1 Przestrzenie Banacha i Hilberta.

1
Przestrzenie Banacha i Hilberta.
Definicja 1.1 Niepusty zbiór E wyposażony w dwa dziaÃlania:
(x, y) 7→ x + y, x, y ∈ E
(α, x) 7→ αx, x ∈ E, α ∈ R
spelniajaιce nasteι pujaιce warunki:
(a) dla x, y, z ∈ R i α, β ∈ R,
x+y
(x + y) + z
α(x + y)
(α + β)x
α(βx)
1x
(b) istnieje dok Ãladnie jeden element 0 ∈ E taki, że
=
=
=
=
=
=
y + x,
x + (y + z),
αx + αy,
αx + βx,
(αβ)x,
x,
x + 0 = 0 + x = x dla x ∈ E;
(c) dla każdego x ∈ E istnieje dok Ãladnie jeden element (−x) ∈ E taki, że
x + (−x) = (−x) + x = 0;
nazywa sieι przestrzeniaι liniowaι rzeczywistaι ( lub przestrzeniaι liniowaι nad R).
Uwaga. W notatkach tych nie beι dziemy zajmować sieι przestrzeniami liniowymi nad ciaÃlami różnymi od
R, i dlatego zamiast ”przestrzeń liniowa nad R” beι dziemy pisać ”przestrzeń liniowa”.
1
Definicja 1.2 Niech E beι dzie przestrzeniaι liniowaι. Funkcjeι
k.k : E −
→ [0, ∞)
speÃlniajaιcaι nasteι pujaιce warunki
kxk = 0
kx + yk
kαxk
⇐⇒
≤
=
x = 0, dla x ∈ E;
kxk + kyk, dla x, y ∈ E;
|α|kxk, dla α ∈ R, x ∈ E;
beι dziemy nazywać normaι.
Definicja 1.3 Jeżeli E jest przestrzeniaι liniowaι i k.k : E −
→ [0, ∞) jest normaι, to pareι (E, k.k) nazywamy przestrzeniaι unormowanaι.
Twierdzenie 1.4 Jeżeli (E, k.k) jest przestrzeniaι unormowanaι to funkcja ρ : E × E −
→ [0, ∞), zdefiniowana wzorem
ρ(x, y) := kx − yk, x, y ∈ E
jest metrykaι. (Przestrzeń unormowana jest przestrzeniaι metrycznaι.)
Definicja 1.5 Niech E beι dzie przestrzeniaι liniowaι. Funkcjeι
< ., . >: E × E −
→R
speÃlniajaιcaι nasteι pujaιce warunki
< x, x >
< x, x >= 0
< x, y >
< αx + βy, z >
≥
⇒
=
=
0, dla x ∈ E;
x = 0, dla x ∈ E;
< y, x > dla x, y ∈ E;
α < x, z > +β < y, z > dla α, β ∈ R, x, y, z ∈ E;
beι dziemy nazywać iloczynem skalarnym.
Definicja 1.6 Jeżeli E jest przestrzeniaι liniowaι i < ., . >: E −
→ R jest iloczynem skalarnym, to pareι
(E, < ., . >) nazywamy przestrzeniaι unitarnaι.
Twierdzenie 1.7 Jeżeli (E, < ., . >) jest przestrzeniaι unitarnaι to funkcja k.k : E −
→ [0, ∞), zdefiniowana
wzorem
√
1
kxk := < x, x > = < x, x > 2 , x ∈ E
jest normaι. (Przestrzeń unitarna jest przestrzeniaι unormowanaι.)
2
Definicja 1.8 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech x0 , xn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli
lim kxn − x0 k = 0
n−
→∞
to mówimy, że ciaιg {xn } jest zbieżny do x0 i piszemy
x0 = lim xn
n−
→∞
Twierdzenie 1.9 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech x0 , y0 , xn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli ciaιg
{xn } jest jednocześnie zbieżny do x0 oraz y0 to x0 = y. (Ciaιg zbieżny ma dok Ãladnie jednaι graniceι .)
Twierdzenie 1.10 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech x0 , y0 , xn , yn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli
x0 = lim xn oraz y0 = lim yn
n−
→∞
n−
→∞
to
x0 + y0 = lim (xn + yn )
n−
→∞
Twierdzenie 1.11 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech x0 , xn ∈ E, α0 , αn ∈ R, n ∈ N.
