Szereg Maclaurina i szereg Taylora

Piotr Zimozlak
Szereg Maclaurina i szereg Taylora
Obliczając pochodne danej funkcji i ich wartości w rozmaitych punktach możemy się
o danej funkcji dowiedzieć bardzo wiele (badać jej ekstrema, wypukłość, monotoniczność
itd.). Często bywa tak, że postać analityczna funkcji jest tak bardzo skomplikowana, jak
skomplikowany jest fragment rzeczywistości, który stara się ona opisać. Czasami metody
zwykłego różniczkowania funkcji albo zawodzą, albo są zbyt pracochłonne. Wyjściem z
sytuacji jest zastąpienie danej funkcji wielomianem.
Podobnie jak sumuje się liczby – można też sumować funkcje. Można rozważać
skończone sumy, można też zastanowić się nad sensem sumowania nieskończonej liczby
funkcji. Ogólnie szeregiem funkcyjnym nazywa się:
∞
∑f
n =1
n
( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) + ... + f n ( x) + ...
Szczególnym rodzajem szeregów funkcyjnych są szeregi potęgowe, które bliźniaczo
przypominają znane nam wielomiany:
n
p ( x) = ∑ ak x k =a0 x 0 + a1 x1 + ... + an x n
k =0
Obliczając kolejne pochodne tych wielomianów, otrzymujemy związki:
p ' ( x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + ... + nan x n −1
p '' ( x) = 1⋅ 2a2 + 2 ⋅ 3a3 x + ... + (n − 1)nan x n − 2
...
p ( n ) ( x) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ nan
Jeżeli podstawimy x=0 to otrzymamy współczynniki wielomianu ak, zależne od jego
pochodnych w x=0. Zatem nasz wielomian możemy zapisać w postaci:
p ' (0)
p '' (0) 2
p ( n ) (0) n
p ( x) = p (0) +
x+
x + ... +
x
n!
1!
2!
Bierzemy pod uwagę dowolną funkcję f(x) co najmniej n+1 razy różniczkowalną,
taką, że wyjściowy wielomian oraz nasza funkcja mają w punkcie 0 te same pochodne aż do
rzędu n:
f ' (0)
f '' (0) 2
f ( n ) (0) n
p ( x) = f (0) +
x+
x + ... +
x
1!
2!
n!
Dygresja o reszcie.
WSPS2006
Piotr Zimozlak
W rzeczywistości jednak, powyższe przybliżenie nie jest dokładne dla dalszych
pochodnych. Różnica między przybliżeniem funkcji za pomocą wielomianu, a jej rzeczywistą
wartością nazywana jest resztą i oznacza się ją:
R(x) = f(x) – p(x)
Wielkość reszty pozwala nam podać dokładność przybliżenia funkcji. Istnieje wiele
metod szacowania reszty, z którym najbardziej powszechna jest reszta w postaci Lagrange’a:
f ( n +1) (θ x) n +1
r ( x) =
x ,0 <θ <1
(n + 1)!
Innym zapisem reszty jest notacja za pomocą wielkiej i małej litery: O(n), o(n).
O(n) oznacza, że dana liczba jest rzędu (potęgi) co najwyżej n. Innymi słowy, istnieje stała C,
taka że :
x = O(n)⇒
x n→∞

→C
n
o(n) oznacza, że dana liczba jest rzędu mniejszego niż n. Innymi słowy:
x = o(n)⇒
x n→∞

→0
n
Przykładowo:
3 8
n →∞
+ 2 = O(n −1 ), bo : nan 
→3
n n
b
n →∞
→0
bn = n = o(n), bo : n 
n
an =
Analogiczny zapis stosowany jest w szeregach określonych w teorii prawdopodobieństwa.
Zapis:
x = o p ( n)
Oznacza, że dla dostatecznie dużych n, x zbiega w prawdopodobieństwie (converges in
probability) do 0. W związku z tym:
∀ε > 0 : P(( x / n) ≤ ε ) = 1
Podobna notacja dotyczy dużego O, jeśli x=Op(n):
x
∀ε > 0, ∃k ∈ [0,1] : P( ≤ ε ) = k
n
W pewnym sensie przypomina to nierówność Czebyszewa, na podstawie której można
wykazać, że np:
−
1
( X − µ ) = O(n 2 )
WSPS2006
Piotr Zimozlak
Gdyż różnica między średnią z próby a średnią w populacji jest tego samego rzędu co
odchylenie standardowe średniej z próby.
Warto też zapamiętać, że jeśli coś jest O ( n
−
1
2
) to jest również o(1)
Praktyczne zastosowania szeregu Taylora.
Gdy funkcja jest różniczkowalna nieskończenie wiele razy, a ciąg reszt zbiega do zera dla
każdego
to dowolną tę możemy zapisać jako nieskończony szereg:
θ
∞
f ( x) = ∑
n =0
f n (0) n
x
n!
Szereg ten nazywany jest szeregiem Maclaurina i jest szczególnym przypadkiem
szeregu Taylora (bo dla x0=0), który to szereg wyraża się w postaci:
∞
f ( x) = ∑
n =0
f n ( x0 )
( x − x0 ) n
n!
Gdzie x0 jest punktem, wokół którego rozwijamy daną funkcję. Przykładowe
rozwinięcia znanych funkcji w szereg MacLaurina:
ex = 1+
∞
1
1
1
1
1
x + x 2 + x 3 + ... + x n + ... = ∑ x n
1!
2!
3!
n!
n = 0 n!
sin x = 0 +
∞
1
0
1
0
1
0
1
(−1) n 2 n +1
x + x 2 − x 3 + x 4 + x 5 + x 6 − x 7 + ... = ∑
x
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n = 0 ( 2n + 1)!
(−1) n 2 n
x
n = 0 ( 2n)!
∞
cos x = ∑
n
∞
x 2 x3
n +1 x
ln(1 + x) = x − + − .... = ∑ (−1)
n
2 3
n =1
WSPS2006