kk –jako
12
równy Pi +Di . Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodzacym
¾
okresie (o tej samej d÷ugości) moz·emy
uz·yć średniej arytmetycznej
n
1X
Ri
(31)
R=
n i=1
albo średniej geometrycznej określonej wzorem (6).
15.2
Metoda 2 –wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku
Korzystajac
¾ z analiz ekspertów dotyczacych
¾
sytuacji danej …rmy oraz ca÷
ej
gospodarki, moz·na próbować ocenić moz·liwe stopy zysku w róz·nych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wystapienia.
¾
Wówczas do prognozowania
przysz÷
ej stopy zysku uz·ywamy oczekiwanej stopy zysku. Metode¾ te¾ nazywamy
prognozowaniem ekspertowym.
Oczekiwana¾ stopa¾ zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczbe¾
ER :=
n
X
pi R i ;
(32)
i=1
gdzie Ri – stopa zysku wystepuj
¾ aca
¾ w i-tej sytuacji, pi – prawdopodobieństwo
wystapienia
¾
i-tej sytuacji, n –liczba moz·liwych róz·nych scenariuszy rozwoju.
16
Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej
Niech X : ! R bedzie
¾
zmienna¾ losowa.
¾ Jeśli E (X EX)2 < 1, to te¾ liczbe¾
nazywamy wariancja¾ zmiennej losowej X i oznaczamy
Var X = D2 X := E (X
EX)2 :
(33)
Wariancje¾ moz·na inaczej zapisać nastepuj
¾ aco:
¾
Var X = E(X 2 )
(EX)2 :
(34)
Dowód (34). Var X := E[(X EX)2 ] = E[X 2 2XEX + (EX)2 ] = E(X 2 )
(EX)2 .
Ze wzorów (33) i (26) wynika, z·e jeśli X przyjmuje skończona¾ ilość wartości
xi , i 2 I, to
X
Var X =
P (X = xi )(xi EX)2 :
(35)
i2I
W÷
asności wariancji. Jeśli X jest zmienna¾ losowa,
¾ dla której E(X 2 ) < 1, to
istnieje Var X i spe÷
nia warunki
(a) Var X 0.
(b) Var( X) = 2 Var X ( 2 R).
13
(c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R).
(d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta÷
a z
prawdopodobieństwem 1.
Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek
z wariancji:
p
Var X:
(36)
X = DX =
17
Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja neutralna)
Ryzyko inwestycji …nansowej oznacza niepewność wystapienia
¾
oczekiwanej
sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono takz·e skale¾ zróz·nicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych.
Miarami ryzyka zwiazanego
¾
z inwestowaniem w papiery wartościowe sa¾
wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego.
17.1
Prognozowanie ekspertowe
W przypadku prognozowania ekspertowego wariancje¾ papieru wartościowego
de…niujemy nastepuj
¾ aco:
¾
V :=
n
X
pi (Ri
i=1
ER)2 ;
(37)
gdzie Ri – stopa zysku wystepuj
¾ aca
¾ w i-tej sytuacji, pi – prawdopodobieństwo
wystapienia
¾
i-tej sytuacji, ER – oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana
wzorem (32).
Im mniejsza wartość V , tym mniejsze ryzyko osiagni
¾ ecia
¾ oczekiwanej stopy
zysku. Najmniejsza¾ moz·liwa¾ do osiagni
¾ ecia
¾
wartościa¾ jest 0. Wystepuje
¾
ona
wtedy, gdy wszystkie moz·liwe scenariusze rozwoju charakteryzuja¾sie¾ jednakowa¾
stopa¾ zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta÷ym oprocentowaniu.
17.2
Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku
Zak÷
ada sie,
¾ z·e rozk÷ad przysz÷
ych stóp zysku bedzie
¾
sie¾ charakteryzowa÷takim
samym ryzykiem, jakie wystepowa÷
¾
o w dotychczasowych notowaniach. Wariancje¾ dotychczasowych stóp zysku oblicza sie¾ wed÷ug wzoru
n
V :=
1X
(Ri
n i=1
R)2 ;
(38)
gdzie n –liczba okresów, z których pochodza¾ dane, Ri –stopy zysku uzyskane
w kolejnych okresach, R –średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (31).
Poniewaz· nie sa¾określone prawdopodobieństwa wystapienia
¾
poszczególnych stóp
14
zysku Ri , przyjmuje sie,
¾ z·e sa¾ one jednakowe i wynosza¾ 1=n. Wówczas ER = R
zgodnie z wzorem (32), a zatem (38) jest szczególnym przypadkiem (37), gdzie
pi = 1=n dla i = 1; :::; m.
W przypadku ma÷
ej liczby danych (n
30) do prognozowania wariancji
stopy zysku stosuje sie¾ wyraz·enie
V^ :=
1
n
1
n
X
(Ri
R)2 :
(39)
i=1
Sens uz·ycia tego wzoru wynika z faktu, z·e V^ jest tzw. estymatorem nieobcia¾·zonym wariancji, co wyjaśnimy dok÷
adniej na wyk÷adzie z analizy portfelowej
(w semestrze letnim).
W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy
p zysku przyjmujemy
p
pierwiastek z odpowiedniego wyraz·enia, tzn. V lub V^ .
18
Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja negatywna)
Jeśli ryzyko rozwaz·ane jest w kategoriach zagroz·enia, to pod uwage¾ bierze sie¾
tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zysku. Wówczas zamiast wariancji rozwaz·a sie¾ semiwariancje¾ stopy zysku określona¾ nastepuj
¾ aco:
¾
SV :=
n
X
pi d2i ;
(40)
i=1
gdzie
di :=
Ri
0;
ER; gdy Ri
gdy Ri
ER < 0;
ER 0:
(41)
Odpowiednikiem odchylenia standardowego jest semiodchylenie standardowe stopy zysku:
p
s := SV :
(42)
19
Wp÷
yw zmiany kursu walutowego na stope¾
zysku
Ryzyko kursu walutowego wystepuje
¾
wtedy, gdy podmiot ma aktywa lub
zobowiazania
¾
wyraz·one w walucie obcej. Rozwaz·amy ogólna¾ sytuacje,
¾ gdy w
czasie moz·e sie¾ zmieniać zarówno wartość kapita÷
u (aktywów, zobowiazań)
¾
w
walucie obcej, jak i kurs tej waluty. Interesuje nas wp÷yw obu tych zmian
na wartość kapita÷
u wyraz·ona¾ w walucie krajowej. Dla uproszczenia bedziemy
¾
rozwaz·ać euro i z÷ote. Bedziemy
¾
korzystać z ogólnego wzoru (2) na kapita÷
końcowy przy inwestycji jednookresowej. Wprowadźmy nastepuj
¾ ace
¾ oznaczenia:
Kp;e –kapita÷poczatkowy
¾
wyraz·ony w euro,
15
Kp;z –kapita÷poczatkowy
¾
wyraz·ony w z÷otych,
Kk;e –kapita÷końcowy wyraz·ony w euro,
Kk;z –kapita÷końcowy wyraz·ony w z÷
otych,
cp –kurs euro (tj. wartość 1 euro wyraz·ona w z÷
otych) w momencie poczatko¾
wym,
ck –kurs euro w momencie końcowym,
Re –procentowa zmiana wartości kapita÷
u wyraz·onego w euro (stopa zysku),
Rz – procentowa zmiana wartości kapita÷
u wyraz·onego w z÷
otych (stopa
zysku),
Rc –procentowa zmiana kursu euro.
Stwierdzenie 3. Przy powy·zszych za÷o·zeniach stopa zysku w z÷otych wyra·za
sie¾ wzorem
Rz = R e + R c + Re R c :
(43)
Dowód.
lez·ności:
Z (2) i z de…nicji kursu walutowego wynikaja¾ nastepuj
¾ ace
¾ zaKk;z
Kk;e
Kp;z
Kk;z
=
=
=
=
Kp;z (1 + Rz );
Kp;e (1 + Re );
Kp;e cp ;
Kk;e ck :
(44)
(45)
(46)
(47)
Ponadto z de…nicji Rc mamy
ck = cp (1 + Rc ):
(48)
Stosujac
¾ kolejno wzory (44), (47), (45), (48) i (46), otrzymujemy
Kp;z (1 + Rz )
= Kk;z = Kk;e ck
= Kp;e (1 + Re )cp (1 + Rc ) = Kp;z (1 + Re )(1 + Rc ): (49)
Dzielac
¾ (49) stronami przez Kp;z , dostajemy
1 + Rz = (1 + Re )(1 + Rc ) = 1 + Re + Rc + Re Rc ;
skad
¾ wynika (43).
20
Niezalez·ność zmiennych losowych
Zmienne losowe X1 ; :::; Xn o wartościach w R, określone na zbiorze , gdzie
( ; F; P ) jest przestrzenia¾ probabilistyczna,
¾ nazywamy niezale·
znymi, jez·eli
dla dowolnych zbiorów B1 ; :::; Bn 2 B(R) zachodzi równość
P (X1 2 B1 ; :::; Xn 2 Bn ) = P (X1 2 B1 ) ::: P (Xn 2 Bn ):
(50)
W powyz·szym wzorze wyraz·enie po lewej jest skróconym zapisem wyraz·enia
P f! 2
: X1 (!) 2 B1 ^ ::: ^ Xn (!) 2 Bn g;
16
podobna uwaga dotyczy wyraz·eń po prawej stronie.
