Algebra zbiorów

Algebra zbiorów
1. Wypisz po pięć elementów każdego z następujących zbiorów:
(a) {n ∈ N liczba n jest podzielna przez 5}
(b) { 2n + 1 : n ∈ Z }
(c) {2n : nN}
(d) { r ∈ Q : 0 < r < 1}
(e) {n ∈ N : liczba n + 1 jest pierwsza}
2. Wypisz elementy następujących zbiorów:
(a) { n1 : n = 1, 2, 3, 4}
(b) {n2 − n : n = 0, 1, 2, 3, 4}
(c) { n12 : liczba n jest parzysta i 0 < n < 11}
(d) {2 + (−1)n : n ∈ N}
3. Wypisz po pięć elementów każdego ze zbiorów:
P∗
P
(a)
, gdzie
= {a, b, c}
P
P∗
: length(w) 6 2}, gdzie
= {a, b}
(b) {w ∈
P∗
P
(c) {w ∈
: length(w) = 4}, gdzie
= {a, b}
Które z tych zbiorów zawierają słowo puste?
4. Wyznacz poniższe zbiory
(a) {n ∈ N : n2 = 9}
(b) {n ∈ Z :n2 = 9}
(c) {x ∈ R : x2 = 9}
(d) {n ∈ N : 3 < n < 7}
(e) {n ∈ Z : 3 < |n| < 7}
(f) {x ∈ R : x2 < 0}
(g) {n ∈ N : n2 = 3}
(h) {x ∈ Q : x2 = 3}
(i) {x ∈ R : x < 1ix > 2}
(j) {n ∈ N : liczba n jest liczbą pierwszą i n 6 15}
5. Ile elementów mają poniższe zbiory?
(a) {n ∈ N : n2 = 2}
1
(b) {n ∈ Z : 0 6 n 6 73}
(c) {n ∈ Z : 5 6 |n| 6 73}
(d) {n ∈ Z : 5 6 n 6 73}
(e) {n ∈ Z : liczba n jest parzysta i |n| 6 73}
(f) {x ∈ Q : 0 6 x 6 73}
(g) {x ∈ Q : x2 = 73}
(h) {n ∈ N : liczba n jest parzysta}
(i) {n ∈ N : liczba n jest pierwsza}
(j) {n ∈ N : liczba n jest parzysta i pierwsza}
(k) {n ∈ N : liczba n jest parzysta lub pierwsza}
(l) {−1, 1}
(m) [−1, 1]
(n) (−1, 1)
(o) {n ∈ Z : −1 6 n 6 1}
P∗
P
(p)
, gdzie
= {a, b, c}
P
P∗
: length(w) 6 4}, gdzie
= {a, b, c}
(q) {w ∈
6. Rozważ zbiory {0, 1}, (0, 1) i [0, 1]. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe:
(a) {0, 1} ⊆ (0, 1)
(b) {0, 1} ⊆ [0, 1]
(c) (0, 1) ⊆ {0, 1}
(d) {0, 1} ⊆ Z
(e) [0, 1] ⊆ Z
(f) [0, 1] ⊆ Q
(g)
(h)
(i)
1
2
1
2
1
2
i
i
i
π
4
π
4
π
4
są elementami {0, 1}
są elementami (0, 1)
są elementami [0, 1]
7. Zbadaj jakie relacje inkluzji zachodzą między następującymi zbiorami A i B:
(a) A = {a, b, c, d}, B = {a, c, d}
(b) A = {a, b}, B = {a, c, d}
(c) A = ∅, B = {a, b, c}
(d) A = {{a, b}, {a}, b, ∅}, B = {{a}, b, {∅}}
2
(e) A = {x ∈ N : x > 2}, B = {y ∈ N : y > 2}
(f) A = {ax + b : a, b ∈ R}, B = {x + y : y ∈ R}
(g) A = {ax2 + bx + c : a, b, c ∈ R}, B = {ax + b : a, b ∈ R}
(h) A- zbiór kwadratów, B- zbiór prostokątów
(i) A- zbiór wielokątów o obwodzie równym 4,
B-zbiór kwadratów o polu równym 1
8. Niech U = {1, 2, 3, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}, C = {2, 3, 6, 12},
D = {2, 4, 8}. Wyznacz następujące zbiory:
(a) A ∪ B
(b) A ∩ C
(c) (A ∪ B)∩ ∼ C
(d) C \ D
(e) B ⊕ D
(f) A \ B
9. Niech A = {1, 2, 3}, B = {n ∈ N :liczba n jest liczbą parzysta }
oraz C = {n ∈ N : liczba n jest nieparzysta }.
