rozkład geometryczny

Rozkłady prawdopodobieństwa
1
Rozkłady prawdopodobieństwa.
Rozkłady dyskretne i ciągłe.
W przypadku rozkładu dyskretnego określamy wartości
prawdopodobieństwa dla przeliczalnej (skończonej lub nieskończonej)
liczby wartości zmiennej losowej.
Np.
x1 , x2 ,...xn – wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej
P( x1 ), P ( x2 ),...P ( xn ) – prawdopodobieństwa, z którymi zmienna losowa
przyjmuje kolejne wartości.
Z definicji prawdopodobieństwa wynika, że
n
∑ P( x ) = 1
i
i =1
Wartość średnia (oczekiwana) zmiennej losowej
n
µ = ∑ P( xi ) ⋅ xi
i =1
Mediana zmiennej losowej
P ( x < µ 1 / 2 ) = P ( x ≥ µ1 / 2 ) =
1
2
Moda (wartość modalna) zmiennej losowej
P( µ max ) ≥ P ( x ≠ µ max )
Wariancja zmiennej losowej
σ 2 = ∑ P( xi ) ⋅ ( xi − µ ) 2 = ∑ P ( xi ) ⋅ xi − µ 2
2
Dyspersja zmiennej losowej
σ=
∑ P( x ) ⋅ ( x
i
i
− µ )2
Rozkłady prawdopodobieństwa
2
W przypadku rozkładu ciągłego zbiór wartości zmiennej losowej pokrywa
się ze zbiorem liczb rzeczywistych.
Zamiast rozkładu prawdopodobieństwa wprowadza się rozkład gęstości
prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej.
p ( x) - x ∈ {R}
x=∞
∫ p( x) ⋅ dx = 1
x = −∞
P ( a < x < b) =
x =b
∫ p( x) ⋅ dx
x =a
P ( x 0 < x < x 0 + δx ) ≅ p ( x ) ⋅ δx
µ = ∫ p ( x) ⋅ x ⋅ dx
σ 2 = ∫ p ( x) ⋅ ( x − µ ) 2 ⋅ dx = ∫ p ( x) ⋅ x 2 ⋅ dx − µ 2
Rozkłady prawdopodobieństwa
3
Rozkład równomierny dyskretny
x ∈ {1,2,3,4,5,6}, P(xi ) = p =
6
1
6
µ = ∑ P ( xi ) ⋅ xi = p (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =
i =1
21
= 3,5
6
µ1 / 2 = 4
6
6
1
17,5
σ = ∑ p ⋅ ( xi − µ ) = ∑ ⋅ ( xi − 3,5) 2 =
= 2,916(6)
6
i =1
i =1 6
σ = 1,7078...
2
2
µ = 3,5
σ 2 = 2,916(6)
σ = 1,7078...
Rozkłady prawdopodobieństwa
4
0, x ∉ a, b

p( x) =  1
, x ∈ a, b

b − a
Rozkład równomierny ciągły
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
b
x
x2
b2 − a 2 a + b
⋅ dx =
=
=
µ=∫
b
a
b
a
b
a
−
−
−
2
(
)
2
(
)
2
a
a
b
b
b
1
1 x3
2
2
2
x
dx
⋅
−
=
⋅
−
=
σ =
µ
µ
b − a ∫a
b−a 3 a
2
1 b 3 − a 3 ( a + b) 2
1 (b − a )(b 2 + ab + a 2 ) (a + b) 2
⋅
−
=
⋅
−
=
b−a
b−a
3
4
3
4
4(b 2 + ab + a 2 ) − 3(a + b) 2 b 2 − 2ab + a 2 (b − a ) 2
=
=
12
12
12
a+b
=3
2
(b − a ) 2
2
σ =
=3
12
b−a
σ=
= 3 = 1,7320...
2 3
µ=
a=0
b=6
Rozkłady prawdopodobieństwa
5
Rozkład trójkątny

