Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne
1. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy na ”chybił trafił” dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między punktami jest mniejsza, niż 13 a?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x2 + 2bx + c = 0 są rzeczywiste, jeśli liczby
b i c zostały wybrane losowo z przedziału [0, 1]?
3. Parę liczb (a, b) wybrano losowo z prostokąta [−1, 1]2 . Oblicz prawdopodobieństwo, że równanie
ax2 + bx + 1 = 0 ma
a) pierwiastki rzeczywiste,
b) pierwiastki równe,
c) pierwiastki rzeczywiste dodatnie.
4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt kwadratu {|x| < 1, |y| < 1} jest punktem
leżącym wewnątrz okręgu x2 + y 2 = 1?
5. Drewniane pale mają losową długość L, przy czym największa długość wynosi 12 m. Pale są przeznaczone do wbijania w ziemię, której skalna warstwa stanowiąca opór znajduje się na losowe głębokości
H, którj maksimum wynosi 10 m. Zaproponuj przestrzeń zdarzeń elementarnych i podaj jej interpretację
geometryczną. Zilustruj następujące zdarzenia i oblicz ich prawdopodobieństwa:
a) długość losowo wziętego pala jest większa od głębokości, na której znajduje się skalna warstwa,
b) głębokość skalnej warstwy przekroczy 8 m,
c) długość losowo wziętego pala przekroczy 8 m.
6. Przy projektowaniu przepustu odprowadzającego wodę z 2 oddzielnych obszarów A i B założono,
że ilość wody pochodząca z A może wahać się w granicach 0 - 900 dm3 /s, a z B: 0 - 1500 dm3 /s. Oblicz
prawdopodobieństwo, że ilość wody łącznie z obu obszarów przekroczy 2000 dm3 /s.
7. Dwoje znajomych umawia się w pewnym miejscu. Każdy ma przyjść w dowolnej chwili między
godz. 15.00, a 16.00 i czekać na drugiego przez 20 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają?