1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS)

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-1-
1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS)
1.1. Systemy LTI
Pojęcie systemy LTI oznacza liniowe systemy niezmienne w czasie (ang. Linear Time - Invariant ). W literaturze polskiej częściej
używa się terminu SLS ( systemy liniowo stacjonarne). Rozumienie pojęcia liniowości i stacjonarności pozwala na identyfikację klasy
systemu i przyjęcie odpowiednich metod analizy.
Termin systemy liniowe definiuje klasę systemów, w których odpowiedź (sygnał wyjściowy) jest superpozycją składowych
stanowiących odpowiedzi systemu na pojedyncze składowe wymuszenia (sygnału wejściowego).
x[n]
liniowy
system
dyskretny
y[n]
Założymy, że jeżeli na wejście systemu podamy sygnał x1[n] to na wyjściu otrzymamy sygnał y1[n] oraz jeżeli na wejście systemu
podamy sygnał x2[n] to na wyjściu otrzymamy sygnał y2[n].
system
x1 [ n ] 
→ y1 [ n ]
system
x2 [ n ] 
→ y2 [ n ]
Jeżeli system jest liniowy to spełniony jest warunek addytywności oraz jednorodności
system
a ⋅ x1 [ n ] + b ⋅ x2 [ n ] 
→ a ⋅ y1 [ n ] + b ⋅ y2 [ n ]
Inaczej mówiąc sygnał wyjściowy y1 zależy wyłącznie od sygnału wejściowego x1 oraz charakterystyk systemu, nie zależy natomiast od
żadnego innego sygnału wejściowego.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-2-
Przykład dyskretnego systemu liniowego
y [ n] = −
x [ n]
2
x1[n]
y1[n]
|Y1[m]|
0.5
System cyfrowy jest zdefiniowany w ten sposób, że każda próbka
podana na jego wejście zmieni znak i zmniejszy swoją wartość dwukrotnie.
t
t
f
1
2
3 4
Podamy na wejście układu dyskretne sygnały sinusoidalne
x1 [ n ] = sin(ω nTp ) o częstotliwości f=1Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz
x2[n]
y2[n]
|Y2[m]|
0.5
x2 [ n ] = sin(3ω nTp ) o częstotliwości f=3Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz
t
t
f
1
2
3 4
oraz sumę sygnałów x1 i x2
x3 [ n ] = x1 [ n ] + x2 [ n ] = sin(ω nTp ) + sin(3ω nTp )
x3[n]=x1[n]+x2[n]
y3[n]
|Y3[m]|
0.5
t
Z wykresu czasowego oraz widmowego widać, że sygnał y3 stanowi sumę
sygnałów y1 i y2 (sumowanie próbka po próbce, suma dwóch harmonicznych,
pierwszej i trzeciej).
t
f
1
2
3 4
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-3-
Przykład systemu nieliniowego
y [ n] =
( x [ n ])
2
System cyfrowy jest zdefiniowany w ten sposób, że każda próbka podana
na jego wejście zostanie podniesiona do kwadratu. Podamy na wejście
układu dyskretne sygnały sinusoidalne
x1[n]
y1[n]
|Y1[m]|
0.5
x1 [ n ] = sin(ω nTp ) o częstotliwości f=1Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz
t
t
x2 [ n ] = sin(3ω nTp ) o częstotliwości f=3Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz
Obliczymy przebiegi wyjściowe y1 i y2
x2[n]
( x [ n]) = sin(ω nT ) ⋅ sin(ω nT )
y [ n ] = ( x [ n ]) = sin(3ω nT ) ⋅ sin(3ω nT )
y1 [ n ] =
y2[n]
2
3
4
5
6
3 4
5
6
3 4
5
6
|Y2[m]|
2
1
p
p
0.5
2
2
f
1
2
p
t
p
t
f
1
2
Wykorzystując przekształcenia trygonometryczne
1
y1 [ n ] = 1 − cos(2ω nTp ) 
2
1
y2 [ n ] = 1 − cos(6ω nTp ) 
2
x3[n]=x1[n]+x2[n]
y3[n]
|Y3[m]|
0.5
Jeżeli sygnałem wejściowym będzie suma sygnałów x1 i x2 otrzymamy:
t
t
f
1
2
1
1
y3 [ n ] = 1 − cos(2ω nTp )  +  cos(2ω nTp ) − cos(4ω nTp )  + 1 − cos(6ω nTp ) 
2
2
Zauważmy, że w sygnale wyjściowym y3 pojawiają się harmoniczne, które nie występują w żadnym sygnale wejściowym (2,4).
Równanie definiujące liniowość nie jest zatem spełnione. System jest nieliniowy.
W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać tylko systemy liniowe
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-4-
W systemie niezmiennym w czasie przesunięcie w czasie w ciągu
wejściowym powoduje równoważne przesunięcie w ciągu wyjściowym1.
x1[n]
y1[n]
Jeżeli reakcją układu na wymuszenie x będzie odpowiedź y
0.5
x [ n ] 
→ y [ n]
system
t
t
