Egzamin z topologii 2015 Zadanie 3. Niech f:X → Y Rozwi azania

Rz
ad A Imie i nazwisko:
Nr ind:
Egzamin z topologii 2015
W kratce wpisz odpowied¹ TAK lub NIE. Otrzymasz 2p za poprawn
a, 0p brak, -1p za
bªedn
a, +2p bonus za komplet poprawnych odpowiedzi w zadaniu.
Zadanie 1. Niech (X, d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡ spójn¡. Deniujemy d1 : X ×X → R
d(x,y
wzorem d1 (x, y) = 3+d(x,y) . Wtedy
a) (X, d1 ) jest przestrzeni¡ ograniczon¡;
b) (X, d1 ) jest przestrzeni¡ zwart¡;
c) odwzorowanie i : (X, d) → (X, d1 ), i(x) = x, jest homeomorzmem;
d) przestrze« (X, d) mo»e by¢ nieograniczona.
Zadanie 2. Niech (X, d) bedzie przestrzenia zwarta i spójna. Wtedy
a) X jest niesko«czona;
b) ka»da skªadowa X jest otwarta w X ;
c) ka»dy domkniety podzbiór X jest zwarty i spójny;
d) ka»dy spójny podzbiór X jest zwarty.
Zadanie 3. Niech f : X → Y b¦dzie homeomorzmem. Wtedy
a) je»eli X jest spójna, to Y jest spójna;
b) je»eli Y jest zwarta, to X jest zupeªna;
c) je»eli A ⊂ X jest otwarty w X , to Y \ f (A) jest otwarty w Y ;
d) f jest jednostajnie ci¡gªa.
Zadanie 4 Niech
Sn A1 , A2 , ..., An , ... ⊂ X b¦d¡ zbiorami zwartymi w X . Wtedy
a) A = i=1 Ai jest zbiorem zwartym dla ka»dego n ∈ N;
T∞
b) B = i=1 Ai jest zwarty;
Sn
c) dla dostatecznie du»ego n istnieje pokrycie otwarte zbioru A = i=1 Ai ,
z którego nie mo»na wybra¢ pokrycia sko«czonego;
T∞
d) istnieje pokrycie otwarte zbioru B = i=1 Ai , z którego nie mo»na wybra¢
pokrycia sko«czonego.
Zadanie 5. Rozpatrzmy podprzestrzenie prostej A = Z ⊂ R, ; B = N ⊂ R. Wtedy
a) A i B nie s
a homeomorczne;
b) istnieje funkcja ci
agªa f : B → A, która jest surjekcj¡;
c) A jest przestrzeni
a zupeªn
a;
d) B jest przeliczaln¡ sum
a zbiorów brzegowych w B .
Rozwi
azania poni»szych zada« oddajemy na osobnych kartkach
Zad 5.(8p) Prosz¦ udowodni¢, »e produkt kartezja«ski dwóch metrycznych przestrzeni
zwartych i spójnych jest przestrzeni¡ zwart¡ i spójn¡.
Zad 6.(10p) Rozpatrzmy pªaszczyzn¦ z metryk¡ rzeka oraz rodzin¦ jej podzbiorów
An = {(x, y): (x − n1 )2 + y 2 = ( n1 )2 }. Prosz¦ zbada¢, czy
S3
a) zbiór B = i=1 An jest domkni¦ty, zwarty, spójny?
b) zbiór B zawiera ci¡g(bn )∞
n=1 zbie»ny w B i taki, »e bn 6= bm dla n 6= m.
Jakie b¦d¡ odpowiedzi na pªaszczy¹nie z metryk¡ euklidesow¡ ?
Zad 7.(8p) Niech (Y, d) bedzie przestrzenia metryczna, g : Y → Y odwzorowaniem
ci
agªym. Wyka», »e zbiór punktów staªych F = {y ∈ Y : y = g(y)} jest zbiorem
domknietym w Y . Czy zawsze musi on by¢ zwarty, niepusty (odp. uzasadnij)?
