TAMAT 17: UKŁADY RÓWNAŃ Def. Niech m,n ∈ N. Układem

TAMAT 17: UKŁADY RÓWNAŃ
Def.
Niech m, n ∈ N. Układem równań liniowych nad ciałem F o m równaniach i nniewiadomych x1,
x2 , x3 , ..... ,xn nazywamy koniunkcję
koniunkcj równań postaci:
gdzie ai,j,b ∈ F dla i 1,2, . . . , m,
m j
Postać macierzowa układu:
1,2, . . . , n.
Macierz A [ai,j]1 i m, 1 j n nazywamy macierzą układu (lub macierzą współczynników),
macierz X [x1, x2,.....,xn]T - macierzą
macierz niewiadomych, macierz B [b1, b2,...,b
,..., m]T - macierzą
wyrazów wolnych, zaśś macierz U
macierzą uzupełnioną
ą tego układu.
Przykład. Zapiszmy poniższy
ższy układ w postaci macierzowej
Niewiadomymi są x, y, z.. Zatem wektor niewiadomych w
wygląda następująco
ę ąco
Współczynniki to liczby znajdują
znajdujące się przy niewiadomych, więc macierz A wygląda
następująco:
Teraz tworzymy macierz wyrazów wolnych:
Postać macierzowa naszego układu wygląda
wygl
następująco:
Def.
Rozwiązaniem
zaniem układu równań liniowych AX B, gdzie A ∈ Mm,n(F)) nazywamy ka
każdy układ
skalarów S (s1, s2,.....,sn) spełniający
spełniaj
ten układ, to znaczy taki , że AS B.
Def.
Układem jednorodnym nazywamy układ, którego rozwiązaniem
rozwi zaniem jest układ zerowy.
Def.
Układem sprzecznym nazywamy układ, który nie posiada żadnego
adnego rozwiązania.
Def.
Układem oznaczony nazywamy układ, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
rozwią
Def.
Układem nieoznaczonym nazywamy układ, który posiada nieskończenie
nieskończenie wiele rozwiązań.
rozwi
Def.
Układem Cramera nazywamy układ, w którym liczba niewiadomych jest równa liczbie równań
równa
tzn.
Tw. Cramera
Jeżeli macierz kwadratowa Astopnia
stopnia n jest taka, że detA 0,, to układ równa
równań liniowych AX B
posiada dla każdego B ∈ Mn1 dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem
xj ,j 1, . . . , n, gdzie Aj oznacza macierz A, w której j-tą kolumnę zastąpiono
ąpiono jedyną
jedyn kolumną
macierzy B.
Def.
Rzędem
dem macierzy nazywamy największy
najwi
stopień wyjętego z niej różnego
żnego od zera minora. Rząd
Rz
macierzy A oznaczmy przez rA.
r
Własności:
1 Jeżeli
eli dowolny wiersz lub kolumn
kolumnę pomnożymy przez stałą
ą różną
ż ą od zera, to rząd
rz nie
ulegnie zmianie.
2 Jeżeli
eli zamienimy dowolne dwa wiersze lub kolumny miejscami, to rz
rzą
rząd nie ulegnie
zmianie.
3 Jeżeli
eli dodamy do wiersza kombinacje liniow
liniową innych wierszy, to rząd
rzą nie ulegnie
zmianie.
4 Jeżeli
eli dodamy wiersz lub kolumn
kolumnę złożoną z samych zer, to rząd
ąd nie ulegnie zmianie
zmi
5 Jeżeli wykreślimy
limy wiersz lub kolumn
kolumnę złożoną z samych zer ,to rząd nie ulegnie zmianie.
6 Rząd macierzy AT jest równy rzędowi
rz
macierzy A.
7 Rząd
d macierzy zerowej jest równy zero.
8 Rząd
d macierzy jednostkowej stopnia n jest równy n.
Tw. Kroneckera-Capellego
Niech dany będzie
dzie układ równań liniowych AX B, gdzie A ∈ Mmn. Wówczas:
1. Układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rU rA.
2. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
rozwi
gdy rU rA n.
3. Układ ma nieskończnie wiele rozwiązań, które zależą od n-r dowolnych parametrów, gdy
rU rA < n.