(a) Wyznacz zbiory A ∩ B, B ∩ C, B ∪ C i B ⊕ C.
(b) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru A.
(c) Które z następujących zbiorów są nieskończone : A ⊕ B, A ⊕ C, A \ C, C \ A.
10. W tym ćwiczeniu zbiorem uniwersalnym jest R. Wyznacz następujące zbiory :
(a) [0, 3] ∩ [2, 6]
(b) [0, 3] ∪ [2, 6]
(c) [0, 3] \ [2, 6]
(d) [0, 3] ⊕ [2, 6]
(e) ∼ [0, 3]
(f) [0, 3] ∩ ∅
P
P∗
11. Niech
= {a,
: length(w) > 2}
P∗b}, A = {a, b, aa, bb, aaa, bbb}, B = {w ∈
i C = {w ∈
: length(w) 6 2}
(a) Wyznacz zbiory A ∩ C, A \ C, C \ A, A ⊕ C
(b) Wyznacz zbiory A ∩ B, B ∩ C, B ∪ C, B \ C
P
P
P
(c) Wyznacz zbiory ∗ \B, \B, \C
3
(d) Wypisz wszystkie podzbiory
P
P
P
12. W tym ćwiczeniu zbiorem uniwersalnym jest ∗ , gdzie
= {a, b}. Niech zbiory
A, B i C będą takie jak w poprzednim ćwiczeniu. Wyznacz następujące zbiory ;
(a) ∼ B∩ ∼ C
(b) ∼ (B ∩ C)
(c) ∼ (B ∪ C)
(d) ∼ A∩ ∼ B
13. Następujące zdania dotyczą podzbiorów pewnego ustalonego niepustego zbioru uniwersalnego U . Wskaż, które z tych zdań są prawdziwe, a które fałszywe. Dla każdego
fałszywego zdania podaj przykład pokazujący, że jest ono fałszywe.
(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C dla wszystkich zbiorów A, B, C.
(b) A ∪ B ⊆ A ∩ B implikuje A = B.
(c) (A ∩ ∅) ∪ B = B dla wszystkich zbiorów A, B.
(d) A ∩ (∅ ∪ B) = A, jeśli tylko A ⊆ B.
(e) A ∩ B =∼ A∪ ∼ B dla wszystkich zbiorów A, B.
14. Jakim zbiorem jest A ⊕ A dla dowolnego zbioru A? A jakim A ⊕ ∅ ?
15. Udowodnij prawdziwość następujących stwierdzień:
(a) A ∩ B ⊆ A i A ⊆ A ∪ B dla dowolnych A, B.
(b) Jeśli A ⊆ B i A ⊆ C, to A ⊆ B ∩ C.
(c) Jeśli A ⊆ C i B ⊆ C, to A ∪ B ⊆ C.
(d) A ⊆ B wtedy i tylko wtedy, gdy ∼ B ⊆∼ A
(e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(g) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)
(h) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)
(i) ∼ (A ∩ B) =∼ A∪ ∼ B
(j) ∼ (A ∪ B) =∼ A∩ ∼ B
16. Sprawdzić, czy poniższe równości są tożsamościami rachunku zbiorów. Jeśli nie ,
podać odpowiednie przykłady.
(a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
(b) A ∪ (A ∩ B) = A
4
(c) A ∩ (A ∪ B) = B
(d) (A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = C
17. Dowieść, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące implikacje:
(a) (A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D) ⇒ (A ∩ C ⊆ B ∩ D)
(b) (A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D) ⇒ (A ∪ C ⊆ B ∪ D)
18. Zbadać jakie relacje zachodzą między zbiorami A, B i C, jeśli prawdziwa jest równość.
(a) (A ∩ B) ∪ (C ∩ B) = B
(b) (A ∪ B) ∩ (C ∪ B) = B
(c) (A \ C) ∪ B = A ∪ B
5