Szereg trygonometryczny Fouriera

Szereg trygonometryczny Fouriera i rozwijalno±¢ funkcji
w szeregu trygonometrycznym Fouriera
Szereg Fouriera to szereg pozwalaj¡cy rozªo»y¢ funkcj¦ okresow¡, speªniaj¡c¡ warunki
Dirichleta, na sum¦ funkcji trygonometrycznych.
Warunkami Dirichleta Przypu±¢my, »e f: R −→ R jest funkcj¡ okresow¡ o okresie T.
Je±li f speªnia nast¦puj¡ce trzy warunki:
1. funkcja f jest bezwzgl¦dnie caªkowalna, tzn.:
Z
T
2
− T2
| f (x) | dx < ∞
2. funkcja f w przedziale jednego okresu ma sko«czon¡ liczb¦ maksimów lokalnych i minimów lokalnych,
3. funkcja f w przedziale jednego okresu posiada sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gªo±ci
pierwszego rodzaju,
to f ma reprezentacj¦ w postaci szeregu Fouriera.
Denicja (szereg trygonometryczny)
Szeregiem trygonometrycznym na przedziale [ -π, π ] nazywamy szereg postaci:
∞
a0 X
(an cosnx + bn sinnx),
+
2
n=1
gdzie a0 ∈
R oraz an , bn ∈ R dla n ∈ N.
Denicja (szereg Fouriera funkcji)
Niech funkcja f bedzie caªkowalna na przedziale [ -π, π ]. Szeregiem Fouriera tej funkcji
nazywamy szereg trygonometryczny
∞
a0 X
+
(an cosnx + bn sinnx),
2
n=1
gdzie
an =
1Zπ
f (x)cosnx dx dla n = 0, 1, 2, ...
π −π
oraz
1
1Zπ
f (x)sinnx dx dla n = 0, 1, 2, ....
bn =
π −π
Fakt, »e szereg trygonometryczny
funkcji f zapisujemy symbolicznie:
f (x) ∼
a0 P∞
+ n=1 (an cosnx+bn sinnx)
2
jest szeregiem Fouriera
∞
a0 X
+
(an cosnx + bn sinnx),
2
n=1
Wspóªczynniki szeregu Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych
1. Je»eli funkcja f jest parzysta, to bn =0 dla n=1,2,... oraz
1Zπ
f (x)cosnx dx dla n = 0, 1, 2, ...
an =
π 0
2. Je»eli funkcja f jest nieparzysta, to an =0 dla n=0,1,2,... oraz
bn =
2Zπ
f (x)sinnx dx dla n = 1, 2, ....
π 0
Szereg Fouriera funkcji okre±lonej na przedziale [ -l, l ] ma posta¢:
∞
a0 X
πnx
πnx
+
(an cos
+ bn sin
),
2
l
l
n=1
gdzie
1Z l
πnx
f (x)cos
an =
dx dla n = 0, 1, 2, ...
l −l
l
oraz
1Z l
πnx
bn =
f (x)sin
dx dla n = 0, 1, 2, ....
l −l
l
2
Przykªad 1
Niech f(x)=x, rozwiniemy teraz funkcj¦ w szereg Fouriera:
a0 =
1Zπ
1Zπ
1 π 2 (−π)2
f (x) dx =
x dx = ( −
)=0
π −π
π −π
π 2
2
(
1Zπ
1Zπ
u = x v`=cosnx
an =
f (x)cosnx dx =
x · cosnx dx =
=
u‘ = 1 v= n1 sinnx
π −π
π −π
=x·
Z π
1
1
1
1
sinnx |π−π −
sinnx dx = 2 · cosnx |π−π = 2 (cosnπ − cosnπ) = 0
n
n
n
−π n
(
1Zπ
1Zπ
u = x v`=sinnx
f (x)sinnx dx =
x · sinnx dx =
=
bn =
u‘ = 1 v=− n1 cosnx
π −π
π −π
1 Zπ
1
1
1
1
π
cosnx |−π +
cosnx dx = − cosnπ − cosn(−π) + 2 · sinnx |π−π =
= −x ·
πn
πn −π
n
n
n
2
1
2
2
= − cosnπ + 2 (sinnπ − sinnπ) = − cosnπ = (−1)n+1
n
n
n
n
wi¦c
x ∼ 2
∞
X
(−1)n+1
sinnx dla x ∈ (−π, π)
n
n=1
Przykªad 2
Niech f(x)=π 2 − x2 , rozwiniemy teraz funkcj¦ w szereg Fouriera:
1Zπ
1
1 1
1Zπ 2 2
1
1
f (x) dx =
(π −x ) dx = (π 2 x− x3 ) |π−π = (− π 3 − π 3 +π 2 π−π 2 (−π)) =
a0 =
π −π
π −π
π
3
π 3
3
=
an =
1 2 3
4
(− π + 2π 3 ) = π 2
π 3
3
1Zπ
1Zπ 2 2
1Zπ 2
1Zπ 2
f (x)cosnx dx =
(π −x )cosnx dx =
π cosnx dx−
x cosnx dx =
π −π
π −π
π −π
π −π
(
=
π
x2
2 Zπ
u = x2 v`=cosnx
π
π
= − sinnx |−π − sinnx |−π +
xsinnx dx =
u‘ = 2x v= n1 sinnx
n
πn
πn −π
(
=
x
1Zπ
2
u = x v`=sinnx
π
(−
cosnx
|
+
cosnx dx) =
=
−π
u‘ = 1 v=− n1 cosnx
πn n
n −π
=−
2
2
4
4
cosnπ − 2 cosnπ = − 2 cosnπ = 2 (−1)n+1
2
n
n
n
n
3
bn =0
wi¦c
π 2 − x2 ∼
∞
X
2π 2
(−1)n+1
+4
cosnx dla x ∈ (−π, π)
3
n2
n=1
Przykªady rozwini¦¢ funkcji w szereg Fouriera:
π−x
2
|x| ∼
∼
∞
X
1
sinnx dla x ∈ (0, 2π)
n=1 n
∞
4X
1
π
−
cos(2n − 1)x dla x ∈ (−π, π)
2 π n=1 (2n − 1)2
sin4 x ∼
3 1
1
− cos2x + cos4x dla x ∈ (−π, π)
8 2
8
4