do druku

Wyznacznik (powtórzenie)
DEFINICJA: Niech A będzie macierzą kwadratową. Oznaczmy przez Aij macierz
powstałą z A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny:


a11 a12 . . . a1j . . . a1n
 a21 a22 . . . a2j . . . a2n 


 ... ... ... ... ... ... 
def


Aij = 

a
a
.
.
.
a
.
.
.
a
i1
i2
ij
in


 ... ... ... ... ... ... 
an1 an2 . . . anj . . . ann
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij w macierzy A nazywamy liczbę
i+j
· det Aij
Dij def
= (−1)
DEFINICJA:
M
Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n = 1: det[a] def
= a.
Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n ­ 2:
def
det A =
n
X
a1i · D1i
i=1
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 2
Układy równań – liczba rozwiązań
DEFINICJA:
M
Układ równań A × X = B jest jednorodny , jeśli B = O (zerowy wektor
kolumnowy); w przeciwnym razie jest niejednorodny .
Niezerowy wyznacznik:
Niech A będzie macierzą kwadratową.
Jeśli det A 6= 0, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania
A × X = B (dla dowolnego wektora kolumnowego B).
Jeśli det A 6= 0, to jedynym
A × X = O jest X = O.
rozwiązaniem
układu
jednorodnego
Fakt:
M
X = O nigdy nie jest rozwiązaniem równania niejednorodnego
A × X = B dla B 6= O.
Układy równań – liczba rozwiązań
Zerowy wyznacznik:
Jeśli det A = 0, to X = O nadal jest rozwiązaniem równania jednorodnego
A × X = O, ale istnieją jeszcze inne rozwiązania.
Ile jest tych rozwiązań?
— nieskończenie wiele, ale. . . (patrz dalej).
Fakt:
M
Jeśli
• X1 jest rozwiązaniem równania niejednorodnego A × X = B,
• X0 jest rozwiązaniem równania jednorodnego A × X = O,
to
X1 + X0 jest rozwiązaniem równania niejednorodnego A × X = B.
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 4
Układy równań – liczba rozwiązań
Przykład:


1 2 3


M
A1 def
=  2 3 1 
3 1 2
det A1 = −18 6= 0
Jedynym rozwiązaniem równania A1 × X = O
jest X = O.
Przykład:


1 2
3
det A2 = 0

1 
M
A2 def

=  2 3
Istnieje więcej rozwiązań równania A2 × X = O:
3 1 −16
7 · (wiersz 1) − 5 · (wiersz 2) = −1 · (wiersz 3)
wobec tego jedno z równań jest niepotrzebne i można dowolnie ustalić
wartość jednej zmiennej:
1·x + 2·y = −3·z
2·x + 3·y = −1·z
"
#
12
Ponieważ det
= −1 6= 0,
23
więc po dowolnym ustaleniu wartości zmiennej z
układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Układy równań – liczba rozwiązań
Przykład:


3 6 9


M
A3 def
=  5 10 15 
2 4 6
det A3 = 0
Istnieje więcej rozwiązań równania A3 × X = O:
5 · (wiersz 1) = 3 · (wiersz 2)
2 · (wiersz 2) = 5 · (wiersz 3)
wobec tego dwa z równań są niepotrzebne i można dowolnie ustalić wartość
dwóch zmiennych:
Ponieważ det[3] = 3 6= 0,
więc po ustaleniu wartości zmiennych y i z
układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
3·x = −6·y −9·z
W ogólnym przypadku
wartości ilu zmiennych można ustalić dowolnie?
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 6
Rząd macierzy
DEFINICJA:
M
Przez kombinację liniową wektorów


a11
a 
21 
v1 = 


· · · 
an1


a12
a 
22 
v2 = 


· · · 
an2
...
rozumiemy dowolną sumę


a1k
a 
2k 
vk = 


· · · 
ank
v1 · x1 + v2 · x2 + . . . + vk · xk
gdzie współczynniki x1 ,x2 ,. . . ,xk są jakimiś liczbami rzeczywistymi.
Wektory v1 ,v2 ,. . . ,vk są liniowo zależne, jeśli istnieje ich kombinacja liniowa
równa wektorowi zerowemu:
v1 · x1 + v2 · x2 + . . . + vk · xk = O
której nie wszystkie współczynniki są zerowe: xi 6= 0 dla pewnego i.
Rząd macierzy
Fakt: Wektory v1 ,v2 ,. . . ,vn są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy,
gdy zestawiona z nich macierz ma wyznacznik równy zeru.
Przykład:
M 
     