Twierdzenie 2. Je·zeli zmienne losowe X1 ; :::; Xn sa¾Q
niezale·zne i maja¾
n
warto´s´c oczekiwana,¾ to istnieje warto´s´c oczekiwana iloczynu i=1 Xi i zachodzi
równo´s´c
!
n
n
Y
Y
E
Xi =
EXi :
(51)
i=1
i=1
Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Y
przyjmujacych
¾
skończenie wiele wartości. Za÷
óz·my, z·e X( ) = fxi gi2I , Y ( ) =
fyj gj2J , gdzie I, J –skończone zbiory indeksów. Poniewaz· zbiory jednoelementowe fxi g i fyj g sa¾ borelowskie, wiec
¾ z (50) otrzymujemy
P (X = xi ; Y = yj ) = P (X = xi )P (Y = yj ) (i 2 I, j 2 J).
Stad
¾ na podstawie (26)
XX
E(XY ) =
xi yj P (X = xi ; Y = yj )
i2I j2J
=
XX
xi yj P (X = xi )P (Y = yj )
i2I j2J
=
X
i2I
1
!0
X
xi P (X = xi ) @
yj P (Y = yj )A = EX EY .
j2J
Twierdzenie 3. Przy za÷o·zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo´s´c
!
n
n
X
X
Var
Xi =
Var Xi :
i=1
(52)
i=1
Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystajac
¾ kolejno ze
wzorów (34), (29), (51) i ponownie z (34), otrzymujemy
h
i
2
2
Var(X + Y ) = E (X + Y )
[E (X + Y )]
= E X 2 + 2XY + Y 2
= E(X 2 ) + 2E (XY ) + E(Y 2 )
= E(X 2 )
21
(EX)2 + E(Y 2 )
2
[EX + EY ]
(EX)2
2EX EY
(EY )2
(EY )2 = Var X + Var Y .
Kowariancja i wspó÷
czynnik korelacji zmiennych losowych
Kowariancja¾ ca÷
kowalnych zmiennych losowych X i Y , spe÷niajacych
¾
warunek
E jXY j < 1, nazywamy liczbe¾
Cov(X; Y ) := E [(X
17
EX) (Y
EY )] :
(53)
Z powyz·szej de…nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy
Cov(X; Y )
= E [XY (EX)Y X(EY ) + EX EY ]
= E(XY ) 2EX EY + E(EX EY )
= E(XY ) EX EY;
(54)
gdzie ostatnia równość wynika z faktu, z·e wartość oczekiwana zmiennej losowej
o sta÷ej wartości jest równa tej sta÷
ej.
Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi;
w przeciwnym przypadku –skorelowanymi.
Korzystajac
¾ z nierówności Schwarza dla ca÷
ek, moz·na wykazać nastepuj
¾ ac
¾ a¾
nierówność:
p
Var X Var Y ;
(55)
jCov(X; Y )j
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1
zmienne losowe X i Y zwiazane
¾
sa¾ zalez·nościa¾ liniowa,
¾ tzn. istnieja¾ takie liczby
a, b 2 R, z·e
P fY = aX + bg = 1:
(56)
Wspó÷
czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbe¾
(X; Y ) :=
Cov(X; Y )
X
Y
=p
Cov(X; Y )
:
Var X Var Y
(57)
Z nierówności (55) wynika, z·e j (X; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zalez·ności miedzy
¾
zmiennymi X i Y .
Z Twierdzenia 2 i z równości (54) wynika, z·e jeśli zmienne losowe X i Y sa¾
niezalez·ne i maja¾ wartość oczekiwana,
¾ to sa¾ nieskorelowane.
Za÷
óz·my teraz, z·e zmienne losowe X i Y przyjmuja¾skończenie wiele wartości
i z·e dany jest rozk÷
ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych
(X; Y ), tzn. dane sa¾skończone ciagi
¾ liczbowe x1 ; :::; xn i y1 ; :::; yn oraz ciag
¾ liczb
dodatnich p1 ; :::; pn takie, z·e
n
X
pi = 1 oraz
P (X = xi ; Y = yi ) = pi , i = 1; :::; n:
(58)
i=1
Wówczas, korzystajac
¾ z wzoru (26) na wartość oczekiwana,
¾ moz·emy zapisać
wzór (53) w postaci
Cov(X; Y ) =
n
X
pi (xi
i=1
22
EX) (yi
EY ) :
(59)
Korelacja papierów wartościowych
Rozwaz·my teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y sa¾ odpowiednio
stopy zysku RA i RB akcji A i B. Niech A i B oznaczaja¾ odpowiednio
18
odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za÷
oz·enie
ich dodatniości jest na ogó÷spe÷
nione.
W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru
(59), otrzymujemy nastepuj
¾ ac
¾ a¾ de…nicje:
¾
Kowariancja¾ akcji (ogólniej: inwestycji …nansowych) A i B nazywamy
liczbe¾
n
X
Cov(RA ; RB ) :=
pi (RA;i ERA ) (RB;i ERB ) ;
(60)
i=1
gdzie:
RA;i –stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B),
pi –prawdopodobieństwo wystapienia
¾
i-tej sytuacji,
n –ilość moz·liwych sytuacji.
Wspó÷
czynnikiem korelacji akcji (ogólniej: inwestycji …nansowych)
A i B nazywamy liczbe¾
A;B
:
=
=
Cov(RA ; RB )
pPn
A B
P
n
i=1
i=1
pi (RA;i
ERA ) (RB;i ERB )
pPn
;
ERA )2
ERB )2
i=1 pi (RB;i
pi (RA;i
(61)
gdzie:
RA;i –stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B),
pi –prawdopodobieństwo wystapienia
¾
i-tej sytuacji,
n –ilość moz·liwych sytuacji.
Jeśli korelacje¾ określa sie¾ na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku
(RA;i ; RB;i ), i = 1; :::; n, to wzory określajace
¾ kowariancje¾ i wspó÷czynnik korelacji przyjmuja¾ postać
n
Cov(RA ; RB ) :=
1X
RA;i
n i=1
~A
R
RB;i
~B ;
R
(62)
~A, R
~ B –średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości RA;i , RB;i (i =
gdzie R
1; :::; n),
A;B
:
=
Cov(RA ; RB )
A B
=
qP
Pn
i=1
~ A RB;i R
~B
R
qP
:
n
~ A )2
~ B )2
R
(R
R
B;i
i=1
RA;i
n
i=1 (RA;i
(63)
W przypadku ma÷
ej liczby danych, wspó÷
czynnik 1=n wystepuj
¾ acy
¾ w (62) i (niejawnie) w (63) moz·e być zastapiony
¾
przez 1=(n 1), podobnie jak przy obliczaniu
wariancji akcji.
Mówimy, z·e akcje (inwestycje …nansowe) A i B sa¾
(a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0,
19
(b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0,
(c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0,
(d) doskonale (dok÷
adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1,
(e) doskonale (dok÷
adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B = 1.
Uwaga. Wspó÷czynnik korelacji jest miara¾ zalez·ności liniowej (por. wzór
(56)), tj. miara¾ skupiania sie¾ punktów (RA;i ; RB;i ) (w uk÷
adzie wspó÷rzednych
¾
na p÷
aszczyźnie) wokó÷linii prostej.
23
Wariancja sumy zmiennych losowych
Dotychczas podaliśmy wzór na wariancje¾ sumy zmiennych losowych jedynie w
przypadku zmiennych losowych niezalez·nych (wzór (52)). Obecnie podamy wzór
dla przypadku ogólnego.
Twierdzenie 4. Je·zeli
¾ to istPnzmienne losowe X1 ; :::; Xn maja¾ wariancje,
nieje te·z wariancja sumy
X
i
zachodzi
równo
´s´c
i
i=1
!
n
n
X
X
X
Var
Xi =
Var Xi + 2
Cov(Xi ; Xj ):
(64)
i=1
i=1
1 i<j n
Dowód. Korzystajac
¾ kolejno z (34), (29), ponownie z (34) oraz z (54),
otrzymujemy
2
!
!2 3
!2
n
n
n
X
X
X
Var
Xi = E 4
Xi 5
EXi
i=1
=
n
X
i=1
E(Xi2 )
=
n
X
i=1
i=1
(EXi )2 + 2
X
i=1
[E(Xi Xj )
1 i<j n
Var Xi + 2
X
EXi EXj ]
Cov(Xi ; Xj ).
1 i<j n
Wniosek. Je·zeli zmienne losowe X1 ; :::; Xn maja¾ wariancje¾ i sa¾ parami
nieskorelowane, to zachodzi równo´s´c (52).
24
Portfel wielu akcji
Oznaczmy:
m –liczba …rm, których akcje sa¾ w portfelu (ponumerowanych od 1 do m),
nj –ilość j-tych akcji znajdujacych
¾
sie¾ w portfelu.
