Wyk 5(2016)

Wzór Maclaurina
Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy
tzw. wzór Maclaurina:
f (x) =
n−1 (k)
X
f (0)
k=0
k!
xk +
f (n) (θx) n
x .
n!
Wzór Maclaurina
Przykład.
Niech f (x) = ln(1 + x) dla x > −1; n = 2. Wówczas f (0) = 0 oraz
f 0 (x) =
1
1+x
f 00 (x) = −
1
.
(1 + x)2
Zatem f (0) = 0 i f 0 (0) = 1 i dla x > −1 istnieje θ ∈ (0, 1) taka, że
ln(1 + x) = x −
x2
2(1 + θx)2
Zadanie. Korzystając
z powyższego dla xn =
P∞ 1
n+1
−
ln
jest zbieżny.
n=1 n
n
1
n
wykazać, że
Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C ∞ oraz x, x0 ∈ (a, b).
Wówczas
∞
X
f (n) (x0 )
f (x) =
(x − x0 )k
k!
n=0
wtedy i tylko wtedy, gdy
f (n) (x0 + θn (x − x0 ))
(x − x0 )n = 0
n→∞
n!
lim
Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina
Warunek wystarczający
Twierdzenie
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C ∞ oraz x, x0 ∈ (a, b). Jeśli
istnieje M > 0, taka że
(n) f (x) < M
dla wszystkich x ∈ (a, b) i wszystkich n ∈ N, to szereg
∞
X
f (n) (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n
jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale (a, b).
Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina
Przykłady
= e x na przedziale (−r , r ), x0 = 0. Wówczas dla n ∈ N
f (x)
(n)
f (x) = e x ≤ e r .
∞
X
xn
x
e =
n!
n=0
Pochodne funkcji sin są ograniczone przez 1 na całej prostej. Zatem
sin x =
∞
X
(−1)n 2n+1
x
(2n + 1)!
n=0
Podobnie
cos x =
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
x 2n
Uwaga
Nie każda funkcja klasy C ∞ jest sumą swojego szeregu Maclaurina. Np.
(
exp(−x −2 ) dla x 6= 0;
f (x) =
0
dla x = 0.
Definicja
Jeśli istnieje δ > 0 taka, że funkcja f jest sumą swojego szeregu Taylora
w zbiorze |x − x0 | < δ, to funkcję f nazywamy analityczną w punkcie x0 .
Jeśli f jest analityczna w każdym punkcie zbioru otwartego A, to
mówimy, że f jest analityczna na A, co zapisujemy f ∈ C ω (A).
Ekstrema funkcji
Warunki dostateczne
Niech f : (a, b) → R będzie różniczkowalna
Definicja
W punkcie x0 następuje lokalna zmiana znaku pochodnej, jeśli istnieje
δ > 0 taka, że
f 0 (x) > 0 (odp. f 0 (x) < 0) dla x ∈ (x0 − δ, x0 ) i ;
f 0 (x) < 0 (odp. f 0 (x) > 0) dla x ∈ (x0 , x0 + δ)
Ekstrema funkcji
Warunki dostateczne
Niech f : (a, b) → R będzie różniczkowalna
Definicja
W punkcie x0 następuje lokalna zmiana znaku pochodnej, jeśli istnieje
δ > 0 taka, że
f 0 (x) > 0 (odp. f 0 (x) < 0) dla x ∈ (x0 − δ, x0 ) i ;
f 0 (x) < 0 (odp. f 0 (x) > 0) dla x ∈ (x0 , x0 + δ)
Twierdzenie
Jeśli f : (a, b) → R jest różniczkowalna oraz w x0 następuje lokalna
zmiana znaku pochodnej, to f osiąga w x0 ekstremum lokale.
Ekstrema funkcji
Warunki dostateczne
Powyższego twierdzenia nie można odwrócić! Lokalna zmiana znaku jest
warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum, ale nie jest warunkiem
koniecznym.
Przykład.
Funkcja
x 4 (2 + sin x1 ),
0,
dla x 6= 0;
dla x = 0.
posiada minimum w zerze, ale jej pochodna przyjmuje zarówno wartości
dodatnie i ujemne w dowolnym otoczeniu (−δ, 0) i (0, δ), δ > 0 (Przeliczyć!).
Ekstrema funkcji
Warunki dostateczne
Twierdzenie
Niech n ≥ 2, x0 ∈ (a, b) i niech f : (a, b) → R będzie (n − 1)-krotnie
różniczkowalna oraz istnieje f (n) (x0 ). Załóżmy, że
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0
1
i
f (n) (x0 ) 6= 0.
Jeśli n jest liczbą parzystą, to f osiąga w x0 ekstremum lokalne.
