Pobierz PDF

Ściąga eksperta
Działania na wielomianach
Przypomnę Ci usuwanie nawiasów w działaniach na wyrażeniach arytmetycznych:
Jeżeli przed nawiasem jest dodawanie to nawias ten możemy usunąć „bezkarnie”, po prostu tak jakby go nie było
4x+(3-3x)=4x+3-3x=x+3
Jeżeli przed nawiasem jest odejmowanie to musisz pamiętać o tym, że przy usuwaniu nawiasu zmieniasz znaki wszystkich wyrazów
występujących w nawiasie: 4x-(3-3x)=4x-3+3x=7x-3
Jeżeli natomiast masz przemnożyć dwa nawiasy przez siebie, to musimy pomnożyć każdy wyraz w pierwszym nawiasie przez każdy
wyraz występujący w drugim nawiasie:
(3x2-5x+6)(2x-4)=6x3-12x2-10x2+20x+12x-24=6x3-22x2+32x-24
Powyższe informacje będziemy przekładali na działania na wielomianach. Zapamiętaj również, że w wyniku dodawania, odejmowania i
mnożenia dwóch wielomianów zawsze dostaniesz wielomian.
Dodawanie wielomianów
Aby dodać do siebie dwa wielomiany należy zapisać wszystkie wyrazy pierwszego i drugiego wielomianu w postaci sumy i przeprowadzić
redukcję wyrazów podobnych, oto przykład:
Zsumujmy następujące wielomiany:
W(x)=3x3-√2 x2-13x+8 oraz P(x)=-5x3+x2+2x-9.
Zapisujemy sumę danych wielomianów:
W(x)+P(x)=(3x3-√2 x2-13x+8)+(-5x3+x2+2x-9)
I wykonujemy działania na wyrażeniach arytmetycznych, „bezkarnie usuwamy” nawiasy, ponieważ przed nawiasami jest dodawanie i
wykonujemy redukcję wyrazów podobnych dostając:
W(x)+P(x)=3x3-√2 x2-13x+8-5x3+x2+2x-9=-2x3+(1-√2) x2-11x-1
Odejmowanie wielomianów
Wykonaj odejmowanie wielomianów W(x)-P(x) , jeżeli W(x)=3x3-5x+13,P(x)=-4x3+2x2+7x+11.
Zapisujemy różnicę wielomianów, pamiętając o zapisach w nawiasach.
W(x)-P(x)=(3x3-5x+13)-(-4x3+2x2+7x+11)
Od wielomianu W(x) zgodnie z treścią zadania mamy odjąć cały wielomian P(x), zatem każdy jego wyraz. Gdyby nie było nawiasu od
wielomianu W(x) odjąłbym tylko pierwszy wyraz wielomianu P(x) zatem tylko (-4x3). Przed drugim nawiasem mamy odejmowanie, więc usuwając nawias musimy zmienić znaki wszystkim wyrazom występujących w tym
nawiasie:
W(x)-P(x)=(3x3-5x+13)-(-4x3+2x2+7x+11)=3x3-5x+13+4x3-2x2-7x-11=7x3-2x2-12x+2
Mnożenie wielomianów
Aby pomnożyć dwa wielomiany przez siebie, należy każdy wyraz jednego wielomianu pomnożyć przez każdy wyraz drugiego wielomianu i
zredukować wyrazy podobne.
Pamiętaj również o własności potęg:
xm∙xn=x(m+n), np. x3∙x5=x(3+5)=x8
Dane są dwa wielomiany: W(x)=x5-7x+3 oraz P(x)=3x2+2x-6. Wykonaj W(x)∙P(x).
W(x)∙P(x)=(x5-7x+3 )∙(3x2+2x-6)=3x7+2x6-6x5-21x3-14x2+42x+9x2+6x-18=3x7+2x6-6x5-21x3-5x2+48x-18
Zauważ, że stopień wielomianu W(x) wynosił 5, stopień wielomianu P(x) 2, natomiast stopień wielomianu W(x)∙P(x) wynosi 7. Zapamiętaj, że
stopień iloczynu dwóch wielomianów różnych od wielomianu zerowego jest równy sumie stopni tych wielomianów(5+2=7). W przypadku gdy
przynajmniej jeden z wielomianów jest zerowy to iloczyn tych wielomianów jest również wielomianem zerowym, a zatem nie ma określonego
stopnia.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 1/3
Ściąga eksperta
Zadanie 1.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 2/3
Ściąga eksperta
Dane są wielomiany: P(x)=x-1
Q(x)=x+1
R(x)=x2+6x+9
Wykonaj poniższe działania na tych wielomianach:
R(x)-P(x)∙Q(x)
Q(x)+R(x)
P(x)2-3Q(x)
Określ stopień wielomianu P(x)∙R(x).
Ad a) R(x)-P(x)∙Q(x)=(x2+6x+9)-(x-1)(x+1)=x2+6x+9-(x2-1)=x2+6x+9-x2+1=6x+10
Ad b) Q(x)+R(x)=(x+1)+(x2+6x+9)=x2+7x+10
Ad c) P(x)2-3Q(x)=(x-1)2-3∙(x+1)=x2-2x+1-3x-3=x2-5x-2
Ad d) Stopień wielomianu P(x)∙R(x) wynosi 3 bo stopień iloczynu dwóch wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów (stopień wielomianu
R(x) – dwa dodać stopień wielomianu P(x)- jeden daje trzy)
Zadanie 2.
Dane są wielomiany:
W(x)=x-1, P(x)=x+2, Q(x)=x3-1 wykonaj poniższe działania na tych wielomianach oraz zredukuj wyrazy podobne: [W(x)]2·P(x)- Q(x)
[W(x)]2·P(x)- Q(x)=(x-1)2∙(x+2)-(x3-1)=(x2-2x+1)∙(x+2)-x3+1=x3+2x2-2x2-4x+x+2-x3+1=-3x+3
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 3/3