Zak÷adamy, z·e nj (j = 1; :::; m) sa¾ liczbami nieujemnymi. Aby portfel by÷
niepusty, trzeba za÷
oz·yć, z·e nj > 0 dla pewnego j. Liczby nj wyznaczaja¾
sk÷
ad ilościowy portfela. Nas interesuje sk÷
ad procentowy (wartościowy)
portfela, tzn. jaki jest stosunek wartości j-tych akcji w portfelu do ÷acznej
¾
wartości wszystkich akcji znajdujacych
¾
sie¾ w tym portfelu.
20
W celu wyznaczenia sk÷adu procentowego oznaczmy:
pj –cena rynkowa j-tej akcji (pj > 0).
Wówczas udzia÷procentowy (w sensie wartości) j-tej akcji w portfelu określa
liczba
n j pj
uj := Pm
, j = 1; :::; m:
(65)
i=1 ni pi
Uwaga. ×atwo sprawdzić, z·e
uj
0; j = 1; :::; m;
m
X
uj = 1
(66)
j=1
(tzw. równanie bud·
zetowe).
Zbiór
8
<
Pm := u = (u1 ; :::; um ) 2 Rm : ui
:
0, i = 1; :::; m,
m
X
j=1
9
=
uj = 1
;
(67)
nazywamy zbiorem portfeli m-sk÷
adnikowych. Wspó÷
rzedna
¾
uj wektora
u oznacza udzia÷j-tych papierów wartościowych w portfelu u. Zbiór Pm jest
sympleksem m-wymiarowym o wierzcho÷
kach (0; ::; 0; 1i ; 0; :::; 0), i = 1; :::; m,
gdzie 1i oznacza jedynk¾
e na i-tym miejscu.
Dla dowolnego portfela u 2 Pm przyjmujemy nastepuj
¾ ace
¾ oznaczenia:
Rj –stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartościowe,
R = (R1 ; :::; Rm ) –wektor (losowy) stóp zysku,
= ( 1 ; :::; m ) – wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(Ri )
(i = 1; :::; m),
Kp –kapita÷poczatkowy
¾
inwestora,
Kp;j := uj Kp –cześć
¾ kapita÷u poczatkowego
¾
zainwestowana w j-te papiery
wartościowe,
Kk –kapita÷końcowy inwestora,
Kk;j –kapita÷końcowy w j-tych papierach wartościowych.
Ze wzoru (2) otrzymujemy Kk;j = Kp;j (1 + Rj ), j = 1; :::; m.
Stop e¾ zysku portfela u de…niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienna¾
losowa¾ o wartościach rzeczywistych:
R(u) :=
Kk
Kp
Kp
:
(68)
W dalszym ciagu
¾ symbolem hx; yi bedziemy
¾
oznaczać iloczyn skalarny w przestrzeni
Rm :
m
X
hx; yi :=
xi yi dla x = (x1 ; :::; xm ), y = (y1 ; :::; ym ):
(69)
i=1
Stwierdzenie 4. Zachodzi równo´s´c
R(u) = hu; Ri :
21
(70)
Dowód.
R(u)
=
=
=
Kk
Kp
Kp
Pm
j=1
Kp
j=1
Kk;j
Pm
Kp;j (1 + Rj )
Pm
j=1 Kp;j
Pm
Kp
=
Pm
j=1
P
m
u j Rj
j=1
uj
=
m
X
j=1
Pm
j=1
Kp;j
j=1 Kp;j
Pm
j=1 Kp;j
Pm
j=1
= Pm
Kp;j Rj
j=1
Kp;j
uj Rj = hu; Ri .
Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem
0
1
m
m
X
X
ER(u) = E @
u j Rj A =
uj j = hu; i :
j=1
25
(71)
j=1
Macierz kowariancji wektora losowego
Niech X : ! Rm bedzie
¾
wektorem losowym. Jeśli istnieja¾ wariancje Var Xj ,
j = 1; :::; m, to macierz
C := [cij ]m
i;j=1 , gdzie cij = Cov(Xi ; Xj );
(72)
nazywamy macierza¾ kowariancji wektora losowego X = (X1 ; :::; Xm ). Istnienie kowariancji Cov(Xi ; Xj ) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyjetego
¾
za÷
oz·enia i ze wzoru (55).
Stwierdzenie 5. Macierz kowariancji ma nastepuj
¾ ace
¾ w÷asno´sci:
(a) jest symetryczna, tzn. cij = cji dla dowolnej pary (i; j),
(b) jest nieujemnie określona, tzn.
uCuT =
m
X
0 dla ka·zdego u 2 Rm :
ui uj cij
i;j=1
Dowód. (a) wynika ze wzoru (53).
Pm
(b) Rozwaz·myPzmienna¾ losowa¾ Y :=
i=1 ui Xi . Jeśli EXi =
m
1; :::; m), to EY = i=1 ui i oraz
2
!2 3
m
X
5
ui (Xi
0 Var Y = E (Y EY )2 = E 4
i)
(73)
i
(i =
i=1
2
=E4
m
X
ui uj (Xi
i )(Xj
i;j=1
=
m
X
3
5
j) =
m
X
i;j=1
ui uj E (Xi
ui uj Cov(Xi ; Xj ) = uCuT .
i;j=1
22
i )(Xj
j)
(74)
Stosujac
¾ cześć
¾ (b) powyz·szego dowodu do zmiennej losowej R(u) określonej
wzorem (70) (gdzie u 2 Rm
+ ), otrzymujemy
Wniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 Pm jest dana wzorem
Var R(u) = uCuT ;
gdzie C jest macierza¾ kowariancji wektora stóp zysku R = (R1 ; :::; Rm ).
Ryzyko portfela u jest określone jako odchylenie standardowe
p
(u) = Var R(u):
(75)
(76)
Mówimy, z·e macierz C jest dodatnio określona, jez·eli
uCuT > 0 dla kaz·dego u 2 Rm nf0g:
(77)
Uwaga. Czesto
¾
w literaturze macierz nieujemnie określona¾ nazywa sie¾
macierza¾dodatnio okre´slona.¾ Wówczas macierz spe÷
niajac
¾ a¾warunek (77) nazywa
sie¾ macierza¾´sci´sle dodatnio okre´slona.¾
Stwierdzenie 6. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodatnio okre´slona wtedy i tylko wtedy, gdy
Pmistnieja¾ takie liczby u1 ; :::; um nie wszystkie równe zeru, ·ze zmienna losowa i=1 ui Xi jest sta÷a z prawdopodobie´nstwem
jeden.
Dowód. Zaprzeczenie warunku (77) oznacza, z·e istnieje taki wektor u 6= 0,
z·e uCuT = 0. Na mocy (74) jest to równowaz·ne warunkowi
2
!2 3
m
m
X
X
E4
ui Xi
ui i 5 = 0:
(78)
i=1
i=1
Wiadomo, z·e wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru
wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa
Pmjest równa zeru z prawdopodobieństwem 1. Zatem warunek
(78)
oznacza,
z
e
·
i=1 ui Xi jest z prawdopodobieństwem
Pm
1 równa sta÷
ej i=1 ui i .
Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okre´slona wtedy i tylko
wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych Xi zale·zy (z prawdopodobie´nstwem jeden) w sposób liniowy od pozosta÷ych zmiennych losowych.
Dowód.PNa mocy Stwierdzenia 6 macierz C nie jest ściśle dodatnio określona
m
, 9u 6= 0, i=1 ui Xi = z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewna¾ sta÷a.
¾
Wybierajac
¾ spośród liczb ui jedna¾ róz·na¾ od zera (oznaczmy ja¾ us ), otrzymamy
równowaz·ny warunek (takz·e z prawdopodobieństwem 1)
0
1
1 @ X
Xs =
ui Xi + A .
us
i6=s
Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela
u 2 Pm sytuacja opisana w powyz·szym wniosku oznacza, z·e jeden z papierów
wartościowych znajdujacych
¾
sie¾ w portfelu moz·na usunać,
¾ zastepuj
¾ ac
¾ go kombinacja¾ pozosta÷ych papierów wartościowych.
23
26
Inny wzór na wariancje¾ portfela
p
Rozwaz·amy portfel m papierów wartościowych. Niech i := Var Ri oznacza
odchylenie standardowe i-tego papieru (i = 1; :::; m). Dotychczas wspó÷czynnik
korelacji i-tego i j-tego papieru by÷określony tylko wtedy, gdy oba odchylenia
standardowe by÷
y róz·ne od zera. Obecnie przyjmujemy
cij
ij
:=
i
j
0
gdy i 6= 0 6= j ;
w przeciwnym przypadku.
(79)
gdzie cij = Cov(Ri ; Rj ).
Stwierdzenie 7. Dla dowolnego portfela u 2 Pm
Var R(u) =
m
X
2 2
i ui
+2
i=1
m
X1
m
X
ij i j ui uj :
(80)
i=1 j=i+1
Dowód. Korzystajac
¾ z wzorów (75), (73) oraz z symetrii macierzy kowariancji, otrzymujemy
Var R(u) =
m
X
i;j=1
ui uj cij =
m
X
cii u2i + 2
i=1
m
X1
m
X
ui uj cij :
(81)
i=1 j=i+1
Dla i 6= j mamy ma podstawie (79) i (55) cij = ij i j , natomiast dla i = j
mamy
i
h
2
cii = Cov(Ri ; Ri ) = E (Ri
)
= Var Ri = 2i :
i
Podstawiajac
¾ te równości do (81), otrzymujemy (80).