Jest to minimum, gdy f (n) (x0 ) > 0;
jest to maksimum, gdy f (n) (x0 ) < 0.
2
Jeśli n jest liczbą nieparzystą to w punkcie x0 nie ma ekstremum
lokalnego.
Ekstrema funkcji
Warunki dostateczne. Szkic dowodu
Przy powyższych założeniach wzór Taylora z resztą Peano ma postać:
(n)
f (x0 )
r (h)
f (x0 + h) − f (x0 ) =
hn
+ n
n!
h
(1)
gdzie limh→0 r (h)/hn = 0. Niech δ > 0 będzie na tyle małą liczbą, aby dla
wszystkich 0 < |h| < δ
r (h) f (n) (x0 ) <
hn n! .
Wówczas
(n)
f (x0 )
r (h) f (n) (x0 ) r (h) +
≥
−
>0
n!
hn n! hn co oznacza, że wyrażenie w nawiasie po prawej z prawej strony równości (1) ma
stały znak dla wszystkich h z δ-sąsiedztwa zera. Jeśli n jest parzyste to znak
prawej strony (1) jest taki sam jak znak f (n) (x0 ). Natomiast dla n nieparzystych
prawa strona zmienia znak (hn zmienia znak przy przejściu h przez zero).
Ekstrema funkcji
Warunki dostateczne. Przykład
3
3
Niech f (x) = e x . Wtedy f 0 (x) = 3x 2 e x = 0 ⇐⇒ x = 0.
3
f 00 (x) = (6x + 9x 4 )e x i f 00 (0) = 0;
3
f 000 (x) = (6 + 54x 3 + 27x 6 )e x i f 000 (0) 6= 0.
Wniosek: f nie ma ekstremum w punkcie x = 0.
Uwaga: Są funkcje, które nie reagują na powyższe kryterium. Np.
f (x) = exp(−x −2 ),
x 6= 0
Dla wszystkich n ∈ N mamy f (n) (0) = 0.
i f (0) = 0.
Funkcje wypukłe
Definicja
Mówimy, że funkcja f : A → R jest wypukła, jeśli dla dowolnych
x1 , x2 ∈ A oraz λ ∈ (0, 1)
f ((1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 )
Mówimy, że funkcja f jest wklęsła, jeżeli funkcja −f jest wypukła.
Zastępując słabe nierówności przez nierówności ostre, mówimy o ścisłej
wypukłości i wklęsłości.
Funkcje wypukłe
Definicja
Mówimy, że funkcja f : A → R jest wypukła, jeśli dla dowolnych
x1 , x2 ∈ A oraz λ ∈ (0, 1)
f ((1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 )
Mówimy, że funkcja f jest wklęsła, jeżeli funkcja −f jest wypukła.
Zastępując słabe nierówności przez nierówności ostre, mówimy o ścisłej
wypukłości i wklęsłości.
Twierdzenie
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną. Funkcja f jest
wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x0 ∈ A zachodzi
nierówność
f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
Dla ścisłej wypukłości należy dla x 6= x0 znak ≥ zamienić na >.
Funkcje wypukłe
Interpretacja geometryczna drugiej pochodnej
Twierdzenie
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną,
x0 ∈ (a, b) oraz f 00 jest ciągła w punkcie x0 .
Jeśli f 00 (x0 ) ≥ 0, to f jest wypukła w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Jeśli f 00 (x0 ) ≤ 0, to f jest wklęsła w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Punkty przegięcia funkcji
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją ciągłą.
Definicja
Punkt x0 ∈ (a, b) nazywamy punktem przegięcia funkcji f , jeśli funkcja w
tym punkcie zmienia charakter wypukłości.
Punkty przegięcia funkcji
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją ciągłą.
Definicja
Punkt x0 ∈ (a, b) nazywamy punktem przegięcia funkcji f , jeśli funkcja w
tym punkcie zmienia charakter wypukłości.
Twierdzenie
Niech f : (a, b) → R będzie dwukrotnie różniczkowalna. Jeśli x0 jest
punktem przegięcia funkcji f , to f 00 (x0 ) = 0.
Punkty przegięcia funkcji
Warunek dostateczny
Twierdzenie
Niech f : (a, b) → R będzie n-krotnie różniczkowalna, n ≥ 3, x0 ∈ (a, b).
Załóżmy, że
f 00 (x0 ) = f 000 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0
i
f (n) (x0 ) 6= 0.
Jeśli n jest liczbą parzystą, to x0 nie jest punktem przegięcia f .
Jeśli n jest liczbą nieparzystą to w punkcie x0 f ma punkt przegięcia.