1
2
3
1 2 3
     


det  2 3 1  = −18 6= 0, więc wektory 2, 3 i 1 są lin. niezależne.
3
1
2
3 1 2
Przykład:
M 

 
1 2
3
1


 
1  = 0, więc wektory 2,
det  2 3
3 1 −16
3
 


2
3
  
1
 są lin. zależne.
3 i 
1
−16
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 8
Rząd macierzy
Fakt: Wektory v1 ,v2 ,. . . ,vk (k może nie być równe n) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacją liniową
pozostałych.
   
 
1
2
3
     
Przykład: Ponieważ wektory 2, 3 i 1 są liniowo niezależne, żad3
1
2
nego nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej pozostałych.
   


1
2
3

    
Przykład: Wektory 2, 3 i  1 są liniowo zależne; trzeci można
3
1
−16
wyrazić jako kombinację liniową dwóch pierwszych:
 
 


1
2
3
 
 

1
2 · (−7) + 3 · 5 = 

3
1
−16
Rząd macierzy
Fakt: Wektory v1 ,v2 ,. . . ,vk (k może nie być równe n) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacją liniową
pozostałych.
  



3
6
9
     
Przykład: Wektory 5, 10 i 15 są liniowo zależne; trzeci i drugi
2
4
6
można wyrazić jako kombinację liniową pierwszego:
 


 
3
6
 
 
5 · 2 = 10
2
4


3
9
 
 
5 · 3 = 15
2
6
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 10
Rząd macierzy
DEFINICJA:
M
Rzędem macierzy o wymiarze m × n nazywamy maksymalną liczbę liniowo
niezależnych kolumn tej macierzy.
Przykład:
M


1 2 3


A1 def
= 2 3 1 
3 1 2
rząd A1 = 3




1 2
3
3 6 9

def 
def 
1  A3 =  5 10 15 
A2 =  2 3

3 1 −16
2 4 6
rząd A2 = 2
rząd A3 = 1
Fakt: Rząd macierzy A jest równy największemu ze stopni podmacierzy
kwadratowych o niezerowych wyznacznikach wyciętych z A.
Rząd macierzy
Fakt: Rząd macierzy o wymiarze m × n
• jest niewiększy od m i niewiększy od n;
• nie ulega zmianie w wyniku:
– przemnożenia kolumny przez liczbę różną od 0,
– przestawienia kolumn,
– dodania do kolumny kombinacji liniowej innych kolumn,
– transpozycji macierzy.
Przykład:
M



rząd 


1
3
0
3
2
0
1
2
1 4
0 6
1 2
2 10
5
0
4
8






 = rząd 




1
2
1
4
5
0 −6 −3 −6 −15 


3  = 3
1
1
0
0
2
2 
0
0
0
0
0

Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 12
Układy równań – liczba rozwiązań
Niech A będzie macierzą m × k; mamy jednorodny układ równań:
A×X =O
Wartości ilu zmiennych można ustalić dowolnie
w rozwiązaniu tego układu?
Odpowiedź:
Układ wyznacza wartości rząd A zmiennych; wartości pozostałych można
przyjąć dowolnie.
Układy równań – liczba rozwiązań
Przykład:
1 2

 3 0
M
Ponieważ rząd 
 0 1

3 2
tości dwóch zmiennych;










1 4
0 6
1 2
2 10
np.:
5
0
4
8
x + 2y + z + 4·1 + 5·2
3x +
6·1
y + z + 2·1 + 4·2
3x + 2y + 2z + 10·1 + 8·2



 = 3 , możemy dowolnie przyjąć war

=0
= 0
=0
=0
Wtedy rozwiązanie:

x = −2

 y = −2
z = −8
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 14
Przestrzeń rozwiązań
def
B1 =
def
B2 =
"
"
1 4
2 3
#
rząd B1 = 2
Jakie są rozwiązania układu B1 × X = O ?
Jedyne: O.
1 3
2 6
#
rząd B2 = 1
Jakie są rozwiązania układu B2 × X = O ?
Cała prosta: x + 3y = 0 .
PP
·································
··· PPPP
PP
····
PP
·
PP
PP
PP
PP
PP
Przestrzeń rozwiązań


1 2 3
def 
C1 =  2 3 1 

3 1 2
rząd C1 = 3
Jakie są rozwiązania układu C1 × X = O ?
Jedyne: O.