27
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta¾ zmiennej losowej X :
! R nazywamy funkcje¾ F : R !
[0; 1] określona¾ wzorem
F (t) := P (X t):
(82)
Stwierdzenie 8. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nastepuj
¾ ace
¾ w÷asno´sci:
(a) F jest niemalejaca.
¾
(b) F jest prawostronnie ciag÷
¾ a.
(c) limt! 1 F (t) = 0, limt!+1 F (t) = 1.
Stwierdzenie 9. Je·zeli funkcja F : R ! [0; 1] spe÷nia warunki (a)–(c)
Stwierdzenia 8, to jest dystrybuanta¾ pewnej zmiennej losowej; jej rozk÷ad jest
wyznaczony jednoznacznie.
Stwierdzenie 10. Je·zeli F jest dystrybuanta¾ zmiennej losowej X, to dla
ka·zdego t 2 R,
P (X < t) = F (t ) := lim F (s):
(83)
s!t
24
Dowód. Istnienie granicy lewostronnej F (t ) wynika z monotoniczności
funkcji F . Korzystajac
¾ ze znanej w÷asności, z·e prawdopodobieństwo sumy
wstepuj
¾ acego
¾
ciagu
¾ zdarzeń jest równe granicy ich prawdopodobieństw, otrzymujemy
!
1
[
1
1
X t
= lim P X t
P (X < t) = P
n!1
n
n
n=1
= lim F
n!1
1
n
t
= F (t ):
(84)
Niech X = (X1 ; :::; Xn ) : ! Rn bedzie
¾
zmienna¾losowa¾n-wymiarowa¾(wektorem losowym). Rozk÷
ad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zde…niowany ogólnie wzorem (25). Rozk÷ad ten nazywamy rozk÷
adem ÷
acznym
¾
wektora losowego X. Gdy znamy rozk÷
ad ÷
aczny,
¾
to znamy takz·e rozk÷
ad kaz·dej
wspó÷
rzednej:
¾
P (Xj 2 B) = P (X1 2 R; :::; Xj
1
2 R; Xj 2 B; Xj+1 2 R; :::; Xn 2 R):
(85)
Rozk÷
ady (85) nazywamy rozk÷
adami brzegowymi wektora losowego X.
Dystrybuanta¾ wektora losowego X nazywamy funkcje¾ F : Rn ! [0; 1]
określona¾ wzorem
F (t1 ; :::; tn ) := P (X1
t1 ; :::; Xn
tn ):
(86)
Dystrybuantami brzegowymi F1 ; :::; Fn nazywamy dystrybuanty odpowiednio zmiennych losowych X1 ; :::; Xn .
28
Transformata dystrybuantowa i jej w÷
asności
Niech ( ; F; P ) bedzie
¾
przestrzenia¾ probabilistyczna,
¾ X :
! R – zmienna¾
losowa¾ o dystrybuancie F , zaś V :
! (0; 1) – zmienna¾ losowa¾ o rozk÷
adzie
jednostajnym (V s U (0; 1)), niezalez·na¾ od X. De…niujemy zmody…kowana¾
dystrybuante¾ F^ : R2 ! R wzorem
F^ (x; ) := P (X < x) + P (X = x):
De…niujemy takz·e (uogólniona)
¾ transformate¾dystrybuantowa¾U :
nowa¾ zmienna¾ losowa,
¾ nastepuj
¾ aco:
¾
U := F^ (X; V ):
(87)
! R, bed
¾ ac
¾ a¾
(88)
Moz·na wykazać, z·e jeśli dystrybuanta F jest ciag÷
¾ a, to F^ (x; )
F (x) oraz
U = F (X) s U (0; 1). Ta ostatnia w÷
asność zachodzi tez· w ogólnym przypadku
dla zmiennej losowej U określonej wzorem (88).
Stwierdzenie 11.
U = F (X ) + V (F (X)
25
F (X )):
(89)
Dowód. Korzystajac
¾ z (88) i (87), a nastepnie
¾
z (83), otrzymujemy dla
dowolnego ! 2 ,
U (!)
= F^ (X(!); V (!)) = P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!))
= F (X(!) ) + V (!)[P (X X(!)) P (X < X(!))]
= F (X(!) ) + V (!)[F (X(!)) F (X(!) )]:
Funkcje¾ odwrotna¾ do dystrybuanty F de…niujemy nastepuj
¾ aco:
¾
F
1
(u) := inf fx 2 R : F (x)
ug , u 2 (0; 1).
(90)
Dla
2 (0; 1) niech q (X) oznacza dolny -kwantyl rozk÷adu zmiennej
losowej X, tzn.
q (X) := sup fx : P (X x) < g :
(91)
Stwierdzenie 12. Jez·eli P (X = q (X)) = 0, to P (X
Dowód. Z za÷
oz·enia i z (83) mamy
0
= P (X = q (X)) = P (X q (X))
= F (q (X)) F (q (X) );
q (X)) = .
P (X < q (X))
(92)
zatem dystrybuanta F jest lewostronnie ciag÷
¾ a w punkcie q (X). Z wzorów
(82) i (91) wynika, z·e
q (X) = sup fx : F (x) < g :
(93)
Stad
¾ dla dowolnego t > q (X) mamy F (t)
, a zatem, na podstawie Stwierdzenia
8(b),
F (q (X)) = F (q (X)+)
:
(94)
Ponadto z de…nicji kresu górnego i ze Stwierdzenia 8(a) wynika, z·e F (s) <
dla dowolnego s < q (X). Stad
¾ i z lewostronnej ciag÷
¾ ości F w punkcie q (X)
wynika, z·e F (q (X))
, co w po÷aczeniu
¾
z (94) daje teze¾ Stwierdzenia 12.
Twierdzenie 5. Niech U bedzie
¾
transformata¾ dystrybuantowa¾ okre´slona¾
wzorem (88). Wówczas
(a) U s U (0; 1),
(b) X = F 1 (U ) z prawdopodobie´nstwem 1.
Dowód (a). Wykaz·emy, z·e F^ (X; V )
wtedy i tylko wtedy gdy
(X; V ) 2 f(x; ) : P (X < x) + P (X = x)
g:
Istotnie, dla dowolnego ! 2 , nierówność F^ (X(!); V (!))
na mocy (87) nierówności
P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!))
(95)
jest równowaz·na
;
(96)
co oznacza, z·e para (X(!); V (!)) nalez·y do zbioru po prawej stronie (95).
Rozwaz·my teraz dwa przypadki:
(a.1) := P (X = q (X)) > 0.
26
Oznaczmy q := P (X < q (X)). Zde…niujmy nastepuj
¾ ace
¾ zbiory:
n
o
A := F^ (X; V )
= f! 2
: P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!))
g;
B1 := X < q (X) ;
B2 := X = q (X), q + V
(97)
(98)
;
(99)
B3 := X > q (X), F (X) = F (q (X)) ;
(100)
B4 := X > q (X), F (X) > F (q (X)) :
(101)
Poniz·ej wykaz·emy, z·e
P (A) = P (B1 ) + P (B2 ):
(102)
Z równości (102), z de…nicji zbiorów B1 i B2 , z niezalez·ności zmiennych
losowych X i V oraz z jednostajności rozk÷adu V wynika, z·e
P (U
) = P (A) = q + P
q
V
=q+
q
= ;
(103)
co dowodzi, z·e zmienna losowa U ma rozk÷
ad jednostajny na (0; 1).
Równość (102) wynika z roz÷aczności
¾
zbiorów Bi oraz z nastepuj
¾ acych
¾
trzech
warunków, które po kolei udowodnimy:
A
B1 [ B2 [ B3 ;
P (B3 ) = 0;
B1 [ B2 A:
(104)
(105)
(106)
Dowód (104). Niech ! 2 A: Jeśli X(!) < q (X), to ! 2 B1 . Jeśli X(!) =
q (X), to z (97) otrzymujemy q + V (!)
, a wiec
¾ ! 2 B2 . Za÷
óz·my teraz,
z·e X(!) > q (X). Poniewaz· F jest niemalejaca,
¾ wiec
¾ F (X(!))
F (q (X)),
zatem ! 2 B3 [ B4 . Aby zakończyć dowód (104), nalez·y wykazać, z·e ! 2
= B4 .
Przypuśćmy przeciwnie, z·e ! 2 A \ B4 , i rozwaz·my dwa przypadki:
(a.1.1) P (X = X(!)) > 0.
Poniewaz· X(!) > q (X), wiec
¾ fX < X(!)g
fX
q (X)g. Stad
¾ i z
prawostronnej ciag÷
¾ ości F otrzymujemy
P (X < X(!))
P (X
q (X)) = F (q (X)) = F (q (X)+)
;
(107)
gdzie ostatnia nierówność wynika z (93) (bo F (t)
dla kaz·dego t > q (X)).
Natomiast z za÷
oz·enia (a.1.1) i z warunków V (!) > 0 oraz ! 2 A wynikaja¾
nierówności
P (X < X(!)) < P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!))
