ciągi – zadania

CIĄGI – ZADANIA
1. Ciąg arytmetyczny:
Zad.1.
Wyznacz a 2 , a3 , a 4 w ciągu arytmetycznym (a n ) , w którym a1 = 3, r = − 5.
Rozwiązanie:
an+ 1 = an + r
a 2 = a1 + r = 3 + (− 5) = − 2
a3 = a 2 + r = − 2 + (− 5) = − 7
a 4 = a3 + r = − 7 + (− 5) = − 12
Zad.2.
Zbadaj, czy ciąg o wyrazie ogólnym a n = 7n + 9 jest ciągiem arytmetycznym.
Rozwiązanie:
Badamy różnicę a n + 1 − a n :
a n + 1 = 7(n + 1) + 9 = 7 n + 7 + 9 = 7n + 16
a n = 7n + 9
a n + 1 − a n = (7 n + 16) − (7 n + 9) = 7 n + 16 − 7 n − 9 = 7 ⇒ różnica jest stała dla każdego n ∈ N + ,
a więc ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.
Zad.3.
Wyznacz ciąg arytmetyczny (a n ) , tzn. a1 i r , mając dane:
a10 = 8,
a 22 = 12.
Rozwiązanie:
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r - wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Zapisujemy wyraz 10-ty i 22-gi za pomocą powyższego wzoru i rozwiązujemy układ równań:
a10 = a1 + (10 − 1) ⋅ r
a 22 = a1 + (22 − 1) ⋅ r
8 = a1 + 9 ⋅ r
12 = a1 + 21 ⋅ r
a1 = 8 − 9 ⋅ r
12 = 8 − 9r + 21r
⇒ 12r = 4 ⇒ r =
a1 = 8 − 9 ⋅ r ⇒ a1 = 8 − 9 ⋅
Odp.: a1 = 5, r =
1
3
1
⇒ a1 = 5
3
1
.
3
Zad.4.
Wyznacz ciąg arytmetyczny (a n ) , tzn. a1 i r , mając dane:
a 2 + a5 = 7
a3 + a8 = 11
Wskazówka do rozwiązania: Należy zapisać wyrazy a 2 , a5 , a3 , a8 za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu
arytmetycznego (jak w poprzednim zadaniu), a następnie je podstawić i rozwiązać układ równań.
2. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Zad.1.
Oblicz sumę 5 + 9 + 13 + 17 + ... + 49 + 53.
Rozwiązanie:
Jest to suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie a1 = 5, a n = 53, r = 4 (bo 9-5=4 i
13-9=4 i 17-13=4, ... )
Musimy obliczyć, ile mamy liczb do dodania. Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
53 = 5 + (n − 1) ⋅ 4
53 = 5 + 4n − 4
53 − 1 = 4n
52 = 4n / : 4
13 = n
n = 13
A więc mamy 13 liczb. Teraz ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
obliczamy:
a1 + a n
⋅n
2
a + a13
5 + 53
58
S13 = 1
⋅ 13 =
⋅ 13 =
⋅ 13 = 377
2
2
2
Odp.: Suma ta wynosi 377.
Sn =
Zad.2.
Wyznacz ciąg arytmetyczny (a n ) , tzn. a1 i r , mając dane:
a 4 = 6,
S 5 = 20
Rozwiązanie:
Zapisujemy:
a 4 = a1 + (4 − 1)r ⇒ 6 = a1 + 3r
S5 =
a1 + a5
a + [a1 + (5 − 1) ⋅ r ]
2a1 + 4r
(2a1 + 4r ) ⋅ 5
2(a1 + 2r ) ⋅ 5
⋅5= 1
⋅5=
⋅ 5 ⇒ 20 =
⇒ 20 =
2
2
2
2
2
Skracamy dwójki i otrzymujemy 20 = 5a1 + 10r .
Rozwiązujemy układ równań:
a1 + 3r = = 6
5a1 + 10r = 20
Z układu wyliczamy szukane a1 i r.