0, x ∉ − a2 , a2

2  2 
p ( x) =  1 + x , x ∈ − a2 ,0
a  a 
2  2 
a
 1 − x , x ∈ (0, 2
a  a 
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-4
-3
-2
-1
σ =
0
∫ p1 ( x) x dx +
2
−a / 2
a2
σ =
24
a
σ=
2 6
1
2
3
µ =0
Ze względu na symetrię
2
0
a/2
a/2
2
p
x
x
dx
p
x
x
dx
(
)
2
(
)
=
2
2
∫
∫
2
0
2
dla a = 6
0
σ 2 = 1,5
σ = 1,2247...
4
Rozkłady prawdopodobieństwa
7
Rozkład dwumianowy
Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p,
a porażki q = 1 – p.
Liczba sukcesów x w serii n prób jest liczbą losową o rozkładzie
dwumianowym.
n
n!
P( x; n, p ) =   p x q n − x =
p x (1 − p ) n − x
x!(n − x)!
 x
Na podstawie tożsamości
 n 

( p + q) = ∑   p x q n − x 
x = 0  x 

n
n
można natychmiast wykazać, że wartości prawdopodobieństwa są
unormowane, to znaczy
n
∑ P( x; n, p) = 1
x =0


n!
p x (1 − p ) n − x  = np
µ = ∑ x
x = 0  x!( n − x )!

n


n!
p x (1 − p ) n − x  = np (1 − p )
σ = ∑ ( x − µ ) 2
x!(n − x)!
x =0 

n
2
Rozkłady prawdopodobieństwa
8
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
15
20
25
30
35
40
45
50
p = 0,5; n = 10
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
5
p = 0,1; n = 50
Rozkłady prawdopodobieństwa
9
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest granicznym przypadkiem rozkładu dwumianowego
przy spełnieniu warunków
n → ∞ , p → 0 , µ = np = const
µ x −µ
e
lim PD ( x; n, p ) = PP ( x; µ ) ≡
p →0
x
!
n→∞
Wartość średnia wynosi oczywiście
µ x −µ
x e =µ
∑
x!
x =0
∞
Wariancja rozkładu Poissona jest równa średniej
µ x −µ
e =µ
σ = ∑ (x − µ)
x!
x =0
∞
2
2
Rozkład Poissona
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
µ=5
10
20
30
40
50
Rozkłady prawdopodobieństwa
10
Rozkład Poissona
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
0
µ = 25
10
20
30
40
50
Rozkłady prawdopodobieństwa
11a
Rozkład Poisson’a otrzymujemy bezpośrednio w przypadku tzw. ciągłej
rejestracji zdarzeń, jeżeli spełniony jest postulat Poisson’a. Postulat
Poisson’a stwierdza, że prawdopodobieństwo pojawienia się kolejnego
zdarzenia w przedziale czasu (t , t + dt ) nie zależy od liczby zdarzeń
zarejestrowanych w odstępie (0, t ) i wynosi µ ⋅ dt , gdzie µ jest średnią
liczbą zdarzeń na jednostkę czasu.
Niech Pr (t ) jest prawdopodobieństwem zarejestrowania r zdarzeń w
czasie t , a µ jest średnią liczbą zdarzeń jak wyżej. Wtedy
Pr (t + dt ) = Pr −1 (t ) ⋅ P1 (dt ) + Pr (t ) ⋅ P0 (dt ) =
Pr −1 (t ) ⋅ µ ⋅ dt + Pr (t ) ⋅ (1 − µ ⋅ dt )
stąd
Pr (t + dt ) − Pr (t ) = (Pr −1 (t ) ⋅ µ − Pr (t ) ⋅ µ )⋅ dt
Pr (t + dt ) − Pr (t ) dPr (t )
=
= − µ ⋅ Pr (t ) + µ ⋅ Pr −1 (t )
dt
dt
gdzie z definicji
Pr −1 = 0 dla r = 0 .
Otrzymujemy zatem
co po rozwiązaniu daje
dP0 (t )
= − µ ⋅ P0 (t )
dt
P0 (t ) = e − µ ⋅t
Następnie
a po scałkowaniu
dP1 (t )
= − µ ⋅ P1 (t ) + µ ⋅ e − µ ⋅t
dt
P1 (t ) = µ ⋅ t ⋅ e − µ ⋅t .
Metodą indukcji można udowodnić, że
n
(
µ ⋅ t ) − µ ⋅t
P (t ) =
⋅e
n
n!
Czyli rozkład identyczny z rozkładem Poisson’a dla średniej liczby
zdarzeń (sukcesów) µ ⋅ t .
Rozkłady prawdopodobieństwa
12
Rozkład normalny (Gaussa)
 1  x − µ 2 
1
p N ( x; µ , σ ) =
exp − 
 