Jeżeli
α0 = lim αn oraz x0 = lim xn
n−
→∞
n−
→∞
to
α0 x0 = lim (αn xn )
n−
→∞
Definicja 1.12 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech xn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli
∀²>0 ∃N ∈N ∀n,m>N kxn − xm k < ²
(C)
to mówimy, że ciaιg {xn } speÃlnia warunek Cauchy’ego.
Twierdzenie 1.13 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι i niech xn ∈ E, n ∈ N. Jeżeli ciaιg {xn }
jest zbieżny, to speÃlnia warunek Cauchy’ego.
Definicja 1.14 Niech E beι dzie przestrzeniaι unormowanaι. Jeżeli każdy ciaιg elementów przestrzeni E
speÃlniajaιcy warunek Cauchy’ego jest zbieżny, to E jest przestrzeniaι Banacha. (Przestrzeń unormowana
jest przestrzeniaι Banacha jeżeli jest przestrzeniaι metrycznaι zupeÃlnaι wzgleι dem metryki wyznaczonej przez
normeι .)
Definicja 1.15 Niech E beι dzie przestrzeniaι unitarnaι. Jeżeli każdy ciaιg elementów przestrzeni E speÃlniajaιcy
warunek Cauchy’ego jest zbieżny, to E jest przestrzeniaι Hilberta. (Przestrzeń unitarna jest przestrzeniaι
Hilberta jeżeli jest przestrzeniaι metrycznaι zupeÃlnaι wzgleι dem metryki wyznaczonej przez normeι wyznaczonaι
przez iloczyn skalarny.)
3
Zadania.
Zadanie 1.1 Niech R∞ oznacza zbiór ciaιgów liczbowych (ciaιgów liczb rzeczywistych) o prawie wszystkich
wyrazach równych 0, t.j.
R∞ 3 x = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } ⇐⇒ ∃N ∀n>N xn = 0
Jeżeli x = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }, y = {y1 , y2 , . . . , yn , . . . } ∈ R∞ i α ∈ R to przyjmujemy
x + y := {x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn , . . . },
αx := {αx1 , αx2 , . . . , αxn , . . . },
∞
X
< x, y >:=
xn yn .
n=1
Proszeι udowodnić, że
1. przy tak określonych dziaÃlaniach R∞ jest przestrzeniaι liniowaι;
2. przy tak określonym iloczynie skalarnym R∞ jest przestrzeniaι unitarnaι;
3. R∞ nie jest przestrzeniaι Hilberta.
Zadanie 1.2 Niech l2 oznacza zbiór ciaιgów liczbowych x = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } takich, że
∞
X
(xn )2 < ∞
n=1
( ”szeregi zbieżne z kwadratem”). Proszeι udowodnić, że wzory podane w poprzednim zadaniu definiujaι w
przestrzeni l2 dziaÃlania liniowe i iloczyn skalarny takie,że przestrzeń ta jest przestrzeniaι Hilberta.
Zadanie 1.3 Niech C[0, 1] oznacza zbiór którego elementami saι ciaιgÃle funkcje x : [0, 1] −
→ R. Ponieważ
suma i iloczyn dwóch funkcji ciaιgÃlych saι funkcjami ciaιgÃlymi, to C[0, 1] ma naturalnaι struktureι przestrzeni
liniowej. Proszeι pokazać, że wzór
kxk0 := sup{|x(t)|; t ∈ [0, 1]}
definiuje normeι oraz, że przy tak zdefiniowanej normie C[0, 1] jest przestrzeniaι Banacha.
Zadanie 1.4 Niech C 1 [0, 1] oznacza zbiór którego elementami saι funkcje klasy C 1 x : [0, 1] −
→ R.
1
1
1
Ponieważ suma i iloczyn dwóch funkcji klasy C saι funkcjami klasy C , to C [0, 1] ma naturalnaι struktureι
przestrzeni liniowej. Proszeι pokazać, że wzór
kxk1 := sup{|x(t)|; t ∈ [0, 1]} + sup{|x0 (t)|; t ∈ [0, 1]}
definiuje normeι oraz, że przy tak zdefiniowanej normie C 1 [0, 1] jest przestrzeniaι Banacha.
Zadanie 1.5 Udowodnić Twierdzenia 1.4, 1.7, 1.9, 1.10, 1.11, 1.13.
4