3 −3
3
def 
5 
C2 =  5 −5

−2
2 −2
rząd C2 = 1
Jakie są rozwiązania układu C2 × X = O ?
Cała płaszczyzna: −x + y − z = 0 .
z
46
XXX
X
XXX XXXX
·
·
·
·
·
·
···· ···· X XXXX 2··· X
·
y X
4*
X
···· 3X
XX
XX X
X
X
··· X
2
1 X
X
1X
··X
·
····XX XXX X
X ··· X
···· XX
@ XXX
·· XX
···X
1@
·
·
·
·
·
@
···
2·@
3@
@
R
x
3
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 16
Przestrzeń rozwiązań

rząd C3 = 2
Jakie są rozwiązania
układu C3 × X = O ?
(
−x+y−z = 0
Cała prosta:
z= 0.

−1 1 −1
def 
2 
C3 =  −1 1

0 0
1
z
46
XXX
XX
XXXX XXX
XXX X
2
yX
XX X
4
*
X
X
XX XXX
@
3
X
2
@
@ 1 X
@ X
X
1X
X
XX @
@
@
X
X
XX
XX
@
X
@
@
X
X
X
@
X
@
X
X
X
@
@ X
X
@
X
@
X
X
@
X
X@
1@
X
@ @
X
X
@
@
@
2 @ @
@
3@
@
R
x
3
Układy równań – liczba rozwiązań
TWIERDZENIE:
M
Załóżmy, że A jest macierzą o wymiarach m × n i rząd A = k. Wtedy zbiór rozwiązań
układu jednorodnego A × X = O tworzy hiperpłaszczyznę (n − k)-wymiarową w
przestrzeni Rn .
TWIERDZENIE: (Kroneckera-Capellego)
M
Załóżmy, że A jest macierzą niejednorodnego układu m równań z n niewiadomymi
(czyli o wymiarach m × n) i że B = [b1 , b2 , . . . , bm ]T jest wektorem wyrazów wolnych.
Niech


a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 
będzie macierzą rozszerzoną o

