neo sensi 2 Go

Część 1
Transmitancje i stabilność
Zastosowanie opisu transmitancyjnego
w projektowaniu przekształtników impulsowych
●
●
Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. vg, i)
i wielkości sterującej (d) na wielkość sterowaną (np. v)
Opisują to transmitancje operatorowe (transfer functions) przekształtnika
Gy

1x 1
(s )=
∣
y 1 (s )
x 1 (s ) x 2 , x 3 , …=const
∣
v (s )
v g (s ) d =const
aby przewidzieć analogiczny wpływ x2, x3, … na y1, układ musi być liniowy
(linearyzowalny), gdyż wówczas
y 1 (s)=x 1 (s)⋅G y x (s )+x 2 (s )⋅G y x (s )+…
1
●
np. G vg (s)=
1
1
2
Transmitancja operatorowa jest bardzo ogólnym opisem właściwości
układu



wzmocnienie stałoprądowe (DC gain) G – sygnały stałe
transmitancja widmowa (frequency response) G(jω) – sygnały sinusoidalnie
zmienne w czasie o kolejnych pulsacjach ω, lecz o niezmiennych amplitudach
transmitancja operatorowa G(s) – sygnały sinusoidalnie zmienne w czasie,
o amplitudach wykładniczo zmiennych w czasie → istotne dla regulacji
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
2
Związki
●
Między dziedziną uogólnionej częstotliwości (s) i czasu (t)

odpowiedź impulsowa (impulse response) – na impuls Diraca δ(t) ⇔ 1
Y (s)=1⋅G (s )=G (s) ⇒ y (t )=g (t )=ℒ −1 {G (s )}

odpowiedź jednostkowa (step response) – na skok jednostkowy 1(t) ⇔ 1/s
{ }
t
1
G (s)
G (s)
Y (s)= ⋅G (s )=
⇒ y (t )=h (t )=ℒ −1
=∫ g (τ )dτ
s
s
s
0
●
Między transmitancją operatorową a widmową
s =σ + j ω


transmitancja operatorowa jest uogólnieniem transmitancji widmowej
transformata Laplace’a jest uogólnieniem transformaty Fouriera
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
3
Transmitancja a odpowiedź układu I rzędu
●
Postać ogólna transmitancji
G (s )=
●
bieguny (poles) s p i : D (s i )=0
−σ t
1
⇒ g (t )= ℒ −1 {G (s)}=e 0 ⋅1(t )
s +σ 0
σ0 > 0 ⇒ sp = −σ0 < 0


●
zera (zeros) s z i : N (s i )=0
Transmitancja o pojedynczym biegunie rzeczywistym i odpowiedź
impulsowa
G (s )=
●
N (s)
D (s)
odpowiedź zanika wykładniczo
w czasie do zera ze stałą czasową τ = 1/σ0
układ jest stabilny, gdyż po zaburzeniu wraca
do stanu początkowego
σ0 < 0 ⇒ sp = −σ0 > 0


odpowiedź narasta wykładniczo
do nieskończoności
układ jest niestabilny, gdyż nigdy nie wróci do stanu początkowego
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
4
Transmitancja a odpowiedź układu II rzędu
●
W transmitancji występują 2 bieguny zespolone (zawsze sprzężone)
D (s)=(s+σ 0− jω d )(s+σ 0 + j ω d )=(s+σ 0 )2+ω 2d
s =−σ 0± j ω d
G (s )=
ω 20
s 2+2ζω0 s+ω 20
⇒ σ =ζω 0 ; ω d=ω 0 √ 1−ζ 2
Odpowiedź jednostkowa
ϑ = arc sin ζ
ω0
σ0
ωd
ω0 t
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
5
Położenie biegunów a odpowiedź impulsowa
Amplituda malejąca
Układ stabilny
Amplituda stała
Amplituda narastająca
Układ niestabilny
częstotliwość
Charakter
oscylacyjny
(periodyczny)
Charakter
inercyjny
(aperiodyczny)
szybkość spadku
szybkość wzrostu
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
6
Formalizacja pojęcia stabilności
●
Stabilność w sensie ograniczone wejście – ograniczone wyjście
(BIBO stability = bounded input - bounded output):
Układ liniowy jest stabilny, jeżeli dla każdego wymuszenia ograniczonego
u jego odpowiedź y jest również ograniczona:
∃
∀ ∣u (t )∣≤M ⇒ ∃
M>0 t ≥0


●
∀ ∣y (t )∣≤B
B >0 t ≥0
odpowiedź układu to przebiegi czasowe zmiennych stanu – np. prądów
cewek i napięć kondensatorów, sygnałów wyjściowych, sygnałów sterujących
zmienne stanu nie wykazują oscylacji lub amplituda oscylacji maleje
Warunki konieczne i wystarczające stabilności w sensie BIBO

bezwzględna całkowalność odpowiedzi impulsowej:
∞
∫∣h (t )∣d t <∞
0

lokalizacja wszystkich biegunów w lewej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej:
∀ σ i <0 gdzie s p, i =σ i + j ω i
i
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
7
Stabilność graniczna
●
●
Pojęcie to nie jest jednoznaczne w kontekście stabilności w sensie BIBO
Układ stabilny granicznie nie jest stabilny w sensie BIBO, gdyż jego
odpowiedź impulsowa nie jest bezwzględnie całkowalna:
∞
∫∣h (t )∣d t =∞
0
●
Podejście 1
Odpowiedź impulsowa nie jest b.c., ale jest stała w czasie:
∣h (t )∣=const


●
Podejście 2
Odpowiedź układu nie jest b.c., ale jest ograniczona co do wartości:


●
nie występują oscylacje
występuje biegun (bieguny) w początku układu (s = 0)
∣h (t )∣<∞
występują oscylacje, ale o stałej amplitudzie
występują bieguny na osi urojonej (s = jω)
W naszych rozważaniach stosować będziemy szerszą definicję 2
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
8