Warunki (107) i (108) sa¾ sprzeczne.
(a.1.2) P (X = X(!)) = 0.
27
:
(108)
Podobnie jak w poprzednim przypadku, mamy F (q (X))
. Stad,
¾ z
warunku ! 2 A \ B4 i z za÷
oz·enia (a.1.2) otrzymujemy sprzeczność:
F (q (X)) < F (X(!)) = P (X X(!)) = P (X < X(!))
= P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!))
:
Dowód (105). Oznaczmy
:= supft : F (t) = F (q (X))g. Wówczas
dla kaz·dego t 2 (q (X); ) (o ile ten przedzia÷jest niepusty) mamy F (t) =
F (q (X)), a zatem
P (X 2 (q (X); t]) = F (t)
F (q (X)) = 0:
Stad
¾ dla dowolnego ciagu
¾ rosnacego
¾
tn !
P X 2 (q (X); ) = P
1
[
n=1
!
X 2 (q (X); tn ]
= lim P (X 2 (q (X); tn ]) = 0:
n!1
(109)
W przypadku, gdy F ( ) > F (q (X)), mamy na podstawie (109)
P (B3 ) = P X > q (X), F (X) = F (q (X)) = P X 2 (q (X); ) = 0;
natomiast w przypadku, gdy F ( ) = F (q (X)), otrzymujemy z (109), (82) i
(83)
P (B3 )
= P X > q (X), F (X) = F (q (X)) = P X 2 (q (X); ]
= P X 2 (q (X); ) + P (X = ) = F ( )
F(
) = 0:
Dowód (106). Niech ! 2 B1 , wówczas X(!) < q (X) = sup ft : F (t) < g.
Stad
¾ i z faktu, z·e F jest niemalejaca,
¾ wynika, z·e F (X(!)) < . Zatem
P (X
< X(!)) + V (!)P (X = X(!)) P (X < X(!)) + P (X = X(!))
= P (X X(!)) = F (X(!)) < ;
co implikuje warunek ! 2 A.
Niech teraz ! 2 B2 , czyli X(!) = q (X) i q + V (!)
. Podstawiajac
¾ do
ostatniej nierówności zde…niowane wcześniej wartości q i , otrzymujemy
P (X < q (X)) + V (!)P (X = q (X))
:
Stad,
¾ uwzgledniaj
¾
ac
¾ równość X(!) = q (X), otrzymujemy
P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!))
;
co oznacza, z·e ! 2 A.
(a.2) = 0. Wówczas P (B2 )
P (X = q (X)) = 0. Postepuj
¾ ac
¾ analogicznie jak w przypadku (a.1), moz·emy udowodnić równość P (A) = P (B1 ), co w
po÷
aczeniu
¾
ze Stwierdzeniem 12 daje
P (U
) = P (A) = P (B1 ) = P (X < q (X)) = P (X
28
q (X)) = :
Dowód (b). Wykaz·emy najpierw, z·e
F (X )
U
F (X):
(110)
Istotnie, poniewaz· V przyjmuje wartości z przedzia÷
u (0; 1) oraz F (X) F (X )
0 (bo F jest niemalejaca),
¾
wiec
¾ zachodza¾ nierówności
F (X )
F (X ) + V (F (X)
F (X ))
F (X ) + (F (X)
F (X )) = F (X):
Uwzgledniaj
¾
ac
¾ (89), otrzymujemy stad
¾ (110).
Wykaz·emy teraz, z·e
F
1
(u) = x;
8u 2 (F (x ); F (x)]:
(111)
Przypuśćmy przeciwnie, z·e F 1 (u) 6= x. Jeśli F 1 (u) < x, to z (90) wynika,
z·e F (s) u dla pewnego s > x. Stad,
¾ poniewaz· F jest niemalejaca,
¾ otrzymujemy F (x ) u, co zaprzecza warunkowi u 2 (F (x ); F (x)]. Jeśli natomiast
F 1 (u) > x, to dla kaz·dego y 2 (x; F 1 (u)) mamy na podstawie (90) F (y) < u,
zatem F (x) = F (x+) < u (z prawostronnej ciag÷
¾ ości i monotoniczności F ), co
jest sprzeczne z warunkiem u 2 (F (x ); F (x)].
Niech D bedzie
¾
suma¾ wszystkich przedzia÷
ów otwartych zawartych w R, na
których dystrybuanta F jest sta÷
a. Z prawostronnej ciag÷
¾ ości F wynika, z·e kaz·dy
taki przedzia÷ma jedna¾ z nastepuj
¾ acych
¾
postaci:
( 1; a); (a; b); (a; +1);
gdzie a; b 2 R; a < b. Dla tych przedzia÷
ów mamy odpowiednio, uwzgledniaj
¾
ac
¾
Stwierdzenia 8(c) i 10, a takz·e fakt, z·e F jest sta÷a na danym przedziale,
P (X 2 ( 1; a)) = P (X < a) = F (a ) = 0;
P (X 2 (a; b)) = P (X < b) P (X < a) = F (b ) F (a ) = 0;
P (X 2 (a; +1)) = 1 P (X a) = 1 F (a) = 1 F (a+) = 1 1 = 0:
Uwzgledniaj
¾
ac
¾ powyz·sze i fakt, z·e takich przedzia÷
ów moz·e być tylko przeliczalna
ilość, otrzymujemy
P (X 2 D) = 0:
(112)
Wykaz·emy teraz równowaz·ność
[F (X ) = F (X)] , [U = F (X)]:
(113)
Istotnie, jeśli F (X ) = F (X), to na mocy (89) U = F (X ) = F (X). Jeśli
natomiast U = F (X), to podstawiajac
¾ te¾ równość do (89), otrzymujemy
F (X) = F (X ) + V (F (X)
F (X ));
a stad
¾
(V
1)(F (X)
29
F (X )) = 0:
Poniewaz· V przyjmuje wartości z przedzia÷u (0; 1), wiec
¾ powyz·sza równość daje
F (X) = F (X ).
Aby udowodnić teze¾ punktu (b) nalez·y sprawdzić, z·e
1
P (X = F
(U )) = 1:
(114)
Zde…niujmy nastepuj
¾ ace
¾ prawdopodobieństwa:
p1
:
p2
:
p3
:
p4
:
= P F (X ) = F (X); X = F
1
(U ) ;
(115)
= P F (X ) < F (X); X = F
1
(U ) ;
(116)
= P F (X ) = F (X); X < F
1
(U ) ;
(117)
= P F (X ) = F (X); X > F
1
(U ) :
(118)
Z warunku (113) wynika, z·e
1
p3 = P U = F (X); X < F
(U )
P (X < F
1
(F (X))) = 0;
(119)
gdzie nierówność wynika z zawierania sie¾ odpowiednich zdarzeń, a ostatnia
równość – stad,
¾ z·e zdarzenie fX < F 1 (F (X))g jest niemoz·liwe: przypuśćmy,
z·e X(!) < F 1 (F (X(!))) dla pewnego ! 2 , wówczas
X(!) < inf ft 2 R : F (t)
F (X(!))g ;
czyli X(!) nie nalez·y do zbioru, którego kres dolny jest rozwaz·any, zatem
X(!) < X(!) –sprzeczność.
Podobnie jak w przypadku (119) dowodzimy, z·e
p4 = P U = F (X); X > F
1
(U )
P (X > F
1
(F (X))):
(120)
Wykaz·emy teraz, z·e
fX > F
1
(F (X))g
fX 2 Dg:
(121)
Istotnie, przypuśćmy, z·e
X(!) > F
1
(F (X(!))) = l := inf ft 2 R : F (t)
F (X(!))g :
(122)
Rozwaz·my najpierw przypadek, gdy l = 1. Poniewaz· limt! 1 F (t) = 0,
wiec
¾ ten przypadek moz·e mieć miejsce tylko wtedy, gdy F (X(!)) = 0. Zatem
X(!) nalez·y do przedzia÷u sta÷
ości F postaci ( 1; a), który zawiera sie¾ w D.
Przypuśćmy teraz, z·e l 2 R. Wówczas z de…nicji l i z prawostronnej ciag÷
¾ ości
dystrybuanty wynika, z·e F (l) F (X(!)). Natomiast z pierwszej nierówności w
(122) i z monotoniczności F wynika, z·e F (l) F (X(!)). Wykazaliśmy zatem
równość F (l) = F (X(!)), która oznacza, z·e X(!) nalez·y do przedzia÷u sta÷ości
F postaci (a; b) lub (a; +1), który zawiera sie¾ w D. To kończy dowód inkluzji
(121). Z warunków (120), (121) i (112) wynika, z·e
p4
P (X 2 D) = 0:
30
(123)
Zauwaz·my teraz, z·e jeśli F (X ) < F (X), to na mocy (89) U 2 (F (X ); F (X)),
a stad
¾ na mocy (111) X = F 1 (U ). Zatem z zawierania sie¾ odpowiednich
zdarzeń wynika nierówność
p2
P (F (X ) < F (X)) :
(124)
Uwzgledniaj
¾
ac
¾ warunki (115), (116), (119), (123)
P X=F
1
(U )
= p1 + p2
P (F (X ) = F (X)) p3 p4 + P (F (X ) < F (X))
= P (F (X ) = F (X)) + P (F (X ) < F (X)) = 1;
co kończy dowód warunku (114).