Rz
ad B Imie i nazwisko:
Nr ind:
Egzamin z topologii 2015
W kratce wpisz odpowied¹ TAK lub NIE. Otrzymasz 2p za poprawn
a, 0p brak, -1p za
bªedn
a, +2p bonus za komplet poprawnych odpowiedzi w zadaniu.
Zadanie 1. Niech (X, d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡ spójn¡. Deniujemy d1 : X ×X → R
d(x,y
wzorem d1 (x, y) = 3+d(x,y) . Wtedy
a) (X, d1 ) jest przestrzeni¡ ograniczon¡;
b) (X, d1 ) jest przestrzeni¡ zwart¡;
c) odwzorowanie i : (X, d) → (X, d1 ), i(x) = x, jest homeomorzmem;
d) przestrze« (X, d) mo»e by¢ nieograniczona.
Zadanie 2. Niech (X, d) bedzie przestrzenia zwarta i spójna. Wtedy
a) X jest niesko«czona;
b) ka»da skªadowa X jest otwarta w X ;
c) ka»dy domkniety podzbiór X jest zwarty i spójny;
d) ka»dy spójny podzbiór X jest zwarty.
Zadanie 3. Niech f : X → Y b¦dzie homeomorzmem. Wtedy
a) je»eli X jest spójna, to Y jest spójna;
b) je»eli Y jest zwarta, to X jest zupeªna;
c) je»eli A ⊂ X jest otwarty w X , to Y \ f (A) jest otwarty w Y ;
d) f jest jednostajnie ci¡gªa.
Zadanie 4 Niech
Sn A1 , A2 , ..., An , ... ⊂ X b¦d¡ zbiorami zwartymi w X . Wtedy
a) A = i=1 Ai jest zbiorem zwartym dla ka»dego n ∈ N;
T∞
b) B = i=1 Ai jest zwarty;
Sn
c) dla dostatecznie du»ego n istnieje pokrycie otwarte zbioru A = i=1 Ai ,
z którego nie mo»na wybra¢ pokrycia sko«czonego;
T∞
d) istnieje pokrycie otwarte zbioru B = i=1 Ai , z którego nie mo»na wybra¢
pokrycia sko«czonego.
Zadanie 5. Rozpatrzmy podprzestrzenie prostej A = Z ⊂ R, ; B = N ⊂ R. Wtedy
a) A i B nie s
a homeomorczne;
b) istnieje funkcja ci
agªa f : B → A, która jest surjekcj¡;
c) A jest przestrzeni
a zupeªn
a;
d) B jest przeliczaln¡ sum
a zbiorów brzegowych w B .
Rozwi
azania poni»szych zada« oddajemy na osobnych kartkach
Zad 5.(8p) Prosz¦ udowodni¢, »e produkt kartezja«ski dwóch metrycznych przestrzeni
zwartych i spójnych jest przestrzeni¡ zwart¡ i spójn¡.
Zad 6.(10p) Rozpatrzmy pªaszczyzn¦ z metryk¡ rzeka oraz rodzin¦ jej podzbiorów
An = {(x, y): (x − n1 )2 + y 2 = ( n1 )2 }. Prosz¦ zbada¢, czy
S3
a) zbiór B = i=1 An jest domkni¦ty, zwarty, spójny?
b) zbiór B zawiera ci¡g(bn )∞
n=1 zbie»ny w B i taki, »e bn 6= bm dla n 6= m.
Jakie b¦d¡ odpowiedzi na pªaszczy¹nie z metryk¡ euklidesow¡ ?
Zad 7.(8p) Niech (Y, d) bedzie przestrzenia metryczna, g : Y → Y odwzorowaniem
ci
agªym. Wyka», »e zbiór punktów staªych F = {y ∈ Y : y = g(y)} jest zbiorem
domknietym w Y . Czy zawsze musi on by¢ zwarty, niepusty (odp. uzasadnij)?