Tunelowanie - dowód wzorami niezerowego

Efekt tunelowy – matematyczny dowód niezerowego prawdopodobieostwa wystąpienia
Gł. na podst.: http://www.mif.pg.gda.pl/kfze/wyklady/IM3rozdzial5.pdf (109-111 str)
Wychodząc z jądra (promieniotwórczośd typu alfa) cząstka alfa musi przeniknąd przez barierę
potencjału energetycznego oddziaływao silnych jądra (jądrowych). Cząstka alfa jest podwójnie
zjonizowanym jądrem helu – składa się z 2 protonów (i 2 neutronów) a więc ma ładunek elektryczny dodatni,
dlatego następnie będzie przez jądro (dodatnie) odpychana (przyspieszana) już elektrycznie bo oddziaływania
silne są krótkozasięgowe. Doświadczenia wykazały, że cząstki alfa mogą przechodzid przez barierę
potencjału wyższą od energii posiadanej przez tą cząstkę (np. cząstki o energii 4 MeV mogą przenikad
przez barierę równą 9 MeV). Taki efekt tunelowy tłumaczy się dualizmem korpuskularno-falowym;
W czasie przenikania przez barierę musimy cząstce przypisad właściwości falowe, zgodnie z teorią fal
materii de Broglie’a. Inaczej: efekt tunelowy tłumaczy się tylko mechaniką kwantową. Takie
podejście pozwala obliczyd prawdopodobieostwo przejścia (w jednostce czasu) cząstki przez barierę.
Założymy, że bariera potencjału jest jego skokiem – wtedy wzór nie będzie całkowy. Okazuje się, że
to prawdopodobieostwo jest większe od zera chociaż niewiel(ki)e.
Do poruszającej się mikrocząstki musimy zastosowad równania Schrödingera
ikx
którego ogólne rozwiązanie czyli funkcja falowa ma postad ψ(x) = Ae
inaczej
gdzie
d2ψ(x)
2
dx2 + k ψ(x) = 0
+ Be-ikx
ψ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx)
i = -1
p
k= ћ = 2mE / ћ
oraz
(p jest pędem cząstki o masie m i energii kinetycznej E natomiast ћ to „kreślona” stała Plancka )
czyli
i
i
ψ(x) = Aexp(ћ px) + Bexp(-ћ px)
A pełna, czyli zależna też od czasu t, funkcja falowa jest (co oczywiście można dowieśd):
i
i
ψ(x,t) = Aexp*-ћ (Et - px)] + Bexp[-ћ (Et+px)]
W celu wyjaśnienia fizycznego tej funkcji trzeba skorzystad wpierw ze wzoru (de Moivre’a)
Exp(±iα) = cosα ± isinα
Chwilowo przyjmijmy, że we wzorze na ψ(x,t) stała B=0
A więc uwzględniając ostatni wzór (trygonometryczny) mamy:
i
ψ(x,t) = Aexp[-ћ (Et - px)]
=
1
1
Acos[ћ (Et - px)] - iAsin[ћ (Et-px)]
****)
**)
Ale
Czyli:
π
π
cos[α-90] = cos[α- 2 ]= cos[-( 2 - α)]= sin [-α] = - sinα
π
- sin*α+ = cos*α - 2 ]
więc:
1
1
π
ψ(x,t) = Acos[ћ (Et – px + 0)] + iAcos[ћ (Et-px - 2 )]
albo:
E p
E p π
ψ(x,t) = Acos[ћ t - ћ x + 0] + iAcos[ћ t - ћ x - 2 ]
Porównujemy to r-nie do r-nia fali płaskiej w mechanice klasycznej:
y(x,t) = Acos[ωt ± kx + φ]
I stwierdzamy, że zarówno pierwszy jak I drugi składnik pierwszej składowej funkcji falowej
reprezentuje falę płaską rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi x – z uwagi na minusy przed
iksami
*)
p
E
Stwierdzid też można, z uwagi na k=ћ oraz ω = ћ , że mamy do czynienia z falą materii (de Broglie’a).
Podobnie można wykazad, że drugi składnik w funkcji falowej – ze stałą B – przedstawia falę płaską o
tych samych wartościach k oraz ω ale przemieszczającą się w przeciwnym, ujemnym kierunku osi x
(gdyż przed iksami stoją plusy).
Można więc stwierdzid, że funkcja falowa przedstawia sumę fal materii de Broglie’a rozchodzących
się w dodatnim (pierwszy składnik) i ujemnym (drugi) kierunku osi x.
