Rados law Szmytkowski, “Fizyka statystyczna”, semestr letni 2015

Rados law Szmytkowski, “Fizyka statystyczna”, semestr letni 2015/16
1
Fizyka statystyczna
Zestaw 3 — Rozklad Maxwella oraz zagadnienia pokrewne
(wersja z 04. 06. 2016; korekta 05. 06. 2016)
1. Wedlug Maxwella prawdopodobieństwo tego, że skladowe kartezjańskie
wektora preι dkości pojedynczej czaιstki gazu doskonalego zawierajaι sieι w
przedzialach odpowiednio (vx , vx + dvx ), (vy , vy + dvy ), (vz , vz + dvz ) jest równe
2
vx + vy2 + vz2
3
d P (vx , vy , vz ) = N exp −
dvx dvy dvz ,
2
2vM
gdzie vM jest parametrem rozkladu. Znaleźć wartość stalej normalizacyjnej N .
2. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że modul preι dkości czaιstki gazu opisywanego rozkladem Maxwella jest zawarty w przedziale (v, v + dv)?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że energia kinetyczna czaιstki gazu opisywanego rozkladem Maxwella jest zawarta w przedziale (E, E + dE)?
p
4. Dla rozkladu Maxwella znaleźć v1 = hvi, v2 = hv 2 i, a także najbardziej
prawdopodobnaι wartość preι dkości vp (czyli takaι wartość v, dla której funkcja
rozkladu Maxwella dla modulu preι dkości ma maximum). Uszeregować te trzy
wielkości w kolejności od najmniejszej do najwieι kszej.
5. Znaleźć medianeι vm rozkladu Maxwella dla wartości preι dkości (czyli takaι
wartość preι dkości, dla której prawdopodobieństwo tego, że modul preι dkości
czaιstki jest zawarty w przedziale [0, vm ], wynosi 1/2).
p
6. Dla rozkladu Maxwella znaleźć vk = k hv k i. Dla jakich wartości k: a) vk = vM ,
b) vk = vm , c) vk = vp ?
7. Rozważajaιc zderzenia czaιsteczek gazu z elementem ścianki zbiornika, pokazać,
że pomieι dzy ciśnieniem gazu P , jego geι stościaι ρ oraz parametrem rozkladu
2
Maxwella vM zachodzi relacja P = ρvM
. Korzystajaιc z równania stanu gazu
doskonalego, wywnioskować staιd, że
r
kT
vM =
,
m
gdzie k = 1.38064852(79) × 1023 J/K — stala Boltzmanna [wartość rekomendowana przez CODATA (2014); liczba w nawiasie, 79, oznacza deklarowanaι
niepewność (jedno odchylenie standardowe) na dwóch ostatnich miejscach
dziesieι tnych], T — temperatura gazu, m — masa czaιsteczki gazu.
8. Wyprowadzić wzór barometryczny dla atmosfery izotermicznej.
uwzgleι dniać krzywizny powierzchni Ziemi.
Nie
9. W oparciu o wyprowadzony w poprzednim zadaniu wzór barometryczny
ustalić, na jakiej wysokości nad powierzchniaι Ziemi ciśnienie jest o poloweι
mniejsze niż przy jej powierzchni. Przyjaιć T = 0◦ C.
Rados law Szmytkowski, “Fizyka statystyczna”, semestr letni 2015/16
2
10. Znaleźć średniaι wysokość oraz wysokość średniokwadratowaι dla powietrza nad
powierzchniaι Ziemi.
11. Wyprowadzić wzór barometryczny dla atmosfery izotermicznej. Przyjaιć, że
Ziemia jest jednorodnaι kulaι o promieniu R.
12. (Zadanie nadobowiaιzkowe) Do zraszania plaskiego okraιglego klombu o promieniu R sluży umieszczony w jego środku rozpylacz z nasadkaι w postaci wycinka
sfery o promieniu r R, kaιcie rozwarcia 2Φ < π i o bardzo dużej liczbie N jednakowych, bardzo malych otworów, przez które wylatuje woda. Jaka powinna
być liczba otworów przypadajaιca na jednostkeι powierzchni w zależności od
kaιta ϕ liczonego od pionowej osi symetrii rozpylacza, aby klomb byl zraszany
równomiernie? Przedyskutować wynik w dwóch przypadkach: a) 0 < Φ 6 π/4,
b) π/4 6 Φ < π/2. Opór powietrza zaniedbujemy. [Zadanie oczywiście nie ma
bezpośredniego zwiaιzku z rozkladem Maxwella, pozwala jednak, przynajmniej
w moim odczuciu, lepiej zrozumieć ideeι funkcji rozkladu.]