29
Kopu÷
y i twierdzenie Sklara
Funkcje¾ C : [0; 1]n ! [0; 1] nazywamy kopu÷
a¾ (lub funkcja¾ po÷
aczenia),
¾
jez·eli
jest ona dystrybuanta¾ pewnego wektora losowego U = (U1 ; :::; Un ) : ! [0; 1]n
takiego, ze zmienne losowe Ui (i = 1; :::; n) maja¾ rozk÷
ad jednostajny. Kopu÷a
spe÷
nia zatem warunek
C(u1 ; :::; un ) = P (U1
u1 ; :::; Un
un ):
(125)
Moz·na wykazać, z·e funkcja C : [0; 1]n ! [0; 1] jest kopu÷a¾ wtedy i tylko
wtedy, gdy posiada nastepuj
¾ ace
¾ w÷
asności:
1) C(u1 ; :::; un ) jest niemalejaca
¾ wzgledem
¾
kaz·dej zmiennej ui ;
2) C(1; :::; 1; ui ; 1; :::; 1) = ui dla wszystkich i 2 f1; :::; ng, ui 2 [0; 1];
3) Dla wszystkich (a1 ; :::; an ); (b1 ; :::; bn ) 2 [0; 1]n takich, z·e ai
bi (i =
1; :::; n), zachodzi nierówność
2
X
i1 =1
2
X
( 1)i1 +:::+in C(u1;i1 ; :::; un;in )
0;
(126)
in =1
gdzie uj;1 = aj , uj;2 = bj dla j 2 f1; :::; ng.
Warunek (126) dla n = 2 moz·na zapisać w postaci
C(b1 ; b2 )
C(b1 ; a2 )
C(a1 ; b2 ) + C(a1 ; a2 )
0:
(127)
Warunek ten oznacza, z·e prawdopodobieństwo P (Ui 2 [ai ; bi ], i = 1; 2) jest
zawsze nieujemne, tzn. kopu÷a nie moz·e przypisywać ujemnej wartości prawdopodobieństwa zdarzeniu, z·e wartości wektora losowego U lez·a¾ w danym prostokacie
¾ o bokach równoleg÷
ych do osi wspó÷
rzednych.
¾
Istotnie, mamy
P (a1 U1 b1 ; a2 U2 b2 )
= P (U1 b1 ; U2 b2 ) P (U1 b1 ; U2 a2 )
P (U1 a1 ; U2 b2 ) + P (U1 a1 ; U2 a2 )
= C(b1 ; b2 ) C(b1 ; a2 ) C(a1 ; b2 ) + C(a1 ; a2 );
31
przy czym z ciag÷
¾ ości dystrybuanty rozk÷
adu jednostajnego wynika, z·e moz·emy
wszedzie
¾
pisać nierówności “ ”.
Twierdzenie 6 (Sklara). Niech F : Rn ! [0; 1] bedzie
¾
dystrybuanta¾ nwymiarowa¾ o dystrybuantach brzegowych F1 ; :::; Fn . Wówczas istnieje kopu÷a
C : [0; 1]n ! [0; 1] taka, ·ze
8x = (x1 ; :::; xn ) 2 Rn :
F (x) = C(F1 (x1 ); :::; Fn (xn ));
(128)
Dowód. Niech X = (X1 ; :::; Xn ) : ! Rn bedzie
¾
wektorem losowym o dystrybuancie F , zaś V : ! (0; 1) – zmienna¾ losowa¾ o rozk÷adzie jednostajnym
(V s U (0; 1)), niezalez·na¾ od X. Oznaczmy przez Ui := F^i (Xi ; V ), i = 1; :::; n,
transformaty dystrybuantowe określone dla poszczególnych wspó÷
rzednych
¾
wektora X (por. wzory (87) i (88)). Na mocy Twierdzenia 5 mamy Ui s U (0; 1)
oraz Xi = Fi 1 (Ui ) z prawdopodobieństwem 1, dla kaz·dego i 2 f1; :::; ng. Stad
¾
F (x) = P (X
x) = P (Fi 1 (Ui )
xi ; i = 1; :::; n):
(129)
Fi (xi ); i = 1; :::; n):
(130)
Wykaz·emy teraz, z·e
P (Fi 1 (Ui )
xi ; i = 1; :::; n) = P (Ui
Istotnie, dla ustalonych i 2 f1; :::; ng oraz ! 2
Stad
¾ i z de…nicji Fi 1 (por. wzór (90))
inf ft 2 R : Fi (t)
za÷óz·my, z·e Fi 1 (Ui (!))
Ui (!)g
xi :
xi .
(131)
Z warunku (131) wynika, z·e dla kaz·dego y > xi istnieje takie z 2 [xi ; y), z·e
Fi (z) Ui (!). Stad
¾ i z prawostronnej ciag÷
¾ ości dystrybuanty otrzymujemy
Fi (xi ) = Fi (xi +)
Ui (!):
Z drugiej strony, jeśli Ui (!)
Fi (xi ), to xi jest elementem zbioru, którego
kres dolny jest rozwaz·any w (131). Zatem zachodzi nierówność (131), czyli
Fi 1 (Ui (!)) xi , co kończy dowód równości (130).
Oznaczmy przez C dystrybuante¾ wektora losowego U = (U1 ; :::; Un ). Podstawiajac
¾ ui = Fi (xi ) do (125), otrzymujemy
C(F1 (x1 ); :::; Fn (xn )) = P (Ui
Fi (xi ); i = 1; :::; n):
(132)
Z równości (129), (130) i (132) wynika (128).
30
Ryzyko kredytowe
Ryzyko kredytowe bedziemy
¾
rozpatrywać w ramach koncepcji negatywnej, tzn.
jako ryzyko niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorce¾ (osobe¾ lub
instytucje).
¾ Dla banku udzielajacego
¾
wielu kredytów istotna jest takz·e ocena
ryzyka jednoczesnego wystapienia
¾
wielu przypadków niewyp÷acalności klientów
oraz badanie zalez·ności miedzy
¾
tymi zdarzeniami losowymi.
32
30.1
Przypadek pojedynczego kredytobiorcy
Podstawowa¾ zmienna¾ losowa,
¾ która¾ tutaj rozwaz·amy, jest strata, oznaczana
przez L (od ang. loss). Jest ona dana wzorem
L := EAD SEV Y;
(133)
gdzie
EAD (exposure at default) –maksymalna wartość, jaka moz·e być utracona
w przypadku niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorce.
¾ Jest to
wartość ustalona, a wiec
¾ nie jest zmienna¾ losowa.
¾
SEV (severity) – zmienna losowa o wartościach w przedziale [0; 1]; podaje
ona, jaki procent wartości EAD jest faktycznie tracony przy zajściu zdarzenia
niedotrzymania warunków;
Y –zmienna losowa o wartościach w zbiorze f0; 1g; przyjmuje wartość 0, gdy
kredytobiorca dotrzyma warunków, a 1 w przeciwnym przypadku. Zmienna¾ Y
nazywamy wskaźnikiem niedotrzymania warunków.
Ponadto de…niujemy:
LGD (loss given default) –strata (jako procent wartości EAD) w przypadku
niedotrzymania warunków. Jest to parametr modelu, który zwykle wyznacza
sie¾ z wzoru
LGD = E(SEV ):
(134)
P D (probability of default) –prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków.
Wówczas wartość oczekiwana wskaźnika niedotrzymania warunków wyraz·a
sie¾ wzorem
EY = 1 P D + 0 (1 P D) = P D:
(135)
Za÷
óz·my, z·e bank udzieli÷kredytu w wysokości K jednostek pieniedzy
¾
na okres
1 roku, a stopa oprocentowania tego kredytu wynosi R. W przypadku dotrzymania warunków umowy bank otrzyma po roku kwote¾
EAD = K(1 + R):
(136)
Jest to jednocześnie maksymalna kwota, jaka¾ bank moz·e stracić w przypadku
niedotrzymania warunków. W praktyce w wiekszości
¾
przypadków bankowi
udaje sie¾ odzyskać cześć
¾ tej kwoty. Wysokość tej odzyskanej kwoty przyjmujemy jako EAD(1 LGD). Wartość oczekiwana kwoty uzyskanej przez bank
po roku wynosi zatem
K(1 + R)(1 P D) + K(1 + R)(1 LGD)P D
= K(1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D]:
(137)
Przyjmuje sie,
¾ z·e wartość ta powinna być równa kwocie kredytu wolnej od
ryzyka, tj. obliczonej dla tzw. stopy procentowej wolnej od ryzyka (risk-free
rate), oznaczanej Rf :
K(1 + R)[(1
P D) + (1
LGD)P D] = K(1 + Rf ):
33
(138)
Z równości (138) moz·na otrzymać dwa inne wzory:
1) Wzór na implikowane prawdopodobieństwo niedotrzymania (implied default probability) –jest to prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków
umowy wynikajace
¾ z przyjetego
¾
modelu:
PD =
1+Rf
1+R
1
LGD
:
(139)
2) Wzór na spread kredytowy (credit spread ), czyli róz·nice¾ miedzy
¾
stopa¾
procentowa¾ uwzgledniaj
¾
ac
¾ a¾ ryzyko a stopa¾ wolna¾ od ryzyka:
R
Rf = (1 + Rf )
LGD P D
:
1 LGD P D
(140)
Oczekiwana¾ strata¾ (expected loss) nazywamy wartość oczekiwana¾ straty
(133). Zak÷
adajac
¾ niezalez·ność zmiennych losowych SEV i Y , otrzymujemy na
mocy Twierdzenia 2 oraz (134) i (135)
EL = E(EAD SEV Y ) = EAD E(SEV ) E(Y )
= EAD LGD P D:
(141)
Nieoczekiwana¾ strata¾ (unexpected loss) nazywamy odchylenie standardowe straty (133)
p
p
p
Var L = Var(EAD SEV Y ) = EAD Var(SEV Y ):
(142)
L =
Dla uzyskania bardziej przydatnego w praktyce wzoru na L skorzystamy z
poniz·szego stwierdzenia.