Oszacujmy teraz prawdopodobieostwo wystąpienia zjawiska tunelowego dla prostokątnej bariery
potencjału. Obszar przed barierą, od strony nadlatującej cząstki, oznaczmy jako nr. I, obszar bariery
jako nr. II a obszar za barierą jako III.
W obszarze I występuje zarówno fala padająca jak i odbita
a w obszarze III tylko fala przechodząca przez barierę:
ψI(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx)
ψIII(x) = Fexp(ikx)
k= 2m(E) / ћ
A, B oraz F to amplitudy fal (kolejno: padającej, odbitej i przechodzącej).
d2ψ(x)
Oba rozwiązania są z r-nia Schrodingera: dx2 + k2ψ(x) = 0
d2ψ(x)
W obszarze II: R-nie Schrödingera dx2 - ж2ψ(x) = 0
A rozwiązanie: ψII(x) = Cexp(жx) + Dexp(-жx)
ж=
2m(U-E) / ћ
gdzie
U jest energią (potencjalną) bariery
Rozwiązanie można łatwo sprawdzid obliczając II pochodną funkcji falowej
***)
W przypadku płaskiej fali de Broglie’a prawdopodobieostwo znalezienia się cząstki w danym
obszarze jest proporcjonalne do kwadratu jej amplitudy. Stąd prawdopodobieostwo T przejścia
cząstki przez barierę potencjału, zwane współczynnikiem przepuszczalności, można wyrazid wzorem
|F|2
T = |A|2
W celu ścisłego obliczenia należy znaleźd związki między A, B, C, D i F z () warunków ciągłości funkcji
falowej i jej pochodnej na granicach obszarów.
Przybliżoną wartośd T można jednak obliczyd w prostszy sposób (z tylko 2 warunkami ciągłości
funkcji). W przypadku dużej szerokości bariery potencjału należy oczekiwad, że
prawdopodobieostwo znalezienia się cząstki w niewielkim przedziale Δx wewnątrz bariery,
proporcjonalne do wartości funkcji |ψ(x)|2 w tym obszarze, będzie monotonicznie malało z
odległością x. Przyjmiemy więc, że we wzorze na funkcję falową w obszarze II czyli wewnątrz bariery
potencjału, C=0. A wtedy:
ψII(x) ≈ Dexp(-жx)
Założymy potem, że amplitudy fali padającej i przechodzącej spełniają, przynajmniej co do rzędu
wielkości, związki:
|A| ≈ |ψ(0)| = |D|exp(-ж*0) = |D|/exp(ж*0) = |D|/1 =|D|,
|F| ≈ |ψ(L)| = |D|exp(-жL )
A więc
(|D|exp(-жL))2
T≈
= exp(-2жL)
|D|2
Czyli
2
2
T ≈ exp *-ћ L 2m(U-E) ] = 1 / exp [ћ L 2m(U-E) ]
Więc
prawdopodobieostwo T > 0
bo L>0 i U-E>0 jeśli ma byd bariera oraz masa m≥0
(i jest 1/e0=1/1 = 1 czyli (100%) pewnością m.in. w przypadku: m=0)
Czyli prawdopodobieostwo T przejścia cząstki przez barierę potencjału maleje wykładniczo ze
wzrostem szerokości bariery L, ze wzrostem pierwiastka iloczynu masy cząstki i różnicy energii. W
przypadku więc ciał makroskopowych wielkości m oraz l, U-E są duże i efekt tunelowy praktycznie nie
występuje.
Dla przykładu obliczmy prawdopodobieostwo przejścia elektronu przez barierę potencjału o
szerokości 10-10 m oraz U-E = 10 eV = 1,6*10-18 J. Masa spoczynkowa elektronu wynosi 9,11*10-31 kg a
kreślona stała Plancka = 1,05*10-34 Js.
2
T ≈ exp *-1,05*10-34 10-10 2*9,11*10-31 * (1,6*10-18) + ≈ exp(-0,082) ≈ 0,92 (wysokie!)
Gdy np. poszerzymy barierę dziesięciokrotnie (do 10-9 m) to T≈1/exp(0,82)≈0,44
W przypadku bariery o dowolnym kształcie, niekoniecznie prostokątnym,
2
T ≈ exp *-ћ ∫ 2m(U-E) dx]
Gdzie granice całkowania xd i xg są pierwiastkami r-nia: U(x) = E
Tunelowanie występuje też np. przy emisji elektronów z metali (do próżni, nawet w temperaturach
pokojowych). Interesującym przykładem zjawiska tunelowego jest przepływ prądu elektrycznego przez warstwy metali oddzielone
cienką warstwą nieprzewodzącego tlenku.
