Przewodnik do ćwiczeń Lista numer 1 Pochodne cząstkowe funkcji

Przewodnik do ćwiczeń
Lista numer 1
Pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Twierdzenie (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja
ma pochodne cząstkowe
ciągłe w obszarze D, a ponadto funkcje
mają pochodne cząstkowe
w obszarze
oraz (
gdy (x,y
to funkcja złożona dwóch zmiennych x i y
ma pochodne cząstkowe
w każdym punkcie obszaru , przy czym
(1)
Następujący schemat ułatwia zapamiętanie wzorów (1)
w szczególnym przypadku gdy
(1)
gdzie
(2)
gdzie
Zadanie nr 1
Pokazać, że funkcja
gdzie
spełnia równanie
Zadanie 2
Pokazać, że funkcja
gdzie
funkcja różniczkowalna spełnia równanie:
Zadanie 3
Pokazać, że funkcja
dla dowolnej funkcji różniczkowalnej F.
spełnia równanie:
Zadanie 4
Pokazać, że
dla dowolnej funkcji różniczkowalnej
Zadanie 5
Oblicz pochodne cząstkowe
i
uwikłanej
(a)
(b)
(c)
(d)
Zadanie 6
. Pokazać, że
Zadanie 7
Pokazać, że
Zadanie 8
opisanej wzorem
Pokazać, że
Zadanie 9
Pokazać, że
Zadanie 10
. Pokazać, że
Zadanie 11
Przekształcić wyrażenia różniczkowe, wprowadzając nowe zmienne niezależne u i v
(a)
(b)
(c)