Matematyka dyskretna - zadanie bonusowe na 4. marca Zadanie 74

Matematyka dyskretna - zadanie bonusowe na 4. marca
Zadanie 74. z książki “Matematyka
konkretna” i trochę więcej.
n
Definiujemy symbole k , niezerowe dla n = 0, 1, 2, . . . i k = 0, 1, . . . , n, spełniające
warunki
!!
!!
!!
n
n−1
n−1
=
+
(1)
k
k
k−1
oraz
!!
!!
n
n
=
= n + 1.
(2)
n
0
(i) Proszę podać zwarty wzór na nk dla dowolnych n = 0, 1, 2, . . . i k = 0, 1, . . . , n.
(ii) Jak rozwiązać ten problem, gdy warunki (3) zastąpimy
n
0
!!
!!
n
n
=
= P (n) ,
(3)
gdzie P jest dowolnym wielomianem zmiennej n?
Podpowiedź: Znacie Państwo rozwiązanie tego problemu dla warunku
n
0
!!
!!
n
n
=
= 1.
(4)
= n.
(5)
Rozwiążcie ten sam problem z warunkiem
n
0
i na przykład
n
0
!!
!!
n
n
=
!!
!!
=
n
n
=
n (n − 1)
.
2
(6)
Dalej powinno już być widać, o co chodzi.
Łukasz Skowronek