Ćwiczenia 2. Zmienna losowa typu skokowego. Rozkład

Ćwiczenia 2. Zmienna losowa typu skokowego. Rozkład Bernoulliego.
1. Zorganizowano następującą grę: gracz wyciąga z talii 52 kart dwie karty (bez zwracania). Jeżeli są to
dwa asy, to gracz otrzymuje 20 punktów; jeżeli dwie figury (król, dama, walet), to gracz otrzymuje 10
punktów; w każdym innym przypadku gracz traci 2 punkty.
(a) Znaleźć rozkład zmiennej losowej X oznaczającej wygraną gracza.
(b) Wyznaczyć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej X.
(c) Czy ta gra jest sprawiedliwa?
2. Zmienna losowa X ma rozkład:
xi
−2
−1
0
2
3
pi 0, 1 0, 2 0, 1 a 0, 3
(a) Wyznaczyć a tak, aby tabelka przedstawiała rozkład prawdopodobieństwa.
(b) Narysować wykres prawdopodobieństwa.
(c) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres.
(d) Oblicz prawdopodobieństwa: P (X < 1), P (−1 ¬ X < 2, 5) (na dwa sposoby tzn. na podstawie
funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuanty) oraz zaznaczyć na wykresie dystrybuanty.
(e) Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, modę, medianę.
3. W pewnym mieście wylosowano 160 sklepów i otrzymano następujące wyniki dotyczące liczby sprzedawców:
liczba sprzedawców
1
liczba sklepów
2
3
4
5
30 66 34 20 10
Na podstawie tych informacji:
(a) Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa liczby sprzedawców w sklepie.
(b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmuje wartość nie mniejszą niż 3.
(c) Obliczyć EX, DX, M o, M e i podać ich interpretację.
4. Rozkład prawdopodobieństwa ocen z egzaminu ze statystyki jest następujący:
xi 2
3
4
5
pi ∗ 0, 4 0, 2 ∗
Wiadomo, że wartość oczekiwana tak określonej zmiennej losowej wynosi 2,95. Obliczyć P (X = 2)
oraz P (X = 5).
5. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych X, Y , Z o następujących rozkładach:
xi 49 51
pi
1
2
1
2
yi −100 100
1
4
pi
3
4
zi
0 50 100
pi
1
4
1
2
1
4
6. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest określona następująco:
F (x) =


0






dla x ¬ −2


0, 5





dla x ∈ (3, 5]
0, 4
1
dla x ∈ (−2, 3]
dla x > 5
Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej.
7. Rzucamy 4 razy kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wyrzucimy ’6’ oczek
(a) dokładnie dwa razy,
(b) co najmniej dwa razy.
8. Mirek trafia do kosza z prawdopodobieństwem 4/5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Mirek rzucając
do kosza 10 razy trafi:
(a) dokładnie 8 razy,
(b) co najmniej 1 raz.
9. W pewnej miejscowości rodzi się średnio 520 chłopców i 480 dziewczynek na 1000 niemowląt. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że w rodzinie pięciodzietnej:
(a) liczba dziewcząt jest większa niż liczba chłopców?
(b) wszystkie dzieci są tej samej płci?
10. Co jest bardziej prawdopodobne:
(a) wygrać z równorzędnym przeciwnikiem dokładnie 3 partie z 4 partii, czy dokładnie 5 partii z 8
partii?
(b) wygrać z równorzędnym przeciwnikiem nie mniej niż 3 partie z 4 partii, czy nie mniej niż 5 partii
z 8 partii?