1. Liczba b to 40% liczby a, liczba c to 5% liczby a. Wynika z tego, że

1. Liczba b to 40% liczby a, liczba c to 5% liczby a. Wynika z tego, że liczba c to
a) 8% liczby b;
b) 20% liczby b;
c) 12,5% liczby b.
2. Sześciokąt ABCDEF jest foremny i ma boki długości 1. Prawdopodobieństwo tego, że
odległość losowo wybranych dwóch różnych wierzchołków tego sześciokąta
to liczba niewymierna, jest
1
a) równe ;
2
1
b) większe od ;
4
1
c) mniejsze od .
3
3. Oznaczmy przez An punkt (n; n2 ), gdzie n jest liczbą całkowitą. Istnieje trójkąt A k Al Am ,
którego
a) wszystkie kąty są ostre;
b) jedna z wysokości jest równoległa do osi OX;
c) jeden kąt jest rozwarty.
4. Wartości funkcji f : R → R, danej wzorem f (x) = sin 3 x + 2 sin x cos x, są
a) nieujemne;
b) mniejsze od 1;
c) mniejsze od 43 .
5. Liczba całkowita dodatnia n ma dokładnie trzy różne dzielniki dodatnie. Wynika z tego,
że liczba n jest
a) równa 4;
b) kwadratem liczby pierwszej;
c) liczbą złożoną.
6. Promień okręgu k opisanego na trójkącie ABC jest równy 1, ponadto |<) ABC | = 120◦ .
Wynika z tego, że
√
3
;
4
b) w kole ograniczonym okręgiem k istnieje taki punkt D, że |<) ADC | = 59◦ ;
a) pole trójkąta ABC nie przekracza
c) łuk AC okręgu k, na którym nie leży punkt B, ma długość
√
7. Niech a = log 2 | log2 | log2 2|| oraz b = log 3 | log3 | log 3
a) a · b jest liczbą wymierną;
b) a = b;
c) a > 1.
√
3
3π
.
2
3||. Wynika z tego, że
8. Istnieje takie k, że w ciągu arytmetycznym (a n ), n = 1, 2, 3, . . ., jest ak = 7a1 . Wynika z tego, że
dla pewnego m
a) am = 21a1 ;
b) am = 3a1 ;
c) am = 7ak .
ZSI jesień 2004, 1
9. Zdarzenia A i B są takie, że 0 < P (A) ≤ P (B). Wynika z tego, że
a) A ⊆ B;
b) P (A \ B) ≤ P (B \ A);
c) P (A | B) ≤ P (B | A).
10. Prosta k przechodząca przez wierzchołek B trójkąta ABC dzieli go na części o równych polach.
Wynika z tego, że prosta k zawiera
a) pewną wysokość trójkąta ABC;
b) pewną środkową trójkąta ABC;
c) dwusieczną kąta ABC.
11. Suma kwadratów dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest
a) nieparzysta;
b) podzielna przez 3;
c) podzielna przez 5.
12. Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC. Punkt A jest spodkiem wysokości
tego ostrosłupa. Wynika z tego, że
a) |BD | = |CD |;
b) |<) BDC | < 60◦ ;
c) |AD | = |BC |.
13. Do okręgu o promieniu 1 jest stycznych wewnętrznie sześć jednakowych okręgów,
z których każdy jest zewnętrznie styczny do dwóch spośród pozostałych. Wynika z tego,
że promień okręgu zewnętrznie stycznego do każdego z tych sześciu okręgów ma długość
√
3
;
6
1
b) ;
3
√
2
c)
.
4
a)
14. Liczby rzeczywiste x i y spełniają warunek
x
y
1
= = . Wynika z tego, że
x
y
2
a) liczby x i y są niewymierne;
b) liczby x i y są dodatnie;
c) x < y.
15. Liczba (149!)3 + (149!)2 + 149! + 1 jest podzielna przez
a) 150;
b) 149! + 1;
c) (149!)2 + 1.
16. Istnieje taka liczba rzeczywista d, że wykresy funkcji f : R → R i g : R → R,
danych wzorami f (x) = x4 + 5x2 − 2x oraz g(x) = x4 − 2x2 − x + d,
a) nie mają punktów wspólnych;
b) mają co najmniej trzy różne punkty wspólne;
c) mają dokładnie jeden punkt wspólny.
ZSI jesień 2004, 2
17. Na płaszczyźnie dany jest zbiór takich punktów A n = (n; an ), że ciąg (an ), n = 1, 2, 3, . . .,
jest ciągiem arytmetycznym. Wynika z tego, że
a) wszystkie punkty An leżą na jednej prostej;
b) |A2000 A2003 | = |A2004 A2007 |;
c) istnieje takie k, że punkt Ak jest środkiem odcinka A2002 A2007 .
18. Wyrazy ciągu geometrycznego (a n ), n = 1, 2, 3, . . ., są liczbami całkowitymi dodatnimi,
przy czym a1 + a4 jest liczbą nieparzystą. Wynika z tego, że
a) a40 jest liczbą parzystą;
b) a1 jest liczbą parzystą;
c) suma pierwszych stu wyrazów tego ciągu jest liczbą nieparzystą.
19. Dany jest taki czworokąt wypukły ABCD, że pole trójkąta ABC jest 2 razy większe od pola
trójkąta ADC. Przekątne tego czworokąta przecinają się w punkcie E. Wynika z tego, że
a) |BE | = 2|DE |;
b) pole trójkąta ABE jest 2 razy większe od pola trójkąta ADE;
c) pole trójkąta ABE jest większe od pola trójkąta CDE.
20. Wielościan W ma 6 ścian i każda z nich jest trójkątem równobocznym. Wynika z tego, że
wielościan W ma
a) 9 krawędzi;
b) 6 wierzchołków;
c) środek symetrii.
ZSI jesień 2004, 3