1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) (1w=2h)

Transkrypt

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-1-
1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) (1w=2h)
1.1. Systemy LTI
Pojęcie systemy LTI oznacza liniowe systemy niezmienne w czasie (ang. Linear Time
- Invariant ). W literaturze polskiej częściej używa się terminu SLS ( systemy liniowo
stacjonarne). Rozumienie pojęcia liniowości i stacjonarności pozwala na identyfikację klasy
systemu i przyjęcie odpowiednich metod analizy.
Termin systemy liniowe definiuje klasę systemów, w których odpowiedź (sygnał
wyjściowy) jest superpozycją składowych stanowiących odpowiedzi systemu na pojedyncze
składowe wymuszenia (sygnału wejściowego).
x[n]
liniowy
system
dyskretny
y[n]
Założymy, że jeżeli na wejście systemu podamy sygnał x1[n] to na wyjściu otrzymamy
sygnał y1[n] oraz jeżeli na wejście systemu podamy sygnał x2[n] to na wyjściu otrzymamy
sygnał y2[n].
system
x1 [n] 
→ y1 [n]
system
x2 [n] 
→ y 2 [n]
Jeżeli system jest liniowy to spełniony jest warunek addytywności oraz jednorodności
system
a ⋅ x1 [n] + b ⋅ x2 [n] 
→ a ⋅ y1 [n] + b ⋅ y 2 [n]
Inaczej mówiąc sygnał wyjściowy y1 zależy wyłącznie od sygnału wejściowego x1
oraz charakterystyk systemu, nie zależy natomiast od żadnego innego sygnału wejściowego.
-2-
Przykład dyskretnego systemu liniowego
y[n ] = −
x[n]
2
System cyfrowy jest zdefiniowany w ten sposób, że każda próbka podana na jego
wejście zmieni znak i zmniejszy swoją wartość dwukrotnie. Podamy na wejście układu
dyskretne sygnały sinusoidalne
x1 [n] = sin(ωnT p ) o częstotliwości f=1Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz
x2 [n] = sin(3ωnT p ) o częstotliwości f=3Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz
oraz sumę sygnałów x1 i x2
x3 [n ] = x1 [n] + x2 [n] = sin(ωnT p ) + sin(3ωnT p )
x1[n]
y1[n]
|Y1[m]|
0.5
t
t
f
1
x2[n]
y2[n]
2
3 4
|Y2[m]|
0.5
t
t
f
1
x3[n]=x 1[n]+x2[n]
y3[n]
2
3 4
|Y3[m]|
0.5
t
t
f
1
2
3 4
Z wykresu czasowego oraz widmowego widać, że sygnał y3 stanowi sumę sygnałów y1
i y2 (sumowanie próbka po próbce, suma dwóch harmonicznych, pierwszej i trzeciej).
-3-
Przykład systemu nieliniowego
y[n ] = ( x[n])
2
System cyfrowy jest zdefiniowany w ten sposób, że każda próbka podana na jego
wejście zostanie podniesiona do kwadratu. Podamy na wejście układu dyskretne sygnały
sinusoidalne
x1 [n] = sin(ωnT p ) o częstotliwości f=1Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz
x2 [n] = sin(3ωnT p ) o częstotliwości f=3Hz próbkowany z częstotliwością fp=20Hz
x1[n]
y1[n]
|Y1[m]|
0.5
t
t
f
1
x2[n]
y2[n]
2
3
4
5
6
|Y2[m]|
0.5
t
t
f
1
x3[n]=x 1[n]+x2[n]
y3[n]
2
3 4
5
6
|Y3[m]|
0.5
t
t
f
1
Obliczymy przebiegi wyjściowe y1 i y2
x1 [n] = sin(ωnT p )
2
3 4
5
6
-4-
y1 [n ] = ( x1 [n]) = sin(ωnT p ) ⋅ sin(ωnT p )
2
Wykorzystując przekształcenia trygonometryczne
sin (α ) ⋅ sin (β ) =
1
[cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
Otrzymujemy pierwszy przebieg wyjściowy
y1 [n] =
[
1
1 − cos(2ωnT p )
2
]
oraz analogicznie drugi przebieg wyjściowy
y 2 [n] =
[
1
1 − cos(6ωnT p )
2
]
Jeżeli sygnałem wejściowym będzie suma sygnałów x1 i x2
x3 [n ] = x1 [n] + x2 [n] = sin(ωnT p ) + sin(3ωnT p )
otrzymamy:
y3 [n] = ( x1 [n] + x2 [n])
2
y3 [n] = ( x1 [n]) + 2 x1 [n]x2 [n] + ( x2 [n])