A | B def
= 

 ...
... ... ... ...
kolumnę wyrazów wolnych.
am1 am2 . . . amn bm
Wtedy
• Jeśli rząd A = rząd (A | B) = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
(układ oznaczony).
• Jeśli rząd A = rząd (A | B) < n, to wartości (n − rząd A) niewiadomych można
przyjąć dowolnie (układ nieoznaczony).
• Jeśli rząd A < rząd (A | B), to układ nie ma rozwiązania (układ sprzeczny).
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 18
Przestrzeń wektorowa
DEFINICJA:
M
Rzeczywista przestrzeń wektorowa (lub rzeczywista przestrzeń liniowa) to
dowolny zbiór V (elementy nazywamy wektorami) z dwoma działaniami:
• dodawaniem wektorów: jeśli u ∈ V i v ∈ V , to u + v ∈ V , oraz
• mnożeniem liczby rzeczywistej przez wektor: jeśli a ∈ R i v ∈ V , to
a·v ∈V,
takimi, że spełnione są następujące warunki:
1. dodawanie jest przemienne: u + v = v + u;
2. dodawanie jest łączne: (u + v) + w = u + (v + w);
3. istnieje element O neutralny dla dodawania: v + O = v;
4. do każdego elementu v ∈ V istnieje element przeciwny −v ∈ V :
v + (−v) = O;
5. mnożenie przez 1 ∈ R jest identycznością na V : 1 · v = v;
6. mnożenie jest łączne: a · (b · v) = (a · b) · v;
7. mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
(a + b) · v = a · v + b · v oraz a · (u + v) = a · u + a · v.
Przestrzeń wektorowa
Przykład: (podstawowy)
n
o
n def
M
Zbiór R = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) xi ∈ R dla 1 ¬ i ¬ n jest przestrzenią wektorową z działaniami zdefiniowanymi następująco:
x + y def
= (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + xn )
r·x
def
= (r · x1 , r · x2 , . . . , r · xn )
Przykład:
M
Zbiór funkcji z R do R z działaniami
(f + g)(x) def
= f (x) + g(x)
(r · f )(x)
def
= r · f (x)
tworzy przestrzeń wektorową.
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 20
Przestrzeń wektorowa
Fakt: (własności działań)
M • 0 · v = O oraz r · O = O;
•
•
•
•
jeśli r 6= 0, to z r · v = r · u wynika v = u ;
jeśli v 6= O, to z r1 · v = r2 · v wynika r1 = r2 ;
(−r) · v = r · (−v);
(r1 − r2 ) · v = r1 · v − r2 · v .
DEFINICJA: (podprzestrzeń)
M
Podprzestrzeń przestrzeni liniowej V to taki podzbiór W ⊆ V , że
• v + u ∈ W dla dowolnych v, u ∈ W ,
• r · v ∈ W dla dowolnych r ∈ R i v ∈ W .
Przykład: Niech V będzie przestrzenią wektorową.
Zbiór {O} jest podprzestrzenią V .
Sam zbiór V jest podprzestrzenią V .
Przestrzeń wektorowa
Fakt:
M
Niech A będzie macierzą o wymiarach m × n. Zbiór rozwiązań układu
jednorodnego A × X = O jest podprzestrzenią przestrzeni Rn .
Fakt:
M
Jeśli V jest przestrzenią wektorową i v1 , v2 , . . . , vm ∈ V , to zbiór ich
wszystkich kombinacji liniowych
linn(v1 , v2 , . . . , vm ) def
=
o
r
,
r
,
.
.
.
,
r
∈
R
r1 · v1 + r2 · v2 + . . . + rm · vm 1 2
m
jest podprzestrzenią V .
Fakt:
M
Jeśli U i W są podprzestrzeniami przestrzeni V , to ich część wspólna
U ∩ W też jest podprzestrzenią V .
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 22
Przestrzeń wektorowa
Przypomnienie:
Wektory v1 ,v2 ,. . . ,vk są liniowo zależne, jeśli istnieje ich kombinacja liniowa
równa wektorowi zerowemu:
r1 · v1 + r2 · v2 + . . . + rk · vk = O
której nie wszystkie współczynniki są zerowe: ri 6= 0 dla pewnego i.
Wektory v1 ,v2 ,. . . ,vk są liniowo niezależne, jeśli z równości
r1 · v1 + r2 · v2 + . . . + rk · vk = O
wynika r1 = r2 = . . . = rk = 0.
Przykład:
M
Dwa wektory w Rn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są
współliniowe. Trzy wektory w R3 są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy nie są współpłaszczyznowe.
Przestrzeń wektorowa
Fakt:
M
Podzbiór zbioru liniowo niezależnego jest liniowo niezależny. Nadzbiór
zbioru liniowo zależnego jest liniowo zależny. Zbiór zawierający wektor O jest liniowo zależny.
Przykład:
M
W Rn dowolny zbiór złożony z więcej niż n wektorów jest liniowo zależny.
DEFINICJA:
M
Przez bazę przestrzeni wektorowej V rozumiemy taki podzbiór B ⊆ V , że
• B jest liniowo niezależny, oraz
• lin (B) = V , czyli każdy wektor z V jest jakąś kombinacją liniową
wektorów z B.
Wykład 7 i 8, 25 XI i 2 XII 2008, str. 24
Przestrzeń wektorowa
Przykład: (baza przestrzeni Rn )
M
Niech e1 = (1, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, . . . , 0) , . . . , en = (0, 0, . . . , 1) .
Zbiór {e1 , e2 , . . . , en } jest bazą przestrzeni Rn .
TWIERDZENIE:
M
Przedstawienie wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazowych
jest jednoznaczne: jeśli {v1 , v2 , . . . , vm } jest bazą i
m
X
i=1
ri · vi =
m
X
ri′ · vi
i=1
′
to r1 = r1′ , r2 = r2′ , . . . , rm = rm
.
TWIERDZENIE: Każda przestrzeń wektorowa ma bazę. Wszystkie
bazy tej samej przestrzeni mają równą liczbę elementów.
DEFINICJA: Wymiar przestrzeni wektorowej to liczba elementów bazy.
Oznaczenie: dim V .
Przestrzeń wektorowa
Przykład:
M
dim Rn = n
o
dim (x, y) ∈ R x − 2y = 0 = 1
n
2
0
=
y
2
x−
Wymiar przestrzeni funkcji z R do R jest nieskończony.