to na wymuszenie x przesunięte w czasie (o k próbek) układ odpowie
sygnałem y tak samo opóźnionym
system
x [ n − k ] 
→ y [n − k ]
x'1[n]
y'1[n]
Przykład systemu niezmiennego w czasie
x [ n]
y [ n] = −
2
0.5
t
t
system
x ' [ n ] = x [ n + 4] 
→ y ' [ n ] = y [ n + 4]
Przykładem procesu cyfrowego przetwarzania nie spełniającego warunku niezmienności w czasie jest podpróbkowywanie
(wybieranie niektórych próbek przebiegu).
Dalej będziemy rozpatrywać tylko systemy niezmienne w czasie
1
Czasami można spotkać definicję stacjonarności jako brak zmian parametrów układu w czasie. Jednak taka definicja nie jest kompletna.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-5-
Analiza systemów LTI
Dzięki właściwościom systemów LTI, można w prosty sposób przewidywać ich funkcjonowanie. Pełną informację o systemie
gwarantuje znajomość odpowiedzi impulsowej.
Odpowiedź impulsowa systemu jest to sygnał (ciąg ) wyjściowy w dziedzinie czasu, gdy sygnałem wejściowym jest impuls
jednostkowy, tzn. sygnałem wejściowym jest pojedyncza próbka o wartości jeden, natomiast wszystkie próbki przed i po niej mają wartość
równą zero.
x[n]
y[n]
1
x[n]
liniowy
system
dyskretny
y[n]
t
0
t
0
Znając odpowiedź impulsową systemu LTI, można określić odpowiedź dla dowolnego sygnału wejściowego jako splot tego sygnału
z odpowiedzią impulsową.
Odpowiedź impulsowa umożliwia wyznaczenie transmitancji widmowej systemu LTI, oraz analizę systemu w dziedzinie
częstotliwości.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-6-
1.2. Sygnały
Termin przetwarzanie sygnałów należy rozumieć jako analizowanie zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Ze względu na typ reprezentacji sygnałów w dziedzinie czasu przetwarzanie dzieli się na:
• analogowe przetwarzanie sygnałów2 (sygnały o czasie ciągłym, syg. analogowe)
Zmienna niezależna czasu jest ciągła.
• cyfrowe przetwarzanie sygnałów (sygnały o czasie dyskretnym, syg. dyskretne) W tym przypadku zmienna niezależna czasu jest
kwantowana, tak że otrzymuje się wartości sygnału w dyskretnych punktach. Sygnał jest reprezentowany jako ciąg wartości.
Oprócz kwantowania osi czasu, sygnał dyskretny może mieć kwantowane wartości, taki sygnał nazywany jest sygnałem cyfrowym.
Sygnały analogowe
Sygnałem analogowym określamy sygnał ciągły w
czasie, który może przyjmować ciągły zakres wartości
chwilowej. Przykładem jest napięcie podawane na
wejście oscyloskopu, dając na jego ekranie obraz
przebiegu jako ciągłą w czasie funkcję. Elektryczne
sygnały analogowe przetwarza się w układach
analogowych takich jak np. rezystory, kondensatory,
filtry analogowe, wzmacniacze operacyjne itd. , lub
przetwarza się je do postaci dyskretnej (próbkuje).
f(t)
f(t0)
t
0
t0
Rys.1 Sygnał analogowy
2
Termin analogowy wywodzi się od elektronicznych komputerów analogowych, które rozwiązywały złożone układy równań różniczkowych. Wykorzystywano
analogie badanych modeli matematycznych do modeli elektrycznych.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-7-
Sygnały dyskretne
f[n]
f[k]
n
0
k
Tp
Rys.2 Sygnał dyskretny
Wykorzystując przetworniki analogowo-cyfrowe3 sygnały analogowe próbkuje się w równych odstępach czasu. Przedział czasu Tp
pomiędzy kolejnymi próbkami nazywa się okresem próbkowania. Otrzymuje się sygnał dyskretny jako ciąg wartości, które są
indeksowane za pomocą liczb całkowitych:
f [ n ] = f (nTp )
Częstotliwość próbkowania fp jest równa odwrotności okresu próbkowania:
1
Tp
Wybór wartości częstotliwości próbkowania zależy od własności widmowych przetwarzanego sygnału analogowego oraz specyfiki procesu
próbkowania.
fp =
3
Patrz temat dotyczący budowy i działania przetworników A/C
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-8-
Wybrane parametry sygnału:
Parametr
Sygnał ciągły x(t)
Wartość średnia
sygnału w przedziale
1 2
x=
x ( t ) dt