2
2
stąd
y3 [n ] =
[
] [
] [
1
1
1 − cos(2ωnT p ) + cos(2ωnT p ) − cos(4ωnT p ) + 1 − cos(6ωnT p )
2
2
]
Zauważmy, że w sygnale wyjściowym y3 pojawiają się harmoniczne, które nie
występują w żadnym sygnale wejściowym (2,4). Równanie definiujące liniowość nie jest
zatem spełnione. System jest nieliniowy.
Systemy nieliniowe są trudne do analizowania, są jednak sporadycznie
wykorzystywane w praktyce cyfrowego przetwarzania sygnałów. Przykładem mogą być
nieliniowe filtry cyfrowe.
W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać tylko systemy liniowe.
-5-
W systemie niezmiennym w czasie przesunięcie w czasie w ciągu wejściowym
powoduje równoważne przesunięcie w ciągu wyjściowym1.
Jeżeli reakcją układu na wymuszenie x będzie odpowiedź y
system
x[n] 
→ y[n]
to na wymuszenie x przesunięte w czasie (o k próbek) układ odpowie sygnałem y tak samo
opóźnionym
system
x[n − k ] 
→ y[n − k ]
Przykład systemu niezmiennego w czasie
y[n ] = −
x[n]
2
system
x ' [n] = x[n + 4] 
→ y ' [n] = y[n + 4]
x1[n]
y1[n]
0.5
t
x'1[n]
t
y'1[n]
0.5
t
t
Przykładem procesu cyfrowego przetwarzania nie spełniającego warunku
niezmienności w czasie jest podpróbkowywanie (wybieranie niektórych próbek przebiegu).
Dalej będziemy rozpatrywać tylko systemy niezmienne w czasie
1
Czasami można spotkać definicję stacjonarności jako brak zmian parametrów układu w czasie. Jednak taka
definicja nie jest kompletna.
-6-
Analiza systemów LTI
Dzięki właściwościom systemów LTI, można w prosty sposób przewidywać ich
funkcjonowanie. Pełną informację o systemie gwarantuje znajomość odpowiedzi impulsowej.
Odpowiedź impulsowa systemu jest to sygnał (ciąg ) wyjściowy w dziedzinie czasu,
gdy sygnałem wejściowym jest impuls jednostkowy, tzn. sygnałem wejściowym jest
pojedyncza próbka o wartości jeden, natomiast wszystkie próbki przed i po niej mają wartość
równą zero.
x[n]
liniowy
system
dyskretny
x[n]
y[n]
y[n]
1
t
0
t
0
Znając odpowiedź impulsową systemu LTI, można określić odpowiedź dla dowolnego
sygnału wejściowego jako splot tego sygnału z odpowiedzią impulsową.
Odpowiedź impulsowa umożliwia wyznaczenie transmitancji widmowej systemu LTI,
oraz analizę systemu w dziedzinie częstotliwości.
Systemy LTI mają użyteczną dla analizy właściwość przemienności, dzięki której
można zamieniać kolejność połączonych szeregowo bloków systemu, bez wpływu na sygnał
wyjściowy.
-7-
1.2. Sygnały
Termin przetwarzanie sygnałów należy rozumieć jako analizowanie zmiennych w czasie
procesów fizycznych.
Ze względu na typ reprezentacji sygnałów w dziedzinie czasu przetwarzanie dzieli się na:
•
analogowe przetwarzanie sygnałów2 (sygnały o czasie ciągłym, syg. analogowe)
Zmienna niezależna czasu jest ciągła.
•
cyfrowe przetwarzanie sygnałów (sygnały o czasie dyskretnym, syg. dyskretne)
W tym przypadku zmienna niezależna czasu jest kwantowana, tak że otrzymuje się
wartości sygnału w dyskretnych punktach. Sygnał jest reprezentowany jako ciąg
wartości.
Oprócz kwantowania osi czasu, sygnał dyskretny może mieć kwantowane wartości,
taki sygnał nazywany jest sygnałem cyfrowym.
Sygnały analogowe
f(t)
f(t0)
t
0
t0
Rys.1 Sygnał analogowy
Sygnałem analogowym określamy sygnał ciągły w czasie, który może przyjmować ciągły
zakres wartości chwilowej. Przykładem takiego sygnału jest napięcie podawane na wejście