Stwierdzenie 13. Niech X i Y bed
¾ a¾ zmiennymi losowymi o warto´sciach
rzeczywistych, o dystrybuantach odpowiednio FX i FY . Wówczas:
(a) X i Y sa¾ niezale·zne wtedy i tylko wtedy, gdy
F(X;Y ) (s; t) = FX (s)FY (t);
8s; t 2 R;
(143)
gdzie F(X;Y ) oznacza dystrybuante¾ wektora losowego (X; Y ).
(b) Je·zeli X i Y sa¾ niezale·zne, to X 2 i Y 2 sa¾ te·z niezale·zne.
Dowód (b). Sprawdzimy, z·e X 2 i Y 2 spe÷
niaja¾ warunek (143). Dla dowolnych s; t 0 mamy
h p pi
p p
F(X 2 ;Y 2 ) (s; t) = P X 2 s; Y 2 t = P X 2
s; s ; Y 2
t; t :
(144)
p p
p p
Poniewaz· przedzia÷
y [
s; s] i
t; t sa¾ zbiorami borelowskimi, wiec
¾ z
niezalez·ności X i Y (por. wzór (50)) otrzymujemy
h p pi
p p
P X2
s; s ; Y 2
t; t
h
p pi
p p
= P X2
s; s P Y 2
t; t
= P X2
s P Y2
34
t = FX (s)FY (t):
(145)
Z (144) i (145) wynika (143) dla nieujemnych s; t. Jeśli przynajmniej jedna z
liczb s; t jest ujemna, to po obu stronach równości (143) mamy zera.
Stwierdzenie 14. Je·zeli zmienne losowe SEV i Y sa¾ niezale·zne, to
p
2
P D):
(146)
L = EAD Var(SEV )P D + LGD P D(1
Dowód. Obliczymy najpierw wariancje¾ iloczynu SEV
kolejno ze wzorów (34) i (51), otrzymujemy
2
Var (SEV Y )
Y . Korzystajac
¾
2
= E (SEV Y )
(E(SEV Y ))
= E SEV 2 Y 2
(E(SEV ) EY ) :
2
(147)
Teraz do pierwszego sk÷
adnika zastosujemy wzór (51) (moz·e on być uz·yty, bo
na mocy Stwierdzenia 13(b) SEV 2 i Y 2 sa¾ niezalez·ne), a do drugiego sk÷adnika
–wzory (134) i (135):
2
E SEV 2 Y 2
(E(SEV ) EY ) = E SEV 2
E Y2
LGD2 P D2 : (148)
¾ E Y 2 = EY = P D. Zatem prawa¾strone¾ (148) moz·emy
Poniewaz· Y 2 Y , wiec
przekszta÷
cić nastepuj
¾ aco:
¾
E SEV 2
E Y2
= E SEV 2 P D
= E SEV 2
= E SEV
2
LGD2 P D2 = E SEV 2 P D
LGD2 P D + LGD2 P D
LGD2 P D2
LGD2 P D + LGD2 P D(1
2
(E(SEV ))
2
P D + LGD P D(1
2
= Var(SEV )P D + LGD P D(1
LGD2 P D2
P D)
P D)
P D):
(149)
Z równości (142) i (147)–(149) wynika (146).
30.2
Portfel wielu kredytów
Bedziemy
¾
teraz rozwaz·ać ryzyko portfela P z÷oz·onego z m kredytów. Podstawowa¾ zmienna¾ ryzyka w tym przypadku jest strata z portfela LP określona
wzorem
m
m
X
X
LP :=
Li =
EADi SEVi Yi ;
(150)
i=1
i=1
gdzie wszystkie zmienne z dolnym indeksem i dotycza¾ i-tego kredytu. Oczekiwana strata z portfela P jest równa, zgodnie z (141),
E(LP ) =
m
X
i=1
E(Li ) =
m
X
EADi LGDi P Di ;
(151)
i=1
przy za÷
oz·eniu, z·e dla kaz·dego i zmienne losowe SEVi i Yi sa¾niezalez·ne. Nieoczekiwana¾ strata¾ z portfela P nazywamy odchylenie standardowe (LP ) straty z
portfela.
35
Stwierdzenie 15.
v
uX
u m
(LP ) = t
EADi EADj Cov (SEVi Yi ; SEVj Yj ):
(152)
i;j=1
Dowód. Wykonujac
¾ analogiczne przekszta÷cenia jak w (74), otrzymamy
!
m
X
Var(LP ) = Var
EADi SEVi Yi
i=1
=
m
X
EADi EADj Cov (SEVi Yi ; SEVj Yj ) :
(153)
i;j=1
Stad
¾ i z (36) wynika (152).
Stwierdzenie 16. Za÷ó·zmy, ·ze poziom straty w przypadku niedotrzymania
warunków jest sta÷y i jest taki sam dla wszystkich sk÷adników portfela:
SEVi
LGDi = LGD;
8i 2 f1; :::; mg:
(154)
Wówczas
v
uX
u m
EADi EADj LGD2
(LP ) = t
ij
i;j=1
q
P Di (1
P Di )P Dj (1
P Dj );
(155)
gdzie
ij
:= (SEVi Yi ; SEVj Yj ) = (Yi ; Yj ):
(156)
Dowód. Dla kaz·dego i mamy na mocy po÷aczonych
¾
równości (147) i (148)
oraz za÷
oz·enia (154)
Var (SEVi Yi )
= E SEVi2
2
E Yi2
LGD2 P Di2
= (E (LGD) )P Di LGD2 P Di2
= LGD2 P Di LGD2 P Di2
= LGD2 P Di (1 P Di ):
(157)
Z równości (57) i (157) wynika, z·e
q
Var (SEVi Yi ) Var (SEVj Yj )
ij
q
= LGD2 ij P Di (1 P Di )P Dj (1 P Dj ):
Cov (SEVi Yi ; SEVj Yj ) =
Stad
¾ i z (152) wynika (155).
31
31.1
Modele portfeli kredytowych
Modele ukrytej zmiennej
(do uzupe÷
nienia)
36
31.2
Modele wymienne
(do uzupe÷nienia)
32
Miary ryzyka
Niech ( ; F; P ) bedzie
¾
przestrzenia¾probabilistyczna¾i niech X oznacza przestrzeń
liniowa¾ wszsytkich zmiennych losowych X :
! R. W zastosowaniach
moz·e być ustalonym zbiorem scenariuszy rozwoju, a X –wartościa¾ portfela inwestycyjnego w zalez·ności od zrealizowanego scenariusza (rozwaz·amy wartości
zdyskontowane na okres biez·acy).
¾
Celem jest określenie liczby (X) bed
¾ acej
¾
miara¾ ryzyka w sensie zabezpieczenia kapita÷
owego, tzn. (X) jest minimalna¾
wielkościa¾ kapita÷
u, która, jeśli ja¾ dodamy do wartości portfela i zainwestujemy
w sposób pozbawiony ryzyka, czyni inwestycje¾ akceptowalna.
¾
Rozwaz·amy róz·ne miary ryzyka w zalez·ności od spe÷
nienia niz·ej wymienionych
warunków.
Odwzorowanie
: X !R [ f+1g nazywamy pienie·
¾zna¾ miara¾ ryzyka
(monetary risk measure), jez·eli (0) 2 R oraz spe÷nia nastepuj
¾ ace
¾ dwa warunki
dla dowolnych X; Y 2 X .
(a) monotoniczność:
jez·eli X
Y , to (X)
(Y ):
(158)
(b) niezmienniczość wzgledem
¾
gotówki (cash invariance):
jez·eli m 2 R, to (X + m) = (X)
m:
(159)
Znaczenie …nansowe monotoniczności jest nastepujace:
¾
jeśli portfel Y ma
wieksz
¾ a¾ wartość od portfela X dla wszsytkich moz·liwych scenariuszy, to ryzyko
portfela X jest wieksze
¾
niz· ryzyko portfela Y .
