Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
Transkrypt
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
Anna Kowalczyk Marcin Lipiec VI LO im. Jana Kochanowskiego w Radomiu Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Jeżeli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. /C. F. Gauss/ Praca wykonana pod kierunkiem: prof. K. Dyrdy mgr P. Murawskiego Radom, 1999 Rozdział 1 Ciąg Fibonacciego. Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg (Fn) określony następująco: F1=F2=1 , Fn+2=Fn+1+Fn dla n=1,2,3............ Jest to najstarsza znana ludzkości rekurencja (z ok. 1202 roku). Policzmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu: F1=F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8 Wzór ogólny ciągu określa się wzorem: n F n = 1 5 n 1+ 5 − 1− 5 ) ) ) ( 2 2 (( Nosi on miano wzoru Bineta. Dowód. Rozważmy wielomian charakterystyczny rekurencji. Jest on postaci: f(x)=x2-x-1, policzmy jego pierwiastki. ∆ = 5, ∆= 5 = x 1 1+ 5 1− 5 , x2 = , a zatem 2 2 n 1+ 5 + 1- 5 F =c( ) c( ) 2 2 n 1 2 n , korzystając z faktu , że F1 = 1 oraz F2 = 1 otrzymujemy : 1+ 5 1− 5 1+ c1 ( 2 ) + c 2 ( 2 ) = 1 oraz c1 ( 2 1− 5 ) +c ( ) 2 2 = F 1 1+ = (( 5 n 2 2 = 1, po prostych przeksztalceniach otrzymujemy : 1 1 ,c = − , a zatem 5 2 5 c 1 5 n 1− 5 ) −( ) 2 2 5 n c.k.d Przedstawimy teraz kilka ciekawych własności ciągu Fibonacciego. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to: n ∑F = F i =1 i n +1 −1 Dowód. Z definicji ciągu (Fn) otrzymujemy równości: 2 F =F +F F =F +F F =F +F 3 2 4 3 5 1 2 4 3 .................... .................... .................... F n +1 = F +F n −1 n Dodająo równosci stronami otrzymujemy : n +1 ∑F = F i i =3 n + 2∑ F i, czyli 1 F n+1 = i =2 n n i =1 i =1 F 2 + ∑ F i , czyli F n+1 − 1 = ∑ F i c.k.d Inną własnością jest fakt: Dla dowolnego n będącego liczba naturalną zachodzi związek: F n ⋅ F n+ 2 − F n +1 = (−1) 2 n +1 Dowód: Dla n = 1 mamy F1 ⋅ F3 − F2 = 1 ⋅ 2 −1 = 1 = (−1) 2 1+1 2 Zakladamy , że dla pewnego k ∈ N zachodzi : F ⋅F K +1 − FK +1 = (-1) 2 K+2 K Wtedy , mamy : F ⋅ F − F = F (F + F ) − F = F + F = F + F (F − F ) = F − F ⋅ F = − (−1) 2 K +1 K +3 K+2 K +1 2 K +1 K+2 2 2 K+2 K +1 K +1 2 K +1 K+2 K +1 K+2 K +1 K +1 K+2 K ⋅ FK + 2 − FK + 2 = 2 = (−1) K+2 , zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla kazdej liczby naturalnej n. ckd Oto kilka innych własności ciągu ,których dowodów nie będziemy przytaczali (opierają się one na rozumowaniu indukcyjnym przedstawionym powyżej.) 1) F 2 N = N F 2) ∑ F I = 2 I =1 2 − F N −1 2 N +1 F ⋅F N N 3)∑ F 2 I = I =1 F 2 N +1 N +1 −1 Pokażemy teraz zastosowanie ciągu Fibonacciego do rozwiązywania problemów z elementarnej teorii liczb. Zadanie 1. Udowodnij ,że istnieje nieskończenie wiele par (m, n) liczb naturalnych takich ,że n dzieli liczbę m2+1,zaś m dzieli liczbę n2-1 3 Dowód: Udowodniliśmy wcześniej, że F n ⋅ F n+2 = F n+1 + (−1) 2 n +1 Niech n = 2k + 1 i k ∈ N, wówczas F 2k +1 ⋅ F 2k +3 = F 2k +2 + (−1) 2 2k +2 = F 2 2k +2 +1 Niech n = 2k + 2 i k ∈ N, wówczas F F 2k +2 2k + 2 ⋅ F 2k +4 = 2 F 2 2 k +3 dzieli F2k +3 - 1 + (−1) 2 k +3 = F 2 2 k +3 − 1, a zatem oraz F2k + 3 dzieli F2k + 2 + 1 2 Zatem wystarczy ,że m i n będą odpowiednio 2k+2 i 2k+3 wyrazami ciągu Fibonacciego. c.k.d. Ciąg Fibonacciego ma również zastosowanie w geometrii, poniżej przedstawiono pokrycie płaszczyzny kwadratami o boku będącym Fibonacciego. 