2
σ
σ 2π

 

Standardowy rozkład Gaussa
pN ( z) =
1
 1 
exp − z 2 
2π
 2 
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-5
-4
-3
-2
-1
0
2
3
4
5
 1  x − µ 2 
exp − 
  dx
∫
2
σ

 
µ − ∆x

1 - PN(|z| <
PN(|z| < Δz)
Δz)
1
PN ( x − µ < ∆x; µ , σ ) =
σ 2π
Δz
1
µ + ∆x
0,5
0,382925
0,617075
1,0
0,682689
0,317311
1,5
0,866386
0,133614
2,0
0,954500
0,045500
2,5
0,987581
0,012419
3,0
0,997300
0,002700
3,5
0,999535
0,000465
4,0
0,999937
0,000063
Rozkłady prawdopodobieństwa
13
Rozkład Lorentza (Cauchy’ego)
p L ( x; µ , Γ) =
Γ/2
1
π ( x − µ ) 2 + ( Γ / 2) 2
Wariancja rozkładu Lorentza nie istnieje.
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-5
-4
-3
µ = 0, Γ = 2,354
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Rozkłady prawdopodobieństwa
14
Rozkład wykładniczy
Funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa jest określona dla
nieujemnego rzeczywistego argumentu:
pe ( x) = λe − λx dla x ≥ 0 , λ > 0
gdzie λ jest parametrem rozkładu.
Wartość średnia tego rozkładu wynosi
∞
µ = λ ∫ xe
0
∞
− λx
1
1
 1


dx = λ  −  x + e − λx  =  x + e − λx
λ
λ
 λ
0 
a wariancja
∞
2
1
1

σ = λ ∫  x −  e − λx dx = 2
λ
λ
0
2
0
=
∞
1
λ
Rozkłady prawdopodobieństwa
15
Przykład dla zmiennej dyskretnej (rozkład geometryczny)
n – liczba rzutów kostką do wyrzucenia sześciu oczek
szukamy Pg (n) prawdopodobieństwa wyrzucenia sześciu oczek w n-tym
rzucie n = 1,2,3,...
2
1
5 1
5 1
5
Pg (1) = , Pg (2) = ⋅ , Pg (3) =   ⋅ , ... Pg (n) =  
6
6 6
6 6
6
n −1
⋅
1
6
albo
6
6
5
przy czym ln 
10%).
1 −( n −1) ln 5
Pg (n) = e
6
1
nie różni się wiele od
(różnica jest mniejsza od
6
Wyrzucenie sześciu (lub jakiejkolwiek innej ustalonej liczby) oczek jest
najbardziej prawdopodobne w pierwszym rzucie.
Rozkład geometryczny dla rzutów kostką
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
5
10
15
20
Rozkłady prawdopodobieństwa
16
Przykład dla zmiennej ciągłej
W przypadku zdarzeń podlegających rozkładowi Poisson’a
prawdopodobieństwo nie zarejestrowania żadnego zdarzenia w czasie
t wynosi
P0 (t ) = e − µ ⋅t
natomiast prawdopodobieństwo zarejestrowania jednego zdarzenia
w czasie dt bezpośrednio potem wynosi
µ ⋅ dt
Zatem prawdopodobieństwo tego, że zdarzenie zostanie zarejestrowane
po czasie t (od momentu rozpoczęcia obserwacji lub od poprzedniego
zdarzenia, lub od dowolnie ustalonej chwili) wynosi
p(t ) ⋅ dt = µ ⋅ e − µ ⋅t dt
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa odstępów między kolejnymi
zdarzeniami podlegającymi rozkładowi Poisson’a jest wykładniczy
p(t ) = µ ⋅ e − µ ⋅t ,
dla którego charakterystyczne jest to, że najbardziej prawdopodobne
jest pojawienie się kolejnego zdarzenia bezpośrednio po poprzednim.
Rozkład wykładniczy p (t ) = µe
− µ ⋅t
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
dla µ = 0,2; 0,6; 1,0; 2,0
4
6
8
10