Spis treści Szereg Fouriera

Szablon:Poprzedni
Spis treści
1 Szereg Fouriera
1.1 Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera
1.2 Energia, moc, widmo
Szereg Fouriera
Sygnał okresowy (o okresie
) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
gdzie
Dowód (wzoru %i 2 na współczynniki rozwinięcia Fouriera):
Mnożymy obie strony równania %i 1 przez
Całki po prawej stronie znikają dla
(bo
).
i całkujemy po
od
. Jedyny niezerowy wyraz dla
do
:
wynosi
, czyli
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z
odpowiednimi wagami. Wagi
możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im
częstości.
Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera
Dowód:
Energia, moc, widmo
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie
od
do
, to wytracona przez niego energia wyniesie
. W ogólności, biorąc pod uwagę
sygnały o wartościach zespolonych, całkowitą energię sygnału definiujemy jako
. Moc
to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli
. Jak widać z powyższego
twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów
współczynników szeregu Fouriera
. Pozwala to interpretować
jako moc, niesioną przez
odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy
sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rys.%i 1).
Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego
określonego na skończonym przedziale
tożsamy z
w przedziale
, możemy utworzyć sygnał okresowy
:
, który można już przedstawić w postaci sumy %i 1.
Przykład: Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji
przedziale
,
w następujący sposób:
Bezpośrednio z wzoru %i 2 dostajemy (dla
)
(rys. %i 1), określonej na
Tak więc z wzoru %i 1
W sumie kosinusów wyrazy dla
dla
dodają się, dając w efekcie
znoszą odpowiednie wyrazy dla
Od góry, kolejno: funkcja (równanie %i 4), "uzupełniona"
do funkcji okresowej według wzoru %i 3, pierwszych 30
współczynników szeregu Fouriera, kwadraty
współczynników szeregu Fouriera — dyskretne widmo,
pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10,
50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia (5). Jak widać,
najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji
trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji
w
punktach
; niejednorodna zbieżność
szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę efektu
Gibbsa.
Szablon:Następny
, w sumie sinusów wyrazy