4 n-tym wyrazem ciągu Rozdział 2 Ciąg Fibonacciego w przyrodzie. Królestwo roślin i świat matematyki są na ogół postrzegane jako nie mające ze sobą nic wspólnego. Doskonałość rozwoju roślin, ich nieskończona wielorakość form i różnorodność wzorów nie wydają się poddawać matematycznym równaniom. A jednak za tym pozornym zamętem stale ukryta jest matematyka, pisał Roger V.Jean . Pod koniec XVIII wieku Charles Bonnet zainteresował się szczególną symetrią w układzie liści zwaną filotaksją. Badając rozkład liści na gałązkach łatwo można zauważyć, że wszystkie liście leżą jeden na drugim, lecz przeciwnie: liście sąsiednie najczęściej wysuwają się z linii prostej okrążając gałązkę. Jeśli od jednej podstawy liścia do drugiej, trzeciej itd. Przeciągniemy kolejno wzdłuż gałązki nitkę, to otrzymamy dość prawidłową linię śrubową, zwaną helisą. Jeśli na przykład, aby dojść od jednego liścia do drugiego, leżącego ściśle nad nim, wykonać trzeba dwa obroty gałązki i na tej przestrzeni spotyka się pięć odstępów, to układ liści scharakteryzowany jest ułamkiem taki wyraża także kąt rozchodzenia się dwóch liści sąsiednich, np. Wynika stąd, że ułamki 2 5 i 3 5 2 5 2 . 5 Ułamek obrotu = 144°. wyrażają ten sam układ liści, ponieważ 2 5 *360°=144° i 360°-144°=216°= 53 *360°. Różne liczby wynikają z faktu, że linię śrubową przeprowadzamy raz z jednej, a raz z drugiej strony. Jest to widoczne na poniższym zdjęciu przedstawiającym pęd śliwy oraz na jego schemacie. 5 Liczne badania nad rozkładem liści poszczególnych roślin wykazały, że najczęściej występujące układy to: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 , , , , , , , , , ,..., 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 czyli ułamki, których liczniki tworzą ciąg Fibonacciego, mianowniki ciąg Fibonacciego począwszy od drugiego wyrazu. Jeśli układ liści jest scharakteryzowany przez ułamek 1 2 , to mówimy o lipie amerykańskiej, morwie, o 3 5 -filotaksji. 2 3 1 2 -filotaksja występuje m.in. ma wiązie, -filotaksja na buku, leszczynie, brzozie, juce, -filotaksji mówimy w przypadku dębu, moreli, wiśni, śliwy, jabłoni. Na topoli, gruszy, platanie spotykamy 8 13 1 2 5 8 -filotaksję, a na wierzbie migdałowcu i białej sośnie - filotaksję. Konieczna jest w tym miejscu uwaga, że liczby powyższe charakteryzujące pewien gatunek nie odnoszą się do każdego egzemplarza danego gatunku, lecz do przeważającej liczby ich egzemplarzy. Na przykład w jodle balsamicznej 3 5 -filotaksja stanowi ponad 90% wszystkich przypadków. Także w jednym egzemplarzu może wystąpić przejście jednego ułamka do innego. Jest to spowodowane np. przez specyficzne cechy wzrostu różnych części danej rośliny. Później zauważono, że zjawisko filotaksji występuje także w rozmieszczeniu ziaren na tarczy słonecznika, łusek na szyszce świerkowej lub na owocu ananasa w postaci spiralnych lub śrubowych zwojów. Przyjrzyjmy się bliżej temu zjawisku na przykładzie ananasa. Ziarenka ananasa przypominające sześciokątne klatki są rozmieszczone w rzędach o różnych kierunkach: 5 równoległych rzędów podnoszących się łagodnie w prawo, 8 osiem rzędów podnoszących się nieco bardziej stromo w lewo, 13 rzędów podnoszących się bardziej stromo w prawo. 6 Załóżmy, że powierzchnia ananasa ma postać walca i ziarenka ananasa są jednakowymi sześciokątami klatki. Gdy rozetniemy go wzdłuż tworzącej i rozpostrzemy na płaszczyźnie, otrzymamy pas pomiędzy dwiema prostymi równoległymi jak na rysunku. Załóżmy, że proste te mają równania x=0 i x=1. Okazało się, że sześciokątne klatki ponumerowane kolejno w miarę wzrastania ich odległości od osi X są tzw. obszarami Dirichleta pewnej sieci. Punkt sieci oznaczony liczbą 0 znajduje się na początku układu i w punkcie (1,0). Ciekawą własnością jest to, że odcięta punktu sieci oznaczonego liczbą 1 dzieli odcinek 00 w stosunku złotym, czyli