oscyloskopu, dając na jego ekranie obraz przebiegu jako ciągłą w czasie funkcję. Elektryczne
sygnały analogowe przetwarza się w układach analogowych takich jak np. rezystory,
kondensatory, dławiki, transformatory, filtry analogowe, wzmacniacze operacyjne itd. , lub
przetwarza się je do postaci dyskretnej (próbkuje).
2
Termin analogowy wywodzi się od elektronicznych komputerów analogowych, które rozwiązywały złożone
układy równań różniczkowych. Wykorzystywano analogie badanych modeli matematycznych do modeli
elektrycznych.
-8-
Sygnały dyskretne
f[n]
f[k]
n
0
k
Tp
Rys.2 Sygnał dyskretny
Wykorzystując przetworniki analogowo-cyfrowe3 sygnały analogowe próbkuje się
w równych odstępach czasu. Przedział czasu Tp pomiędzy kolejnymi próbkami nazywa się
okresem próbkowania. Otrzymuje się sygnał dyskretny jako ciąg wartości, które są
indeksowane za pomocą liczb całkowitych:
f [n ] = f (nT p )
Częstotliwość próbkowania fp jest równa odwrotności okresu próbkowania:
fp =
1
Tp
Wybór wartości częstotliwości próbkowania zależy od własności widmowych
przetwarzanego sygnału analogowego oraz specyfiki procesu próbkowania.
Matematyczna reprezentacja sygnału dyskretnego
Matematycznie proces próbkowania polega pomnożeniu sygnału analogowego f(t)
z nieskończonym szeregiem impulsów (delt) Diraca d(t). Impulsy w takim szeregu
powtarzają się z okresem Tp .
Szereg impulsów Diraca opisuje zależność:
∞
d (t ) = ∑ δ (t − nT p )
−∞
Na wykresie przedstawia się taki szereg w postaci strzałek o jednostkowej długości ( jest to
miara pola powierzchni delty), oddalonych od siebie o stały przedział czasu równy Tp (okres
próbkowania).
3
Patrz temat dotyczący budowy i działania przetworników A/C
-9-
δ (t − nT p )
d(t)
1
t
0
t0 = nTp
Tp
Rys.3 Szereg impulsów Diraca
Zatem sygnał dyskretny (ozn. f*(t) ) opisuje zależność:
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )
∞
f * (t ) = f (t ) ⋅ ∑ δ (t − nT p )
−∞
Wykorzystując własność filtracyjną delty Diraca otrzymujemy wyrażenie opisujące sygnał
dyskretny:
∞
f * (t ) = ∑ f (nT p )⋅ δ (t − nT p )
−∞
Zapis ten należy interpretować jako szereg impulsów Diraca o polach równych wartościom
próbkowanej funkcji analogowej w punktach, w których znajdują się delty szeregu d(t).
f (nTp )⋅ δ (t − nTp )
f*(t)
t
0
t0 = nTp
Rys.4 Sygnał dyskretny
-10-
Widmo sygnału dyskretnego. F { f * (t )}
Analiza sygnałów w dziedzinie częstotliwości pozwala na lepiej rozumieć zagadnienia
przetwarzania sygnałów. Przetwarzaniu sygnałów dyskretnych, technikami Fouriera będą
poświęcone osobne wykłady wyjaśniające zagadnienia dyskretnej transformaty Fouriera
(DFT oraz FFT). Tu wykorzystamy znane już ciągłe przekształcenie Fouriera.
Widmo delty Diraca zgodnie z definicją przekształcenia Fouriera wynosi:
∞
F {δ (t )} = ∫ δ (t )e − jωt dt = 1
−∞
F 1
δ (t ) →
Pary transformat wynikające z właściwości przekształcenia Fouriera:
F e − jωT
δ (t − T ) →
F 2πδ (ω )
1 →
F 2πδ (ω − ω
e jω0t →
0
)
Widmo przebiegu okresowego, pozwala zauważyć charakterystyczną właściwość widma
sygnału dyskretnego. Wykorzystamy zespolony szereg Fouriera.
Przebieg okresowy f(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera ma postać
f (t ) =
∞
∑c e
k = −∞
jkω 0t
k
Jego transformata Fouriera
 ∞

