Ciąg arytmetyczny - M-jak

Ciąg arytmetyczny
Definicja. Ciąg ( ) nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz ciągu
oprócz pierwszego powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r. Liczbę tę
nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Symbolicznie możemy tę definicję zapisać:
( ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy = ∧ = + , dla > 1.
Można zapisać także taki warunek ułatwiający sprawdzanie czy dany ciąg jest arytmetyczny:
− = ,
czyli jeżeli dwa dowolne kolejne wyrazy ciągu różnią się o stałą r to ciąg jest arytmetyczny.
Przykłady ciągów arytmetycznych:
•
•
1,2,3,4,5,6,… -ciąg arytmetyczny o różnicy r=1,
3,2,1,0,-1,-2,-3 – ciąg arytmetyczny skończony o różnicy r=-1,
•
0, , , , , … - ciąg arytmetyczny nieskończony o różnicy = .
Można taki ciąg przedstawić graficznie:
… Zauważmy, że wtedy = + , a np. = + 4 lub = + 2, na
podstawie powyższej obserwacji możemy stwierdzić, że:
Twierdzenie. Jeżeli ( ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to
= + ( − 1)
Z definicji ciągu arytmetycznego i powyższego przedstawienia graficznego możemy także zauważyć,
że pomiędzy każdym kolejnym wyrazem ciągu jest taka sama różnica. Więc jeśli weźmiemy trzy
kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego , , , to
− = − Po przeniesieniu na lewą stronę a na prawą otrzymamy 2 = + . Następnie po
podzieleniu równania przez 2, otrzymamy następujące twierdzenie:
Twierdzenie. Ciąg ( ) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego
ciągu(oprócz pierwszego i ostatniego), jest średnią arytmetyczną wyrazy poprzedniego i następnego.
+ =
2
Można także mówić o sumie n-początkowych wyrazów ciągu ( ). Wyraża się ona wzorem:
+ % = + + + ⋯ + =
⋅
2
Zastępując we wzorze wyrażeniem + ( − 1) otrzymujemy:
2 + ( − 1)
% =
⋅
2
Ciąg arytmetyczny – zadania wstępne
Zad1. Które z podanych ciągów są arytmetycznymi?
a) = 3 + 1;
b) = 2;
c) = 5 − 7;
d) =
e) =
, , ;
.
Zad2. Znajdź k-ty wyraz ciągu.
a)
b)
c)
d)
= −1, = 3, . = 10;
= 0,75; = 0,5; . = 14;
= 0; = −1,5; . = 13/
− = −1; 0 = 9; . = 12.
Zad3. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego.
a) = −92; = −3;
b) - = 15,4; = 0,4;
-
-
c) 0 = 100 ; = 5 .
Zad4. Wyznacz różnicę r ciągu arytmecztycznego.
a) = −12; = 65;
b) = 3√3; = −42√3;
c) = −9,1; 0 = −47,5.
Zad5. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu, którego suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem:
a) % = 3 − ;
b) % = 5 − ;
c) % =
− .