t2 − t1 ∫t1
t
+∞
Ex =
Energia sygnału
∫
x ( t ) dt
2
n2
1
x=
∑ x [ n]
n2 − n1 − 1 n=n1
Ex =
−∞
t
Moc średnia sygnału
w przedziale
Sygnał ciągły x[n]
∞
∑ x [ n]
2
n =−∞
1 2 2
Px ( t1 , t2 ) = x =
x ( t ) dt
t2 − t1 ∫t1
n2
1
Px ( n1 , n2 ) = x =
x2 [ n]
∑
n2 − n1 − 1 n=n1
X sk = Px
X sk = Px
Wartość skuteczna
sygnału
w01_p1.m, w02_p2.m ( przykłady w Matlabie)
2
2
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-9-
Matematyczna reprezentacja sygnału dyskretnego
Matematycznie proces próbkowania polega pomnożeniu sygnału analogowego f(t) z nieskończonym szeregiem impulsów (delt)
Diraca d(t). Impulsy w takim szeregu powtarzają się z okresem Tp .
Szereg impulsów Diraca opisuje zależność:
∞
d ( t ) = ∑ δ ( t − nTp )
−∞
Na wykresie przedstawia się taki szereg w postaci strzałek o jednostkowej długości ( jest to miara pola powierzchni delty), oddalonych od
siebie o stały przedział czasu równy Tp (okres próbkowania).
d(t)
δ (t − nT p )
1
t
0
t0 = nT p
Tp
Rys.3 Szereg impulsów Diraca
Zatem sygnał dyskretny (ozn. f*(t) ) opisuje zależność:
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-10-
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )
∞
f * ( t ) = f ( t ) ⋅ ∑ δ ( t − nTp )
−∞
Wykorzystując własność filtracyjną delty Diraca otrzymujemy wyrażenie opisujące sygnał dyskretny:
∞
f * ( t ) = ∑ f ( nTp ) ⋅ δ ( t − nTp )
−∞
Zapis ten należy interpretować jako szereg impulsów Diraca o polach równych wartościom próbkowanej funkcji analogowej w punktach,
w których znajdują się delty szeregu d(t).
f*(t)
f (nTp )⋅ δ (t − nTp )
t
0
Widmo sygnału dyskretnego. F{ f * ( t )}
t0 = nTp
Rys.4 Sygnał dyskretny
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-11-
Analiza sygnałów w dziedzinie częstotliwości pozwala na lepiej rozumieć zagadnienia przetwarzania sygnałów. Przetwarzaniu
sygnałów dyskretnych, technikami Fouriera będą poświęcone osobne wykłady wyjaśniające zagadnienia dyskretnej transformaty Fouriera
(DFT oraz FFT). Tu wykorzystamy znane już ciągłe przekształcenie Fouriera.
Widmo delty Diraca zgodnie z definicją przekształcenia Fouriera wynosi:
∞
F{δ ( t )} = ∫ δ ( t ) e − jωt dt = 1
−∞
F →1
δ ( t ) 
Pary transformat wynikające z właściwości przekształcenia Fouriera:
F→ e − jωT
δ ( t − T ) 
F→ 2πδ ω
1 
( )
F→ 2πδ ω − ω
e jω t 
(
0)
0
Widmo przebiegu okresowego, pozwala zauważyć charakterystyczną właściwość widma sygnału dyskretnego. Wykorzystamy zespolony
szereg Fouriera.
Przebieg okresowy f(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera ma postać
f (t ) =
Jego transformata Fouriera
∞
∑ce
k =−∞
k
jkω0t
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-12-
{
F ( jω ) = F
F ( jω ) =
∞
∑ce
k =−∞
jkω0t
k
∞
}
∑ c F{e ω }
k =−∞
F ( jω ) = 2π
jk
0t
k
∞
∑ c δ (ω + kω )
k =−∞
k
0
gdzie
1T
c k = ∫ f ( t ) e − jkω t dt
T0 0
0
0
ω0 =
2π
T0
współczynniki szeregu
t
ω
odstępy między impulsami widma
t
ω
Wynika z tego, że widmo dowolnego sygnału okresowego,
opisuje szereg impulsów Diraca oddalonych od siebie o stałą
wartość ω0 i o polach równych odpowiednio 2π c k .
Wykorzystując właściwość symetrii przekształcenia Fouriera można stwierdzić, że sygnał złożony z impulsów Diraca odległych od
siebie o stałą wartość (sygnał dyskretny) posiada okresowe widmo. Ta właściwość charakterystyki widmowej sygnału dyskretnego, ma
swoje ważne konsekwencje w teorii próbkowania.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-13-
Szereg impulsów Diraca rozpatrzymy jako szczególny przypadek przebiegu okresowego
d (t ) =
∞
∑ δ ( t − kT )
p
k =−∞
Po przedstawieniu d(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera
d (t ) =
∞
∑ce
k =−∞
jkω p t
k
współczynniki tego szeregu wynoszą
Tp / 2
1
1
− jω kt
ck =
δ
t
e
d
t
=
(
)
∫
Tp − T / 2
Tp
p
p
Stąd charakterystyka widmowa szeregu impulsów Diraca przyjmuje postać
D ( jω ) =
2π
Tp
∞