Niezmienniczość wzgledem gotówki ma nastepuj
¾ ac
¾ a¾ interpretacje,
¾ jeśli (X)
jest kapita÷
em ekonomicznym wymaganym w banku dla zabezpieczenia nieoczekiwanych strat w przypadku ryzyka kredytowego: jeśli pozbawiona ryzyka
suma pieniedzy
¾
m zostanie dodana do inwestycji X lub do kapita÷
u ekonomicznego,
to wymagany kapita÷ (X) moz·na pomniejszyć o m. W szczególności, z wzoru
(159) wynika, z·e
(X + (X)) = (X)
(X) = 0:
(160)
Pienie¾z·na¾ miare¾ ryzyka nazywamy wypuk÷
a¾ miara¾ ryzyka (convex risk
measure), jeśli spe÷
nia warunek
( X + (1
)Y )
(X) + (1
) (Y ), 8X; Y 2 X ,
2 [0; 1]:
(161)
Znaczenie praktyczne warunku wypuk÷
ości jest takie, z·e dywersy…kacja inwestycji …nansowej nie powoduje wzrostu ryzyka. Jeśli np. X i Y sa¾wartościami
dwóch pojedynczych akcji, to X + (1
)Y jest wartościa¾ portfela z÷oz·onego
z tych akcji o udzia÷ach odpowiednio
i (1
). Wówczas ryzyko portfela
37
( X + (1
)Y ) nie moz·e być wieksze
¾
niz· odopwiednia kombinacja ryzyk (X)
i (Y ).
Warunkiem s÷
abszym od wypuk÷ości jest quasi-wypuk÷
ość (quasi-convexity):
( X + (1
)Y )
maxf (X); (Y )g, 8X; Y 2 X ,
2 [0; 1];
(162)
która zapewnia jedynie, z·e ryzyko portfela z÷
oz·onego np. z dwóch akcji nie
przekroczy wiekszego
¾
spośród ryzyk tych akcji.
Wypuk÷
a¾ miare¾ ryzyka nazywamy spójna¾ miara¾ ryzyka (coherent risk
measure), jez·eli spe÷nia warunek dodatniej jednorodności:
jez·eli
0, to ( X) =
(X):
(163)
Przy za÷oz·eniu dodatniej jednorodności wypuk÷ość pienie¾z·nej miary ryzyka
jest równowaz·na subaddytywności:
(X + Y )
(X) + (Y ):
(164)
Subaddytywność jest w÷
asnościa,
¾ która umoz·liwia decentralizacje¾ zarzadzania
¾
ryzykiem: np. jeśli poszczególne sk÷
adniki portfela inwestycyjnego sa¾zarzadzane
¾
przez róz·ne oddzia÷
y tego samego banku, to mamy gwarancje,
¾ z·e ryzyko ca÷ego
portfela nie przekroczy sumy ryzyk poszczególnych sk÷
adników.
33
Wartość zagroz·ona
Dla zmiennej losowej X :
! R na przestrzeni probabilistycznej ( ; F; P )
de…niujemy wartość zagro·
zona¾(value at risk ) na poziomie 2 (0; 1) nastepu¾
jaco:
¾
VaR (X) := inffm 2 R : P (X + m < 0)
g:
(165)
Interpretacja tego wzoru jest nastepuj
¾ aca:
¾
jez·eli X jest wartościa¾ portfela inwestycyjnego, a
ma÷
a¾ liczba,
¾ to VaR (X) jest najmniejsza¾ wielkościa¾ dodatkowego kapita÷
u, jaki musimy przyjać
¾ jako zabezpieczenie tego portfela, aby
mieć zagwarantowane z prawdopodobieństwem 1
, z·e pozostaniemy z nieujemnym kapita÷
em (tzn. strata z portfela, równa X, nie przekroczy m). Liczbe¾
nazywamy poziomem tolerancji, a liczbe¾ 1
poziomem ufności.
Inaczej mówiac,
¾ VaR jest to najmniejsza strata wartości taka, z·e prawdopodobieństwo jej przekroczenia w danym okresie jest nie wieksze
¾
niz· zadany
poziom tolerancji .
Przyk÷
ad 1. (przybliz·one wyznaczanie VaR na podstawie danych historycznych). Za÷
óz·my, z·e inwestor posiada 20 000 $ zainwestowane w fundusz
indeksu S&P 500, zatem jego zyski bed
¾ a¾ zyskami tego funduszu. Potrzebne
jest oszacowanie VaR dla okresu 24 godzin i poziomu ufności 95% (tzn. dla
= 0; 05). Do oszacowania VaR uz·yto 1000 codziennych notowań stopy zysku
indeksu S&P 500 dla okresu kończacego
¾
sie¾ 4.03.2003 r. Poniewaz· 5% z liczby
1000 wynosi 50, wiec
¾ do przybliz·enia liczby VaR0;05 moz·e pos÷
uz·yć 50-ta od
do÷
u dzienna stopa zysku, która wynosi 0; 0227. Inaczej mówiac,
¾ dzienna
38
stopa zysku 0; 0227 lub mniejsza wystapi÷
¾ a w 5% przypadków w danych historycznych, zatem moz·emy oszacować, z·e jest szansa 5% na zysk tej wielkości
lub mniejszy w ciagu
¾ nastepnej
¾
doby. Zysk o stopie 0; 0227 z kapita÷
u 20 000
$ daje ujemny dochód 454 $, zatem oszacowana wartość zagroz·ona wynosi
VaR0;05 = 454 $.
Ogólnie, VaR przybliz·a sie¾ poprzez dolny -kwantyl z próby danych historycznych. Za÷óz·my, z·e próba ta sk÷
ada sie¾ z n notowań stóp zysku R1 ; :::; Rn .
Niech K bedzie
¾
liczba¾n zaokraglon
¾
a¾do najbliz·szej liczby naturalnej. Uporzad¾
kujmy liczby R1 ; :::; Rn w kolejności rosnacej:
¾
R i1
R i2
:::
R in :
(166)
Wówczas dolnym -kwantylem z próby (R1 ; :::; Rn ) nazywamy k-ty najmniejszy zysk, czyli RiK . Liczbe¾ te¾ nazywamy takz·e statystyka¾ porzadkow
¾
a¾
k-tego rzedu
¾
z próby (R1 ; :::; Rn ) i oznaczamy R(K) . Wówczas, jeśli S jest
zainwestowanym kapita÷
em poczatkowym,
¾
to
VaR =
S R(K) :
(167)
Stwierdzenie 19. VaR jest pienie¾z·na¾ miara¾ ryzyka na X , która jest
dodatnio jednorodna.
Dowód. Warunki (158), (159) i (163) wynikaja¾ bezpośrednio z de…nicji
(165).
Uwaga. VaR nie jest jednak subaddytywna, a zatem nie jest spójna¾ miara¾
ryzyka, co pokazuje poniz·szy przyk÷
ad.
Przyk÷
ad 2. Dwie korporacje C1 i C2 sprzedaja¾ obligacje. Dla kaz·dej z
tych korporacji prawdopodobieństwo jej bankructwa w rozpatrywanym okresie wynosi 0; 04. Bankructwo jednej korporacji jest niezalez·ne od bankructwa
drugiej. Stopa zysku z inwestycji w obligacje korporacji Ci wynosi
Ri =
0;
gdy Ci nie zbankrutuje,
1; gdy Ci zbankrutuje.
W drugim przypadku tracimy ca÷a¾ zainwestowana¾ kwote¾ (jest to model uproszczony, nie uwzgledniaj
¾
acy
¾ dochodu z odsetek z obligacji). Niech Y bedzie
¾
zmienna¾ losowa,
¾ której wartościa¾ jest ilość korporacji, które zbankrutowa÷
y w
rozwaz·anym okresie. Dla wyznaczenia rozk÷
adu tej zmiennej pos÷uz·ymy sie¾
schematem Bernoulliego przy n = 2 (liczba prób) z prawdopodobieństwami
„sukcesu” (bankructwo) p = 0; 04 i „poraz·ki” (brak bankructwa) q = 0; 96:
P (Y
=
0) =
P (Y
=
1) =
P (Y
=
2) =
2
(0; 04)0 (0; 96)2 = 0; 9216;
0
2
(0; 04)1 (0; 96)1 = 0; 0768;
1
2
(0; 04)2 (0; 96)0 = 0; 0016:
2
39
Niech Pi bedzie
¾
portfelem obligacji korporacji Ci o wartości poczatkowej
¾
1000 $
(i = 1; 2). Za÷
óz·my, z·e wymagany poziom tolerancji wynosi = 0; 05. Wówczas
VaR (P1 + P2 ) = 1000;
(168)
poniewaz· prawdopodobieństwo bankructwa obu korporacji jest mniejsze od
ale prawdopodobieństwo bankructwa przsynajmniej jednej z nich wynosi
,
P (Y = 1) + P (Y = 2) = 0; 0768 + 0; 0016 = 0:0784
i jest wieksze
¾
od . Natomiast
VaR (Pi ) = 0, i = 1; 2;
(169)
poniewaz· prawdopodobieństwo bankructwa pojedynczej korporacji jest mniejsze
od . Z równości (168) i (169) otrzymujemy
VaR (P1 + P2 ) > VaR (P1 ) + VaR (P2 );
co dowodzi, ze funkcja VaR nie jest subaddytywna.
40