F ( jω ) = F  ∑ c k e jkω 0t 
k =−∞

F ( jω ) =
∑ c F {e
∞
k = −∞
k
jkω 0t
}
F ( jω ) = 2π
∞
∑ c δ (ω + kω )
k = −∞
k
0
gdzie
T
1 0
c k = ∫ f (t )e − jkω0t dt
T0 0
2π
ω0 =
T0
współczynniki szeregu
odstępy między impulsami widma
Wynika z tego, że widmo dowolnego sygnału okresowego, opisuje szereg impulsów
Diraca oddalonych od siebie o stałą wartość ω0 i o polach równych odpowiednio 2π c k .
-11-
ω
t
ω
t
Wykorzystując właściwość symetrii przekształcenia Fouriera można stwierdzić, że
sygnał złożony z impulsów Diraca odległych od siebie o stałą wartość (sygnał dyskretny)
posiada okresowe widmo. Ta właściwość charakterystyki widmowej sygnału dyskretnego, ma
swoje ważne konsekwencje w teorii próbkowania.
Szereg impulsów Diraca rozpatrzymy jako szczególny przypadek przebiegu okresowego
d (t ) =
∞
∑ δ (t − kT )
p
k = −∞
Po przedstawieniu d(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera
d (t ) =
∞
∑c e
k = −∞
jkω p t
k
współczynniki tego szeregu wynoszą
1
ck =
Tp
Tp / 2
∫ δ (t )e
− jω p kt
dt =
−T p / 2
1
Tp
Stąd charakterystyka widmowa szeregu impulsów Diraca przyjmuje postać
D ( jω ) =
2π
Tp
∞

k = −∞

2π 

p 
∑ δ ω + k T
Transformata Fouriera szeregu impulsów Diraca powtarzających się z okresem
Tp (w dziedzinie czasu) jest również szeregiem impulsów Diraca powtarzających się z
okresem 2π / T p (w dziedzinie częstotliwości). Ważne spostrzeżenie, że zmniejszając odstępy
między impulsami w dziedzinie czasu ( większa częstotliwość próbkowania ) zwiększają się
odstępy miedzy deltami w dziedzinie częstotliwości (i odwrotnie). Ta prosta zależność ma
fundamentalne znaczenie podczas realizacji zadania próbkowania przebiegów analogowych.
-12-
Do obliczenia transformaty Fouriera sygnału dyskretnego F { f * (t )} wykorzystamy
wcześniejsze zależności.
Transformata Fouriera iloczynu dwóch przebiegów ( twierdzenie o splocie z dziedzinie
częstotliwości ):
F { f (t ) ⋅ d (t )} =
F { f * (t )} =
1
F { f (t )}∗ F {d (t )}
2π
1
F { f (t )}∗ F {d (t )}
2π
W uproszczonej postaci zapiszemy transformatę Fouriera sygnału dyskretnego jako
F * ( jω ) =
1
F ( jω ) ∗ D ( jω )
2π
oraz znając transformatę szeregu impulsów Diraca otrzymamy:
F * ( jω ) = F ( jω ) ∗
1
Tp
∞

k = −∞

2π 

p 
∑ δ  ω + k T
Pamiętamy, że splot funkcji z impulsem Diraca powoduje przesunięcie tej funkcji do
punktu, w którym znajduje się delta. Dodatkowo jeżeli funkcja splatana jest z szeregiem
impulsów, to następuje powielanie tej funkcji i przesuwanie powieleń do miejsc, w których
znajdują się impulsy Diraca.
Wnioskujemy zatem, że widmo sygnału dyskretnego powstaje w wyniku powielania
widma sygnału analogowego nieskończoną ilość razy i przesuwania tych powieleń o
wielokrotności ωp.
ωp =
2π
Tp
Transformata Fouriera sygnału dyskretnego ma zatem następującą postać:
F * ( jω ) =
1
Tp
∞

k = −∞

2π 

p 
∑ F  jω + jk T
Operację próbkowania sygnału analogowego f(t) można przedstawić graficznie w postaci
wykresów w dziedzinie czasu i częstotliwości.
-13-
f(t)
f(t)
ω
t
0
0
D(ω)
d(t)
2π
1
ω
t
0
0
ωp
Tp
f*(t)
F*(ω)
ω
t
0
0
ωp
Rys 5. Graficzne przedstawienie operacji próbkowania
Jak wynika z wyprowadzeń postać widma sygnału dyskretnego zależy od częstotliwości
próbkowania. W niektórych wypadkach w wyniku powieleń i przesunięć widma sygnału
analogowego, może występować nakładanie się powieleń. Ten niepożądany efekt nazywany
aliasingiem wymusza stosowanie dodatkowej filtracji analogowej (filtry antyaliasingowe)
oraz odpowiednich technik próbkowania.
( koniec)

1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) (1w=2h)

Transkrypt

Podobne dokumenty

1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS)

Zadania powtórzeniowe z Analizy Sygnałów. Seria 2

Instrukcja do ćwiczenia „SYGNAŁY”

ONA8-DSP

Cyfrowe przetwarzanie sygnału

przykładowe pytania

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Parametry Sygnałów

Analiza częstotliwościowa

Ćwiczenie 1 Karta Pomiarowa