k =−∞

∑ δ  ω + k
2π
Tp



Transformata Fouriera szeregu impulsów Diraca powtarzających się z okresem Tp (w dziedzinie czasu) jest również szeregiem
impulsów Diraca powtarzających się z okresem 2π / Tp (w dziedzinie częstotliwości). Ważne spostrzeżenie, że zmniejszając odstępy między
impulsami w dziedzinie czasu ( większa częstotliwość próbkowania ) zwiększają się odstępy miedzy deltami w dziedzinie częstotliwości
(i odwrotnie). Ta prosta zależność ma fundamentalne znaczenie podczas realizacji zadania próbkowania przebiegów analogowych.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-14-
Do obliczenia transformaty Fouriera sygnału dyskretnego F{ f * ( t )} wykorzystamy wcześniejsze zależności.
Transformata Fouriera iloczynu dwóch przebiegów ( twierdzenie o splocie z dziedzinie częstotliwości ):
F{ f ( t ) ⋅ d ( t )} =
F{ f * ( t )} =
1
F{ f ( t )} ∗ F{d ( t )}
2π
1
F{ f ( t )} ∗ F{d ( t )}
2π
W uproszczonej postaci zapiszemy transformatę Fouriera sygnału dyskretnego jako
F * ( jω ) =
1
F ( jω ) ∗ D ( jω )
2π
oraz znając transformatę szeregu impulsów Diraca otrzymamy:
F * ( jω ) = F ( jω ) ∗
1 ∞ 
2π
δ  ω + k
∑
Tp k =−∞ 
Tp



Pamiętamy, że splot funkcji z impulsem Diraca powoduje przesunięcie tej funkcji do punktu, w którym znajduje się delta.
Dodatkowo jeżeli funkcja splatana jest z szeregiem impulsów, to następuje powielanie tej funkcji i przesuwanie powieleń do miejsc, w
których znajdują się impulsy Diraca.
Wnioskujemy zatem, że widmo sygnału dyskretnego powstaje w wyniku powielania widma sygnału analogowego nieskończoną ilość razy i
przesuwania tych powieleń o wielokrotności ωp.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
-15-
ωp =
2π
Tp
f(t)
Transformata Fouriera sygnału dyskretnego ma zatem następującą postać:
f(t)
ω
t

1
2π 
F * ( jω ) = ∑ F  jω + jk

Tp k =−∞ 
Tp 
∞
0
0
D(ω)
d(t)
Operację próbkowania sygnału analogowego f(t) można przedstawić
graficznie w postaci wykresów w dziedzinie czasu i częstotliwości.
2π
1
ω
t
0
0
ωp
Tp
Jak wynika z wyprowadzeń postać widma sygnału dyskretnego
zależy od częstotliwości próbkowania. W niektórych wypadkach
w wyniku powieleń i przesunięć widma sygnału analogowego,
może występować nakładanie się powieleń. Ten niepożądany
efekt nazywany aliasingiem wymusza stosowanie dodatkowej
filtracji analogowej (filtry antyaliasingowe) oraz odpowiednich
technik próbkowania.
f*(t)
F*(ω)
ω
t
0
0
ωp
Rys 5. Graficzne przedstawienie operacji próbkowania