*)
Jeśli chcemy napisad równanie jakiejś fali 2D (płaskiej), w którym byłoby uzależnienie zarówno od
czasu jak i od (odległości na jakiejś płaszczyźnie w) przestrzeni, i chcemy tą falę związad z jakąś
matematyczną osią x (prostokątnego układu współrzędnych x0y), to musimy podad to równanie
oddzielnie dla biegu w prawo (w kierunku wzrastających od zera wartości odległości) i oddzielnie w
lewo.
Jeśli prędkośd fali v jest stała (Rozchodzi się w jednorodnym ośrodku, np. elektromagnetyczna fala
świetlna w próżni – wtedy v=c) to dla (obserwacji) wybranej fazy fali (np. jej szczytu) musi byd:
x – vt = const, dla fali biegnącej w prawo (z minusem, różnica!)
x + vt = const, dla fali biegnącej w lewo (z plusem, suma!)
Bo matematycznie widad dla fali w prawo, że jeśli czas t rośnie to musi też rosnąd odległośd x aby
różnica pozostała nie zmieniona. Zatem to właśnie różnica rzeczywiście reprezentuje falę biegnącą w
prawo!
Dla fali w lewo, przy wzrastającym czasie odległośd x musi jednak maled aby suma pozostawała
niezmieniona. Zatem to właśnie suma rzeczywiście reprezentuje falę biegnącą w lewo!
Powyższe: różnica i suma to argumenty funkcji opisującej falę y = f(x ± vt). Czyli:
Dla fali biegnącej w prawo: y = f(x-vt)
Dla fali biegnącej w lewo: y = f(x+vt)
Np. y=sin[k(x-vt)], y=sin[k(x+vt)], y=cos[k(x-vt)], y=cos[k(x+vt)], itp.
Wg. Resnick, Halliday – Fizyka tom I, str. 564-566
**)
W celu sprawdzenia obliczmy pochodne (okaże się, że „kłopotliwa” wartośd urojona „i” „zniknie” bo
będzie w kwadracie – o wartości -1):
dψ(x)
dx = Aexp(ikx)ik + Bexp(-ikx)(-ik) = ik[Aexp(ikx) - Bexp(-ikx)]
[bo exp(x)- = exp(x)]
d2ψ(x)
dx2 = ik[Aexp(ikx)ik - Bexp(-ikx)(-ik)]
=
Czyli
i2k [Aexp(ikx) + Bexp(-ikx)] = (-1)k
2
2
ψ(x) = -k2ψ(x)
d2ψ(x)
2
dx2 = - k ψ(x)
albo
d2ψ(x)
2
dx2 + k ψ(x) = 0
c.b.d.o.
***)
dψ(x)
dx = Cexp(жx)ж + Dexp(-жx)(-ж) = ж*Cexp(жx) - Dexp(-жx)]
d2ψ(x)
dx2 = ж*Cexp(жx)ж - Dexp(-жx)(-ж)]
= ж2[Cexp(жx) + Dexp(-жx)] = ж2ψ(x)
Czyli
d2ψ(x)
2
dx2 = ж ψ(x)
albo
d2ψ(x)
2
dx2 - ж ψ(x) = 0
c.b.d.o.
Uprzystępnienie dydaktyczne: Mirosław Kwiatek, XI 2014
Dodatek
Oszacowad max. prawdopodobieostwo wydostania się cząstki alfa (ze środka jądra) jeśli U-E=(9-4) eV.
Masa nukleonu = protonu (≈masie neutronu) = 1,67*10
-15
Można przyjąd, że L=10
-27
kg, 1 eV = 1,6*10
-19
J.
m (rozmiar jądra atomowego). Masa cząstki alfa = 4 masy nukleonu (2 protony + 2 neutrony). …
… T ≈ 1/exp(0,00035) = 0,999
Ogólniejsze od r-nia Schrodingera jest r-nie Diraca bo łączy mechanikę kwantową z teorią
względności (szczególną) czyli jest też dla cząstek o dowolnie dużych prędkościach <c .
R-nie Schrodingera dla fotonu jest jeszcze inne:
F = E + iB
Gdzie F, E, B są wektorami
****) http://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawa_logarytmu_naturalnego -
Liczba e ≈ 2.72 jest zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.
a) Jako suma szeregu, e jest określana przez
gdzie n! jest silnią liczby n.
b) Jako granica ciągu, e jest określana przez
c)
Liczbę e można zdefiniować jako taki argument funkcji
,
dla którego jej wartość jest największa.
d) liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą
od 1 do e jest równe 1).