punkt 1 ma współrzędne 1 1 , α 150 , gdzie 1 150 jest wartością obliczoną [2]. n-ty punkt sieci ma 1 współrzędne (nα-[nα],n• 150 ). Rzędy, które widać na owocu ananasa, w modelu są również widoczne. Punkty sieci im odpowiadające tworzą ciągi arytmetyczne. Są one wyznaczone przez liczby 5,8,13, które są numerami klatek sąsiadujących z klatką 0. Ponieważ stosunek Fk +1 Fk kolejnych liczb Fibonacciego jest zbieżny do liczby α, liczba Fkα jest niemal liczbą całkowitą, co znaczy, że jej część ułamkowa jest mała. Zatem 7 punkty oznaczone liczbami Fibonacciego leżą coraz bliżej osi Y w miarę ich wzrastania. Na schemat ten możemy spojrzeć jako na rozmieszczenie liści na gałązce. Punkt sieciowy oznaczony liczbą 13 leży blisko osi Y. Można więc założyć, że leży dokładnie nad punktem 0. Otrzymaliśmy w ten sposób analogię do zjawiska filotaksji występującego w układzie liści. Gdybyśmy bowiem rozmieszczenie ziarenek na owocu ananasa potraktowali jako rozmieszczenie liści na gałązce, otrzymalibyśmy 8 13 - filotaksję. Założenie to jest zasadne: „Bonnet... widział w przypadku moreli zupełnie wyraźnie, że kolejne cykle 2 5 nie nakładają się prostopadle”. Kolejny wariant filotaksji widzimy na przykładzie szyszki świerkowej. Wyraźnie widzimy, że układ łusek w szyszce tworzy 8 13 - filotaksję, co obrazuje rysunek. Modelem matematycznym byłby stożek. W porównaniu z modelem ananasa byłoby to zastąpienie ruchu śrubowego ruchem śrubowym złożonym z dylatacją Perfekcyjnym przykładem filotaksji jest słonecznik. Ciekawą jego własnością jest zależność rodzaju filotaksji od wielkości główki, co obrazuje tabelka. 8 Wielkość główki słonecznika Rodzaj filotaksji Bardzo mała 13 21 Mała 21 34 Normalna(14-15 cm średnicy) 34 55 Duża 55 89 89 144 Bardzo duża 144 233 Wielka (około 55 cm średnicy) Rysunek słonecznika jest przykładem przejścia 13 21 21 34 -filotaksji na zewnątrz z -filotaksję w środku tarczy. Zainteresowanie zjawiskiem filotaksji od 1900 roku przezywa swój renesans. Od tego czasu pojawia się wiele opracowań na temat nowych przykładów filotaksji. Oto 9 niektóre z nich: Zawiązki w pączku sosny tworzą 5 8 -filotaksję, co widać na rysunku U wielu roślin złożonych, np. u margaretki i rumianku, widoczne są spiralne rozłożenia oddzielnych kwiatków w kwiatostanach. Tworzą one w pierwszym przypadku 13 21 -filotaksję, a w drugim 21 34 -filotaksję[8]. Struktury przypominające filotaksję pojawiają się także wśród mikroorganizmów, np. flagella Salmonelli reprezentuje wzór zbliżony do 2 5 -filotaksji. Jest to widoczne na rysunku. Trzeba w tym miejscu zaznaczyć, że oprócz Fk Fk +1 -filotaksji występują w przyrodzie jeszcze inne. Są one wyznaczone przez ciągi, które podobnie jak ciąg Fibonacciego spełniają warunek: uk+2=uk+1+uk, lecz mają inne warunki początkowe. Jednakże filotaksję postaci Fk Fk +1 są w przyrodzie przeważającą tendencją. Liczby Fibonacciego w przyrodzie występują nie tylko w postaci filotaksji. Dobrze znana skorupa głowonoga łodzika Nautilus obrazuje nam z zadziwiającą perfekcją spiralę logarytmiczną. Ciąg Fibonacciego jest przykładem przedziwnego splatania się matematyki z przyrodą. Przypomnijmy sobie bowiem, że sam pomysł ciągu Fibonacciego powstał dzięki idealizacji zjawiska przyrodniczego (rozmnażanie królików), a następnie okazało się, że tak wymyślone pojęcie powraca do przyrody w postaci filotaksji czy kształtu skorupy ślimaka. Literatura: 10 Gradient nr 1/1998 Fundacja Rozwoju Matematyki Polskiej, Warszawa. Encyklopedia Powszechna PWN, PWN Warszawa 1997. Sierpiński W. – Wstęp do teorii liczb, WSIP Warszawa 1987. Weyl H. – Symetria, PWN Warszawa 1960 11