Całkowanie funkcji wymiernych

Całkowanie funkcji wymiernych
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste. Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci
W (x) =
P (x)
,
Q(x)
gdzie P, Q sa wielomianami stopni m, n odpowiednio. Możemy założyć, że m < n, gdyż w przeciwnym razie
dzieląc wielomian P przez Q otrzymamy
W (x) = W1 (x) +
R(x)
,
Q(x)
gdzie W1 jest wielomianem stopnia m − n zaś R jest reszta z dzielenia wielomianu P przez Q oraz stopień
R jest niższy niż stopień Q. Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry, równanie
Q(x) = 0
posiada dokładanie n pierwiastków zespolonych (licząc krotności), wśród których mogą znajdować się pierwiastki rzeczywiste. Załóżmy, że
a1 , . . . , ar
są rzeczywistymi pierwiastkami wielomianu Q o krotnościach odpowiednio k1 , . . . , kr oraz
u1 + iv1 , u1 − iv1 , . . . , us + ivs , us − ivs
są zespolonymi pierwiastkami o krotnościach l1 , l1 , . . . , ls , ls (Jeśli liczba zespolona a + ib jest pierwiastkiem
P
wielomianu Q krotności k, to również a − ib jest pierwiastkiem krotności k). Zachodzi wówczas (ki + 2li ) =
i
n. Wielomian Q można przedstawić w postaci iloczynu:
(1)
Q(x) = an (x − a1 )k1 · . . . · (x − ar )kr ×
× [(x − u1 + iv1 )(x − u1 − iv1 )]l1 · . . . · [(x − us + ivs )(x − us − ivs )]ls =
= an (x − a1 )k1 · . . . · (x − ar )kr (x2 + p1 x + q1 )l1 · . . . · (x2 + ps x + qs )ls ,
gdzie
pi = −2ui ,
qi = u2i + vi2 ,
i = 1, . . . , s.
Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
A
,
(x − a)n
gdzie n ∈ N oraz a, A ∈ R.
Ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
Bx + C
,
(x2 + px + q)n
gdzie n ∈ N oraz p, q, B, C ∈ R oraz p2 − 4q < 0.
Majac dany rozkład mianownika (1) na czynniki, możemy funkcje wymierną przedstawić w postaci sumy
k1 + . . . + kr ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l1 + . . . + ls ułamków prostych drugiego rodzaju.
Czynnikowi (x − ai )ki , i = 1, . . . , r odpowiada suma ki ułamków prostych 1-go rodzaju:
Ai1
Ai2
Aiki
+
+ ... +
.
x − ai
(x − ai )2
(x − ai )ki
Czynnikowi (x2 + pi x + qi )li , i = 1, . . . , s odpowiada suma li ułamków prostych 2-go rodzaju:
Bi2 x + Ci2
Bil x + Cili
Bi1 x + Ci1
+ 2
+ ... + 2 i
.
2
2
x + pi x + qi
(x + pi x + qi )
(x + pi x + qi )li
1
Całkowanie ułamków prostych 1-go rodzaju.

Z
 A ln |x − a| + C,
A dx
A
1
=
+ C,

(x + a)n
−n + 1 (x + a)n−1
gdy n = 1;
gdy n > 2.
Całkowanie ułamków prostych 2-go rodzaju.
Z
Z
Z
Bx + C
B
(2x + p) dx
Bp
dx
B
dx
=
+
C
−
= ln(x2 + px + q) + I,
x2 + px + q
2
x2 + px + q
2
x2 + px + q
2
gdzie
Z
Bp
dx
I= C−
.
2
2
x + px + q
Aby wyliczyć tą całkę przekształcamy mianownik:
1: do postaci kanonicznej
p 2
p2
x2 + px + q = x +
+q−
2
4
2: a następnie doprowadzamy do postaci


2
# 
"



2
2
2
2
2
p
1
p
p 
p
1
p
p

q
+q−
+
1
x
+
+
1
= q−
x
+
=
q
−
x+
2
2

2
4
4
2
4 
2
q − p4


q − p4
q
2
Podstawiając q 1 p2 x + p2 = t otrzymamy dx = q − p4 dt oraz
q−
4
(C − Bp
2 )
I= q
2
q − p4
Z
t2
dt
2C − Bp
2C − Bp
2x + p
=p
arc tg t + C = p
arc tg p
+ C.
2
2
+1
4q − p
4q − p
4q − p2
W przypadku całki
Z
Bx + C
dx
(x2 + px + q)n
dokonujemy takich samych przekształceń i korzystamy ze wzoru (rekurencyjnego) na całkę
Z
dx
dx.
(x2 + 1)n
In =
2